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1、数学建模简介数学建模简介( (二）二）桂改花 计算机工程技术学院 一、数学建模示例（二） 二、数学建模近几年竞赛题目 三、数学建模的过程数学建模的过程一、一、一、一、 数学建模示例数学建模示例数学建模示例数学建模示例 1.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺 水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50 小时，问船的速度是多少? 解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方解：用 x 表示船速，y 表示水速，列出方 程：程：75050)(75030)( yxyx 求解求解x x =20 y y =5答：船速每小时20千米/小时.答：船速每小时20千米/小时. 1 1 1 1、 古代将军的命令古代将军
2、的命令古代将军的命令古代将军的命令-线性变换线性变换线性变换线性变换传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发 传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发 传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发 传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发出一个出一个出一个出一个“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ”的信息，他要求该命令必须准确无的信息，他要求该命令必须准确无的信息，他要求该命令必须准确无的信息，他要求该命令必须准确无误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位误地发出，否则将处死传令兵。这可急坏了这位传令兵，要发一条信
3、息并不难，难的是如何保证传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证不出错，真是急得一身汗。不出错，真是急得一身汗。不出错，真是急得一身汗。不出错，真是急得一身汗。 正在此时，传令兵突然急中生智，他毫正在此时，传令兵突然急中生智，他毫正在此时，传令兵突然急中生智，他毫正在此时，传令兵突然急中生智，他毫不犹豫地站在传令台上，向前挥舞不犹豫地站在传令台上，向前挥舞不犹豫地站在传令台上，向前挥舞不犹豫地站在传令台上，向前挥舞“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ”的命令一百次，然后下来。结果当然是信的命令一百次，然
4、后下来。结果当然是信的命令一百次，然后下来。结果当然是信的命令一百次，然后下来。结果当然是信息发了出去，而且接受方也知道了息发了出去，而且接受方也知道了息发了出去，而且接受方也知道了息发了出去，而且接受方也知道了“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ”. . . .因为接受方虽不能保证一百因为接受方虽不能保证一百因为接受方虽不能保证一百因为接受方虽不能保证一百次看到的都是次看到的都是次看到的都是次看到的都是“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ” ，但可以几乎以概率为，但可以几乎以概率为，但可以几乎以概率为，但可以几乎以概率为1 1 1 1的把握确定的把握确定的把握确定的把握确定 是是
5、是是“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ”。因为一百次样本还是较大的，接受方理。因为一百次样本还是较大的，接受方理。因为一百次样本还是较大的，接受方理。因为一百次样本还是较大的，接受方理解为解为解为解为“ “ “ “进攻进攻进攻进攻” ” ” ”的可能性很大的可能性很大的可能性很大的可能性很大。现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假 设发出的信息为设发出的信息为设发出的信息为设发出的信息为a a a a，则传令兵发出的信息是，则传令兵发出的信息是，则传令兵发出
6、的信息是，则传令兵发出的信息是1001(1,1,1,1)a 个当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为 这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到 传令兵所处的环境，当然也就不会追究了传令兵所处的环境，当然也就不会追究了传令兵所处的环境，当然也就不会追究了传令兵所处的环境，当然也就不会追究了. . . . 5 5 Durer 魔方-线性空间Durer 魔方-线
7、性空间有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。 以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。Durer 魔方Durer 魔方德国著名的艺术家 Albrecht Durer (14711521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotiaI”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里德国著名的艺术家 Albrecht
8、 Durer (14711521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotiaI”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。我们仅研究铜币右上角的数字问题。Durer 魔方特点Durer 魔方特点 16 3213510 11 896712415 14 1每行之和、每列之和、对 角线之和、四个小方块之 和、中心方块之和都相等， 为确定的数34。每行之和、每列之和、对 角线之和、四个小方块之 和、中心方块之和都相等， 为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。所出现的数是1至16的自然数
9、。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？06118910 6015 091199606118910 6015 091199607118910 7016 091199707118910 7016 0911997108010015014011050407020160901201303060108010015014011050407020160901201303060定义定义 如果如果44数字方，它的每一行、每一列、 每一对角线
10、及每个小方块上的数字之和都 为一确定的数，则称这个数字方为数字方，它的每一行、每一列、 每一对角线及每个小方块上的数字之和都 为一确定的数，则称这个数字方为 Durer 魔方魔方。 R=C=D=S你想构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？你想构造Durer魔方吗？如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 DDurer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4a11a12a13a14a21a
11、22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M =所有的44数字方 ，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M =所有的44数字方 ，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，根据线性空间的性质，如果能得到
12、D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。则任一个Durer方均可由这组基线性表示。由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi, i=1,2,由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi, i=1,2,8。,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=00011000001001000001010010000010Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=010000010010100
13、0易知易知145823670QQQQQQQQ则则128,Q QQ线性相关。而由线性相关。而由112233445566770rQr QrQr QrQr Qr Q000000000000000012rr6r57rr34rr35rr47rr2r46rr25rr3r17rr16rr7r13rr24rr56rr=12345670rrrrrrr127,Q QQ线性无关。任一线性无关。任一Durer方可由它方可由它 们线性表示。们线性表示。结论：1 Durer方有无穷多个。2 Durer方可由结论：1 Durer方有无穷多个。2 Durer方可由127,Q QQ线性组合得到。Albrecht Durer的数
14、字方的构成：线性组合得到。Albrecht Durer的数字方的构成：11223344556677DrQr QrQr QrQr Qr Q12rr6r57rr34rr35rr47rr2r46rr25rr3r17rr16rr7r13rr24rr56rr=16 3213510 11 896712415 14 112345678,8,7,6,3,3,4rrrrrrr 练习练习完成下面的Durer魔方完成下面的Durer魔方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=100二二 数学建模近几年竞赛题目数学建模近几年竞赛题目 2005 A题： 长江水质的评价和预测B题： DVD在
15、线租赁C题： 雨量预报方法的评价D题： DVD在线租赁 2006 A题： 出版社的资源配置B题： 艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题： 易拉罐形状和尺寸的最优设计D题： 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 2007 A题：中国人口增长预测B题：乘公交，看奥运C题：手机“套餐”优惠几何D题：体能测试时间安排 2008 A题：数码相机定位B题：高等教育学费标准探讨C题：地面搜索D题：NBA赛程的分析与评价 A题：制动器试验台的控制方法分析B题：眼科病床的合理安排C题：卫星和飞船的跟踪测控D题：会议筹备A题：制动器试验台的控制方法分析B题：眼科病床的合理安排C题：卫星和飞船的跟踪测控D题：会议筹备 每一道题都紧扣当前社会 热点，很有时代意义。2010年 A题：储油罐的变位识别与罐容表标定B题：2010年上海世博会影响力的定量评估 C题：输油管的布置D题：对学生宿舍设计方案的评价2011年 A题：城市表层土壤重金属污染分析 B题：交巡警服务平台的设置与调度C题：企业退休职工养老金制度的改革D题：天然肠衣搭配问题 数学建模是可以学习的；数学建模是可以学习的； 初学者需要观察，然后尽可能快地 成为实际过程而受益；初学者需要观察，然
