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1、传递过程典型问题的解传递过程典型问题的解4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题（1 1）迄今为止，我们求解的流动问题都是一维 问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际 流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学 方法和技巧求解。 求解不可压缩流体二维流动问题的一种广 泛应用的数学技巧是流函数方法。 在此方法中，通过引进一个新的变量 流函数，减少了控制方程组里的因变量数目， 从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于 求解，尤其是更有利于用数值方法求解。在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流 动的变化方程组为：4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函
2、数方法求解二维流动问题 (2)(2)包含了三个自变量(t, x, y)和三个因变量(vx, vy, P ) 。(b.1)(b.2)(b.3)在微分方程课程中，我们曾学习过一类称 为全微分方程(exact differential equation)的变系 数常微分方程:4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (3)(3)则必然存在二元连续函数f(x, y)满足其系数满足判别式(b.4)(b.5)(b.6, 7)函数 f 的全微分为4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (4)(4)回到常物性牛顿流体二维流动问题，令由方
3、程定义的yx隐函数即是全微分方程的解。则有(b.8)(b.9)(b.10, 11)(b.12, 13)以及4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (5)(5)根据连续性方程，上式右侧的值等于零。于是 必然存在二元连续函数(x, y)满足如果我们得到了的表达式，通过求偏导数很 容易得到vx和vy。函数被称为流函数。很显 然，我们可以用求解来代替同时求解vx和vy 。(b.14)(b.15, 16)把与vx和vy的关系代入变化方程组,有4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (6)(6)连续性方程自动满足，可以从方程组中删
4、去 。(b.17)(b.18)(b.19)将式(b.18)对y求导和将式(b.19)对x求导，有4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (7)(7)(b.20)(b.21)从式(b.21)中减去式(b.20) ，得到(b.22)由上可见：控制方程已经从包含三个因变 量(vx , vy , P )的三个方程(b.1b.3)减少为只含一 个因变量()的单个方程(b.22)。这是一个巨大的简化！ 通过求解这个简化的数学模型得到流函数后， 只需对流函数求导就能得到速度函数。教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系 下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根 据具
5、体案例按需选用。4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题应用流函数方法求解二维流动问题 (8)(8)三个坐标系下的流函数方程问题描述: 一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下 落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体 的运动状态。例 4.2-1 环绕球体的爬流 (1)1. 物理模型: 1) 由于球体运动引起的流体物性变化很小，因 而可以有效地假设流体的密度和粘度为 常数。例 4.2-1 环绕球体的爬流 (2)2) 当从固定在地球上的参考系观察时，这个过 程是非稳态流动。但如果从固定在球体上 的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所 导出的运动方程在该参考系中
6、依然成立。通过选择固定在球体上的参考系，我 们将问题转化成为环绕一个固定球体的稳 态流动。例 4.2-1 环绕球体的爬流 (3)3) 因为过程在大空间中进行，在有限的时间 里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限 远处。 4) 因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)， 所以运动方程中的惯性项(与速度平方有关 的项)均可省略。 5) 流动具有轴对称性。例 4.2-1 环绕球体的爬流 (4)2. 数学模型: 1) 选用右图所示的球坐 标系。 2）根据物理模型中的第 1)点和第5)点，可以 从表4.2-1中的最后一 行得到此问题的控制方程：例 4.2-1 环绕球体的爬流
7、 (5)根据物理模型中的第2)点，方程左侧的第一项 等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧 色其它项均可省略，于是(4.2-2)式中的微分算子 E 可以展开成表达式(4.2-3)例 4.2-1 环绕球体的爬流 (6)式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出 ：根据关系式我们得到球表 面的边界条件 ：(4.2-4)(4.2-5)例 4.2-1 环绕球体的爬流 (7)(4.2-6)对B.C.3积分得到比较两式，我们有式中C是一个任意常数，不妨取为零。对B.C.4积分得到例 4.2-1 环绕球体的爬流 (8) 分离变量法3. 数学模型求解1) 分离变量B.C.3 提示我们流函数可能具有以
8、下形式： (* )其中将其代入式(4.2-3)，我们有(4.2-7)例 4.2-1 环绕球体的爬流 (9) 分离变量法所以式(*)可以写作(4.2-9)这是一个欧拉方程，其通解为将其展开，我们有(4.2-8)根据B.C.3, (4.2- 10)及 然后(4.2- 11) (4.2- 12)根据B.C.1和B.C.2, 及例 4.2-1 环绕球体的爬流 (10) 分离变量法例 4.2-1 环绕球体的爬流 (11) 分离变量法(4.2- 13)于是我们得到了速度场的表达式如下：(4.2- 14) 以及相应的流线方程例 4.2-1 环绕球体的爬流 (12)(4.2-16)4. 过程参数(4.2-15
9、)1) 压力场 把速度表达式代入N-S方程，我们可以得 到修正压力场的控制方程组该方程组的解为(4.2-17)即例 4.2-1 环绕球体的爬流 (13)(B.1-18)2) 剪切应力场 根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上 的剪切应力（即沿r -方向的 -动量通量）为把速度场的表达式(4.2-13, 14)代入上式，我 们有(* )例 4.2-1 环绕球体的爬流 (14)(B.1-16)3) 拉伸应力场 根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上 的拉伸应力（即沿r -方向的r-动量通量）为 把速度场的表达式(4.2-13, 14)代入上式，我 们有(*)例 4.2-1 环绕
10、球体的爬流 (15)4) 作用在球体上的曳力 流体施加在球体上的总作用力必然在z-方 向，并且应该等于法向应力和切向应力在整 个球体表面上的积分值。其中法向应力的贡献为(* )例 4.2-1 环绕球体的爬流 (16)总作用力包含浮力和动力学曳力两部分：而切向应力的贡献为动力学曳力的表达式被称为Stokes定律由于在物理模型中省略了惯性项，上述结果仅对非常缓慢的流动有效。通过与实验数据进行比较，应用Stokes定律计算动力学曳力的适用场合局限于Re 0时，收敛得比K=0时更慢，相应的边界 层厚度就增大。动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (13)(13)(2)
11、因为以及所以当K0时有可能出现K+f|K=0=0 ，对应于无 因次分布剖形具有一个拐点，如图20.2-3所示。(1)当xA0-xA0时，传质的方向是从流体到壁面，对应于K0，对应于K0。动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (14)(14)图20.2-3 无因次分布剖形动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (15)(15)3) 分子传递速率参照的定义，流体到壁面的分子传递 通量可表为(20.2-45)(20.2-46)(20.2-47)动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (16)(16)式中的无因
12、次分布剖形在壁面处的导数为(20.2-44)是无因次传递系数和无因次壁面传质通量 的二元函数，其具体数值可以采用数值积分 法计算(Table 20.2-1)。动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (17)(17)式(20.2-45)(20.2-47)构成了平板边界层中 三种传递现象之间类比关系的基础。对于三个无因次传递系数相等的情况：式(20.2-4547)可改写为这就是著名的雷诺类比。动量、能量动量、能量 和质量和质量 同时传递的边界层同时传递的边界层 (18)(18)无因次梯度(0 ; , K)可以被展开为K的泰勒 级数：对于K 0的情况，我们仅保留级数的第一项并 取a = 0.4696，式(20.2-4547)可改写为这就是常用的查尔顿柯尔本类比。(20.2-57)
