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1、2008 年 第 1 页 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考答案和评分参考数学试题参考答案和评分参考 数数 学（一）学（一）一选择题一选择题 ( 1 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分.) （1）设函数20( )ln(2)xf xt dt，则( )fx的零点个数为 （B） （A）0（B）1（C）2 （D）3（2）函数( , )arctanxf x yy在点（0，1）处的梯度等于（A） （A）i（B）i（C）j（D）j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,C C C为任意常数）为通解的是 （
2、D） （A）044 yyyy. （B）044 yyyy（C）044 yyyy. （D）044 yyyy（4）设函数( )f x在(,) 内单调有界，nx为数列，下列命题正确的是 （B） （A）若nx收敛，则 ()nf x收敛. (B) 若nx单调，则 ()nf x收敛. (C) 若 ()nf x收敛，则nx收敛. (D) 若 ()nf x单调，则nx收敛. （5） 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵， 若03A， 则 （C） （A）EA不可逆，EA不可逆. （B）EA不可逆，EA可逆. （C）EA可逆，EA可逆. （D）EA可逆，EA不可逆 （6）设 A 为 3 阶非零矩阵，
3、如果二次曲面方程( , , )1x x y z A y z 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则 A 的正特征值个数为 （B） （A）0（B）1（C）2（D）3（7） 随机变量X， Y 独立同分布， 且X 的分布函数为 F(x)， 则 Z=maxX, Y分布函数为 （A） （A）)(2xF； （B）)()(yFxF； （C）2)(1 1xF； （D）)(1)(1 yFxF（8） 随机变量(0,1),(1,4)XNYN， 且相关系数1XY， 则 （D） （A）211P YX （B）211P YX（C）211P YX （D）211P YX天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q
4、 i h a n g .co m .cn2008 年 第 2 页二、填空题： （二、填空题： （914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） (9)微分方程0xyy满足条件(1)1y的解是yx/1(10) 曲线sin()ln()xyyxx在点（0，1）处的切线方程是1 xy.(11) 已知幂级数0(2)nn na x在0x 处收敛， 在4x 处发散， 则幂级数0(3)nn na x的收敛域为5 , 1(12) 设曲面是224zxy的上侧，则dxdyxxdzdxxydydz2=4(13) 设 A 为 2 阶矩阵，21,为线性无关的 2 维列向量，12120,2AaAaaa则
5、 A 的非零特征值为_1_(14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则2EXXP=e21三、解答题三、解答题 ( 15 23 小题，共小题，共 94 分分. ) (15)（本题满分（本题满分 9 分）分） 求极限40sinsin(sin )sinlim xxxx x解：解： 3040sinsinsinlimsinsinsinsinlimxxx xxxxxx2 分 20203sincos1lim3cossincoscoslimxx xxxxxx6 分 61 3sinlim22 210 xxx9 分 (16)（本题满分（本题满分 9 分）分） 计算曲线积分2sin22(1) Lxdxx
6、ydy，其中 L 是曲线sinyx上从点（0，0）到点( ,0)的一段. 解法解法 1：022cossin122sin122sindxxxxxydyxxdx Ldxxx022sin4分 002 2c o s2c o s2x d xxxx6 分 22s in212s in222002x d xxx9 分 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 3 页 解法解法 2：取1L为x轴上从点0 ,到点0 , 0的一段，D是由L与1L围成的区域 11) 1(22sin) 1(22sin122sin222LLLLydyxxdxydy
7、xxdxydyxxdx2 分 02sin4 xdxxydxdyD5 分 002 0sin00)2cos1 (sin22cos214dxxxxdxxxxydydxx22sin212sin2220002xdxxxx9 分 (17)（本题满分（本题满分 11 分）分） 已知曲线22220:35xyzCxyz，求 C 上距离xOy面最远的点和最近的点. 解：解：点),(zyx到xOy面的距离为z，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2zH 在条件02222zyx与53 zyx下的最大值点和最小值 点. 3 分 令)53()2(),(2222zyxzyxzzyxL5 分 由530203
8、420202222zyxzyxzzLyLxLzyx7 分 得yx ，从而 53202222zxzx，解得 555zyx或 111zyx10 分 根据几何意义， 曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点， 故所求点依次为)5 , 5, 5(和) 1 , 1 , 1 ( 11 分 (18)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设( )f x是连续函数， (I) 利用定义证明函数xdttfxF 0)()(可导，且( )( )F xf x； (II) 当( )f x是以 2 为周期的周期函数时，证明函数200)()(2)(dttfxdttfxGx也是以 2 为周期的周期函数. 天任启航考研 h t
9、t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 4 页 (I) 证：证：对任意的x，由于( )f x是连续函数，所以xdttfxdttfdttfxxFxxFxxxxxxxxx )( lim)()( lim)()(lim 000002分 )(lim)(lim 00fxxfxx （其中介于x与xx之间） 由)()(lim 0xff x ，可知函数)(xF在x处可导，且)()(xfxF5 分 (II) 证法证法 1：要证明)(xG以 2 为周期，即要证明对任意的x，都有)()2(xGxG，记)()2()(xGxGxH，则 2220000( )2( )(2
10、)( )2( )( )xxH xf t dtxf t dtf t dtxf t dt0)()(2)()2(22020dttfxfdttfxf8分 又因为00)(2)(2)0()2()0(2020dttfdttfGGH所以0)(xH，即)()2(xGxG10 分 证法证法 2：由于( )f x是以 2 为周期的连续函数，所以对任意的x，有 200020)()(2)()2()(2)()2(xxxdttfxdttfdttfxdttfxGxGxxxxdttfduufdttfdttfdttfdttf 002002022)()2(2)()()()(28 分 0)()2(2 0xdttftf即)(xG是以
11、2 为周期的周期函数. 10 分 (19)（本题满分（本题满分 11 分）分） 将函数21)(xxf，)0( x展开成余弦级数，并求级数12 1( 1)nnn的和.解：解：由于 02 2 0322)1 (2dxxa2 分 , 2 , 1,) 1(4cos)1 (21 202nnnxdxxan n5 分 所以nxnnxaaxfnnnncos) 1(431cos2)(121210， x0， 7 分 令0x，有1212) 1(431)0(nnnf， 又1)0(f，所以12)1(2121nnn11 分 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2
12、008 年 第 5 页 (20)（本题满分（本题满分 10 分）分） 设,为 3 维列向量，矩阵,TTA其中T，T为，的转置. 证明：(I) 秩( )2r A ；(II) 若, 线性相关，则秩( )2.r A 证：证：(I) ( )()TTr Ar()()TTrr3分 2)()(rr 6分 (II) 由于,线性相关，不妨设k，于是21)()1()()(2rkrrArTTT10 分 (21)（本题满分（本题满分 12 分）分） 设n元线性方程bAx ， 其中A 2222212121212n naaaaaaaaa ,12nxxxx ，100b (I) 证明行列式nanA) 1( ； (II) 当a
13、为何值时，该方程组有唯一解，并求1x； () 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解. (I) 证法(I) 证法 1：记nDA222221 21 2121 2na aa aaaa aa当1n时，aD21，结论成立，当2n时，2 223212aaaaD，结论成立 2 分 假设结论对小于n的情况成立，将nD按第 1 行展开得 2 122nnnDaDa Dnnnananaana) 1() 1(2221， 即nanA)1( 6 分 天任启航考研 h t t p :/w w w .z z q i h a n g .co m .cn2008 年 第 6 页 证法证法 2：22 2212 22 22121 32101221121 22121 22n naaaaaaaaaAraraaaa aaaa2 分 3222221 3012 4012332121 2naaarar aaaa aa4 分 nnnnanannannaaaarnnr) 1(
