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1、概率论与数理统计 A 卷评分标准共 4页第 1页12009200920102010 学年学年 第第 2 2 学期学期 概率论与数理统计概率论与数理统计A A 卷评分标准卷评分标准 一一、单项选择题单项选择题（本大题共本大题共 5 5 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 1515 分分） 。 1、盒子中有 10 个外形相同的木球，其中 4 个红球，6 个白球，甲、乙、丙三人依次从 中抽取一个球（不放回） ，则丙取得红球的概率为 （A）7/10；（B）3/5；（C）2/5；（D）1/10. 答：（C ） 2、随机事件AB、相互独立，且( )1 2, ( )1 3P AP B，则(|)P A
2、 B等于 （A）0；（B）1/6；（C）1/3；（D）1/2. 答：（ D ）3、离散型随机变量X的分布函数为0,20.4,21( )0.7,111,1xxF xxx ，则概率(1)P X 等于（A）0.7；（B）0.4；（C）0.3；（D）0. 答: （C ） 4、 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%.用X表示在随机抽 查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数,由中心极限定理，X的近似 分布为 （A）(0,1)N；（B）(20,16)N；（C）(20,0.16)N；（D）(0.2,0.16)N. 答: （B ） 5、随机变量,1,2,3,4iX i 相互
3、独立，且都服从(0,1)N分布，若随机变量)2()2()(22 432 21XXbXXa，则常数, a b的值分别为（A）1 1,2 5；（B）2,5；（C）31,21；（D）3, 2.答: （A ）二二、填空题填空题（本大题共本大题共 5 5 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 1515 分分）。）。6、已知离散型随机变量X的分布律为11()( ),1,2,.2kP XkAk，则常数A=1/2.7、向区间(0,1)内随机投掷 4 个点，则至少有一个点落在区间(0.2,0.7)内的概率为15 16.8、 已知随机变量X服从参数为 1 的泊松分布， 随机变量Y服从区间(0,2)上的均匀分
4、布，且XY、相互独立，则()D XY=4 3.9、抛一枚硬币 20 次，X表示正面出现的次数，Y表示反面出现的次数，则XY=1.10、某种保险丝熔化的时间（单位：秒）),(2NX，现随机抽取X的一个容量为概率论与数理统计 A 卷评分标准共 4页第 2页216 的简单样本，测得样本均值_ 15x ，样本方差20.64s ，则的置信度为 0.95的置信区间为(14.5737,15.4263).（已知0.025(16)2.1199t，0.025(15)2.1315t，0.05(15)1.7531t）三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，每小题每小题 1010 分分，共共 6060
5、分分）。）。 11、某城市发生一起凶杀案，公安人员根据案情分析，得出凶手还在该城市的概率为 0.4，已逃往外地的概率为0.5，自首归案的概率为0.1,而且，若凶手还在该城市， 被抓到的概率为0.9，若凶手逃往外地，被抓到的概率为0.5，求该凶手归案的概 率。 解：设B表示凶手归案，1A表示凶手还在本市；2A表示凶手逃往外地；3A表示凶手自首，则所求概率为31( )(|) () .(5)0.9 0.40.5 0.50.1 1.(9)0.71.ii iP BP B A P A.(10) 12、已知连续型随机变量X的概率密度函数为 cos ,22( )0,Axxf x 其它，（1）求常数A； （2）
6、求概率(04)PX. 解：（1）由密度函数的性质( )1.(2)f x dx即22002cos2 sin1.(4)AxdxAx 故1 2.(5)A （2）由题意401(04)cos.(8)2 2.(10)4PXxdx13、已知连续型随机变量X的分布函数为3,0( )0,0xABexF xx，（1）求常数,A B； （2）求概率( 12)PX ； （3）求X的概率密度函数( )f x. 解：（1）由分布函数的性质 (0 )(0 )0.(1)()11.(2)FFABFA 因此可得1,1.(3)AB （2）由分布函数的性质6( 12)(2)( 1)1.(6)PXFFe （3）由密度函数的定义330(
7、 )( ).(10)0,xexdF xf xdx ，其它概率论与数理统计 A 卷评分标准共 4页第 3页314、已知二维连续型随机变量(, )X Y的联合概率密度函数为24 , 01,0( , )0,yyxyf x y 其它 ，（1）求概率(1)P XY； （2）分别求出(, )X Y关于XY、的边缘密度函数,并判断,X Y是否独立。 解：（1）由题意211132 5 15 1122(1)( , ).(2)4(444 ).(4)5(35).6xyyyP XYf x y dxdyydydxyyy dy .(5)（2）由题意122 ,014, 01( ).(7)0,0,xXxxydyxfx 其它其
8、它 2304,014, 01( ).(9)0,0,yYyyydxyfy 其它其它 因为( , )( )( )XYf x yfx fy，故,X Y不独立.(10)15、已知二维离散型随机变量(, )X Y的联合分布律为（1）求分别求出(, )X Y关于XY、的边缘分布律；（2）求(, )Cov X Y.解：（1）(, )X Y关于X的边缘密度函数为1012.(3)0.30.30.10.3 (, )X Y关于Y的边缘密度函数为10.(5)0.50.5 （2）由题意ZXY的分布律为2101.(7)0.200.60.2 故(, )()0.2(0.5 0.4)=0.(10)Cov X YE XYEXEY
9、 16、总体23.4, 4XN?，12,nXXX为来自总体的一个容量为n的简单样本，（1）求样本均值_11ni iXXn的分布； （2）若样本均值_ X位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于 0.95，问样本容量n至少应取多少。 （已知(1.96)0.9750）解： （1）由题意2_43.4,.(2)E XD XnX Y-1-10 01 12 2-1-10.20.100.2 0 00.10.20.10.1概率论与数理统计 A 卷评分标准共 4页第 4页4故2_114(3.4,).(5)ni iXXNnn?（2）由_ (1.45.4)0.95PX，可得_ _1.43.43.45.43.4(1.
10、45.4)()4442 (2) 10.95.(8)(2)0.975(1.96),21.9615.3664,16.XPXPnnnnnnnn 即，故故至少取.(10)四四、解答题解答题（本大题共本大题共 1 1 个小题个小题，5 5 分分）。）。17、已知总体X的概率密度函数| |( ; ),2xf xexR，其中0是未知参数，12,nXXX是来自总体X的一个简单样本,求的最大似然估计量 .解：似然函数为| |1( ).(2)2in xiLe1ln ( )lnln2|.(3)ni iLnnx对数似然函数11ln ( )0|0.(4)|.(5)ni ini idLnxdnX 令 的最大似然估计量五五、解答题解答题（本大题共本大题共 1 1 个小题个小题，5 5 分分）。）。 18、 已知ABC的顶点C到对边AB的距离为h， 今在三角形内部随机取一点M， 记M到边AB的距离为X，求X的概率密
