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1、第 1 页 共 3 页 总 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 东 北 大 学 考 试 试 卷 （A） 东 北 大 学 考 试 试 卷 （A） 2007 2008 学年 第学年 第 2 学期 课程名称：高等数学（二） （共学期 课程名称：高等数学（二） （共 3 页） 页） 一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 1. 设直线1724:121xyzl+=， 26:23xylyz=+=，则1l 与2l 的夹角为 . (A) 2(B) 3(C) 4(D) 62. 函数2yzxe=在点(1,0)P处沿从(1,0)P到(2, 1)
2、Q方向的方向导数为 . (A) 2 2 (B) 2 2(C) 3 2 (D) 3 23. 函数22 22221sin, 0,( , ) 0, 0xyxyxyf x yxy+= +=在(0, 0)点 . (A) 偏导数连续 (B) 偏导数不存在 (C) 偏导数存在但不可微 (D) 可微但偏导数不连续 4. 积分11220dd xxxyxy= . (A) 1 3(B) 1 4(C) 1 12(D) 1 245. 设 是由2221xyz+=所围成的区域，则三重积分dzev= . (A) 2(B) (C) 3 2(D) 2 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1. 过 点(0,2,4)
3、且 与 两 平 面21xz+=和32yz=都 平 行 的 直 线 方 程为 . 2. 设22ln(1)zxy=+，则(1,2)dz= . 3. 设2224:3 xyzz+=，则= dsx2 . 4. 1( )1f xx=+展开成2x的幂级数为 . 5. ( )f xx=在(0,)上展开成的余弦级数为 . 三、 (9 分) 求幂级数35213521nxxxxn +?在收敛域上的和函数. 第 2 页 共 3 页 密封线 四、四、(9 分) 求函数( , )f x yxy=在闭区域221xy+上的最大值与最小值. 五、五、(9 分) 某物体的边界由曲面22zxy=+和平面0z =，xa=，ya=围成
4、，其密度函数为22xy=+，求该物体的质量. 六、六、 (9 分) 设直线0 :30xybLxayz+=+=在平面上， 而平面与曲面22zxy=+相切于(1,2, 5)，求, a b的值. 七、七、(9 分) 计算曲面积分 +dxdyzyxdzdxzyxdydzzyx333)()()(， 其中为由圆锥面222xyz+=与上半球面2222 (0)xyzRR+=围成曲面的外侧. 第 3 页 共 3 页 密封线 八、八、(9 分) 设函数),(yxQ在xOy平面上具有一阶连续偏导数， 第二类曲线积分+ LdyyxQxydx),(2 与路径无关，且对任意t，有 +)1 ,( )0 , 0( ),(2
5、tdyyxQxydx+=), 1 ( )0, 0( ),(2 tdyyxQxydx 求),(yxQ. 九、九、(6 分) 设( )f x是(,) 内的可微函数，且满足： (1) ( )0 f x (,)x ， (2) 存在01围成曲面的外侧. 2008.7.14 第 3 页 共 4 页 解 所围成的区域为. 由 Gauss 公式， 333()()()xyz dydzxyz dzdxxyz dxdy+?22222224 00059()9()09sin189 2 5Rxyzdxdydzxyzdxdydzddrr drR =+=+=八、(9 分) 设函数),(yxQ在xOy平面上具有一阶连续偏导数，
6、第二类曲线积分+ LdyyxQxydx),(2 与路径无关，且对任意t，有 +)1 ,( )0 , 0( ),(2 tdyyxQxydx+=), 1 ( )0 , 0( ),(2 tdyyxQxydx 求),(yxQ. 解 由已知2Qxx=解得2( )Qxy=+ ( ,1) ( ,1)2(0,0) (0,0)2( , ) 2( )ttxydxQ x y dyxydxxy dy+=+1200 ( )ty dy=+120( )ty dy=+ (1, )(0,0)2( , )txydxQ x y dy+(1, )2(0,0)2( )txydxxy dy=+01( )ty dy=+0( )tty dy
7、= + 120( )ty dy+0( )tty dy= + 两边对t求导数得，21( )tt= + 因此 2( , )21Q x yxy=+ 九、(6 分) 设( )f x是(,) 内的可微函数，且满足： (1) ( )0 f x (,)x ， (2) 存在01x时发散； (D) 当21x时发散. 4. 设是由球面2222xyza+=所围成的闭区域，则222xyz dv+= . (A) 54 5a； (B) 44a； (C) 54 3a； (D) 52 5a. 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 24 分）分） 1. 曲面2222321xy
8、z+=在点(1,2, 2)处的法线方程为 . 2. 函数),(yxf22yxyx+=在点)1,1(处的全微分为 . 3. 已知曲线L为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分()Lxy ds+= . 4. 由曲面2243()zxy=+与曲面22zxy=+所围立体的体积为 . 5. 设为平面1234xyz+=在第一卦限中的部分，则曲面积分()234xyzdS+= . 6. 设( )f x是周期为 4 的周期函数， 它在 2,2)上的表达式为0, 20 ( )3, 022x f xx 0 (n = 1, 2, ), 数列an 单调减少， 且级数1( 1)nn na发散，判断级数11()1
9、nnna的敛散性. 八、八、(6 分分)设有一半径为 R 的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0的距离成正比 (比例系数 k 0)，求球体对于点 P0的转动惯量. 1高等数学(二)参考答案2012.7.12 一、单项选择题 （每题 4 4 分，共 16 16 分） 1D； 2B； 3D； 4A. 二、填空题 （每题 4 4 分，共 1616 分） 1 314 384xyz； 2 yydxyxfdy211102),(；3 2a7；43 2. 三、计算下列各题(56=30 分) 1已知yxeyxfu,22，其中f具有二阶连续偏导数，求yxu xu 2 ，. 解 122
10、ex yuxffx，122ex yuyffy . .3 分 21112221222 ( 2 )eee( 2 )ex yx yx yx yux fyfffyfx y 22 111222242()eeex yxyx yxyfxyfff . .6 分 2计算(23)xyz dv，是半球面222zxy和旋转抛物面22zxy围成的立体. 解 (23)xyz dv= zdv.2 分 = 2221200rrdrdrzdz4 分 = 124012(2)2rrr dr= 7 12. .6 分 3求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程. 解 设所求
11、平面方程为 6x + y + 6z = D, 则 1| 1666DDD |D| = 6 故所求平面方程为 6x + y + 6z = 6 或 6x + y + 6z = 6. 4求幂级数112112) 1(nnn xn的收敛域与和函数. 解 212 1 21( 1) 21( )lim1( 1) 21n nnnnxnxx xn ，即 | x | 0(n = 0, 1, 2, ), 数列 an 单调减少，级数1( 1)nn na发散，判断级数11()1nnna的敛散性。 解 由题设 an an + 1，若lim0nna ，则交错级数1( 1)nn na收敛，与题设矛盾，故 limnnal (l 0
12、). 由根值法，有11lim111nn nnal，故级数收敛. 八、(6 分)设有一半径为 R 的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0距离成正 比(比例常数 k 0)，求球体对于 P0的转动惯量。 解 以 P0点为坐标原点，球心在 z 轴上建立坐标系，则球面方程为 x2 + y2 + z2 = 2Rz. 转动惯量为 3 2222()Ik xyzdxdydz22cos322 000sinRkddrr dr 62 012sin (2 cos )6kRd 664 21k R. 本试卷 共 3 页第 1 页 东 北 大 学 考 试 试 卷 （ A / 闭 卷 ） 20122013 学年第 二 学期 课程名称：高等数学高等数学(二二) （共 3 页共 3 页） 总分 一 二 三 四 五 六 七 学 院 班 级 学 号 姓 名 密封线 一. 单项选择题 （每小题 4 4 分，共 2020 分） 1设设),(),(zyxzyxbbbbaaaa、，则，则ba/的充分必要条件是的充分必要条件是 . (A) zzyyxxbababa, (B) 0z
