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1、1 , 3 , 2 , 1k第四章 数值积分与数值微分 2 , 3 , 2 , 1k第四章 数值积分与数值微分 4.1 Newton-Cotes公式公式 4.2 复合求积法复合求积法 4.3 Romberg算法算法 4.4* Gauss求积法求积法 4.5 数值微分数值微分 2 3 本章要点 公式：近似值的几个基本求积计算定积分从而导出代替被积函数本章将用插值多项式badxxfxfxP)(),()(1) 等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式 (2) 数值微分公式 本章作业 1(1)a, 2(3), 4, 9, 11(2), 16 P160. 4 本章应用题: 为了计算
2、瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量:以西 向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将 从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干 段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标, 数据如表(单位mm): x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 3
3、7 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 3 5 02040608010012014016020406080100120140瑞士地图的外形如图(比例尺18mm:40km) 试由测量数据计算瑞士国土的近似面积,并与其精确值 41288平方公里比较 6 4.1 Newton-Cotes公式公式 badxxffI
4、)()(对于积分 公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象: 的一些数值只给出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函数如求不出来的原函数)(,)()()2(xFxFxf求原函数较困难的表达式结构复杂,)()3(xf4 7 以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法 这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用 插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下: 上取一组节点在积分区间,ba bxxxan10次插值多项式的作
5、nxf)( nkkknxlxfxL0)()()(为插值基函数), 1 , 0)(nkxlk不同的 插值方法 有不同的 基函数 8 有的近似作为被积函数用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()( nkbakkdxxlxf0)()(则，若计bakkdxxlA)(badxxffI)()( nkkkxfA0)(这就是数值求积公式 称为求积系数其中kA为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立 )( fIn5 9 因此定义代数精度的概念: 定义1. 若求积公式 badxxf)( nkkkxfA0)(
6、即都准确成立次的代数多项式对任意次数不超过,)(mixPmi即只要立次多项式却不能准确成但对,1mbaidxxP)( nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1 nkm kkxA01则称该求积公式具有m次的代数精度 代数精度也称 代数精确度 10 例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. 220)()0()()0(2)(IhffahhffhdxxfIhhdxxI 00解: 222hI 202232hahhI0)(xxf对于hI 2hhdxxI 011)(xxf对于22hhdxxI 022)(xxf对于33h3)221(ha2II 令121a6 11 3022242h
7、ahhIhdxxI 033)(xxf对于44h44h4023252hahhIhdxxI 044)(xxf对于55h65h3 ,2 , 1 , 0)()(2jxIxIjj)()(4 24xIxI因此 所以该积分公式具有3次代数精确度 12 一、Newton-Cotes数值求积公式 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 ,)(baCxf设函数为插值多项式及余项分别的Lagrangexf)(等份分割为将积分区间nba,nkkhaxk, 1 , 0,为步长其中nabh各节点为 7 13 nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)
8、1( xnfxRnnn,ba niinxxx01)()(其中 kjnjjkj kxxxxxl0)(而 )()()(xRxLxfnn因此对于定积分 badxxffI)()(banndxxRxL)()(有 badxxffI)()(14 bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)( nkkkxfA0)(bandxxR)(令 nkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(badxxfI)()()()(nnIRfIfI即有 bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n阶Newton-Cotes求积公式 Newton-Cotes公式的余项(误差) )()(fIfIn8
9、 15 bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的计算kA注意是等距节点 thax假设,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjknkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(16 dtjtknknabnkjnjkn 00)()!( !)1()()()(n kkCabA nkkknxfAfI0)()( nkkn kxfCab0)()()(所以Newton-Cotes公式化为 系数称为CotesCn k)(思考 使用n次Lagrange插值多项式的Newton-Cotes 公式至少具有n次代数精度,并且n为偶数时至
10、 少具有n+1次代数精度,试以n=1,2,4为例说明 该结果 9 17 二、低阶Newton-Cotes公式及其余项 在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要三个公式,称为低阶公式 1.梯形(trapezia)公式及其余项 abhbxaxn, 110则取dtt10)1()1( 0CCotes系数为 21dtt10)1( 1C21求积公式为 18 )(1fI 10)1()()(kkkxfCab)()(210xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为 -0.500.511.500.511.522.533.544.5)()
11、(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余项为 )()(1IRTRbadxxR)(110 19 dxbxaxfTRba )(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二积分 中值定理 6)( 2)(3abf )()!1()()(1)1( xnfxRnnn)(12)(3 fab 2312)(|)(|MabTR|)(|max ,2xfM bax 梯形(trapezia)公式具有1次代数精度 故 20 2.Simpson公式及其余项 2,2,2210abhbxabxaxn则取Cotes系数为 dtttC20)2( 0)2)(1(41 61dtttC20)2( 1)2(21 64dtttC2
12、0)2( 2)1(41 61求积公式为 2I 20)2()()(kkkxfCab11 21 )(61)(64)(61)(210xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 )(2fIS Simpson公式的余项为 )()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代数精度 22 3.Cotes公式及其余项 4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk则取Cotes系数为 dtttttC)4)(3( )2
13、)(1(! 44140)4( 0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4( 19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4( 29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4( 39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4( 490712 23 求积公式为 )(4fI 40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210xfxfxfxfxfab上式称为Cotes求积公式，也称五点公式 记为 )(4fIC Cotes公式的余项为 )()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有5次代数精度 24 三、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差) dtjtknknCnkjnjkn n k 00)()()!( !)1(考察Cotes系数 无关与函数的划分有关的节点只与积分区间)(,xfxbaj因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 的计算引起函数值)(kxf其值可以精确给定 13 25 响的舍入误差对公式的影只需讨论)(kxf)()()(,)(计算值的近似值作为而以为精确值假设kkkxfxfxf
