城镇燃气管网的水力计算

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1、 钢 铁 技 术 2000 年第 4 期 37 燃 气 城镇燃气管网的水力计算 城镇燃气管网的水力计算 燃气室 向廷海 摘 要 介绍了燃气管网水力计算的数学模型和求解方法，对求解过程的速度、稳定性和计算精度等 问题经分析后给出了解决方案，同时提出了一种管网优化设计方法。 关键词 数学模型 矩阵计算 城镇燃气管网 1 序言 城镇燃气管网水力计算是城市煤气设计 的主要工作之一，设计时要求燃气管网既要 满足使用的需要，投资又省，又要对运行中 的燃气管网能保证合理的生产调度、管网事 故模拟及建立处置预案和管网事故的紧急处 理。管网水力计算常用的方法为回路分析法 和节点流量法（又称为水力计算法）。回路

2、分析法只适用于小型的枝状管网，节点流量 法具有在不知道管段流量的情况下通过迭代 逼近真解的特点， 适用于各种大型复杂管网， 但该法计算工作量大，手工计算非常困难， 通常在计算机上进行。本文介绍作者在编制 燃气管网水力计算程序时对数学模型、求解 方法的分析和解决的方案。 2 城镇燃气管网水力计算的数学模型 2.1 燃气在管内流动的阻力损失计算 燃气在管内流动的阻力损失，即燃气流 过某一管段后的压力损失或压差的计算依据 是城镇燃气设计规范（GB50028-93,1998 年版）中的规定，对中、高压管道（定性压 力不小于 5kPa）： 052 102 22 110271TTdQ.LPP=（1） 对低

3、压管道（定性压力小于 5kPa）： 052 71026. 6TT dQ lP=（2） 2.2 管段导纳及管网导纳矩阵 将方程（1）和方程（2）改写成如下形 式： QQf)(= （3） 式中为管道的压差或压力平方差， f(Q) 定义为管道的线性流量阻力损失系数。上式 将管段压差与流量简化成线性关系，管内流 动压力损失的所有影响因素归结到系数 f(Q)。 燃气管网与电路是可以比拟的，因此与 电路中导纳的定义相似，定义线性流量阻力 损失系数的倒数为管段导纳 G。 如此方程 （3） 可以改写为： GQ = （4） 对任一管段 j，其导纳为 g(j)，并按如 下方式定义管网的导纳矩阵，它是 b 阶对角

4、方阵（b 为管段的数量）： 0),(),(jgjiG= （5） 38 钢 铁 技 术 2000 年第 4 期 其中当 j=i 时，G(j,j)=G(i,j)=g(j)； 当 j 不等于 i 时，G(i,j)=0。 2.3 连接矩阵 连接矩阵 A 是以节点为行，管段为列组 成的矩阵，它是 nb 阶矩阵（n 是除定压力 节点外的节点数）。物理意义是对任一管段 j， 如果节点i为管段j的起点， 则A(i,j)=-1； 如果节点 i 为管段 j 的末点，则 A(i,j)=1； 如果节点 i 不在管段 j 上，则 A(i,j)=0。 1, 0 , 1 ),(=jiA （6） 2.4 节点流量与管段流量的

5、关系 节点流量和管段流量之间存在如下关 系： qAQ = （7） 上式中 Q 是管段流量的列矩阵，q 是节 点流量的列矩阵。上式体现了管网水力计算 的要求之一，即管网中各个节点流量的代数 和为零，水力计算就转化为求解方程（7）。 如果 Q 与呈线性关系，上述方程是容易求 解的，但多数工程问题中与 Q 的 1.75 到 2 次方成正比，不能一次求出。 2.5 节点压差与管段压差的关系 节点相对于基准点的压力差和管段压差 之间存在如下关系： TA （8） 式中为除定压力节点以外的其它节点 与基准点的压力差或压力平方差的列矩阵， 为管段压力差或压力平方差的列矩阵。 2.6 节点流量与压差 将（4）式

6、和（8）式代入（7）式，得到 如下方程： qAGAT= （9） 方程（9）称为节点压力方程，它建立了 节点流量与节点相对于基准点的压力差或压 力平方差之间的关系。 定义节点导纳矩阵 Y=AGAT，可以证明它是 nn 阶对称方阵，其元素满足如下关系： ), 2 , 1,(),(),(),(),(01 njikjAkkGkiAjiYbk L= （10） 3 管网水力模型的求解 3.1 求解过程 管网水力计算的核心就是求解节点压力 方程，由于管段流量与压力差或压力平方差 之间的非线性关系，必须通过迭代的方法逼 近，其过程如下： 将估算的流量值或前次迭代的流量 值（旧值）的修正值，作为迭代计算的初值；

7、 根据方程（1）或（2）计算管道的 导纳，构造管网的导纳矩阵； 解方程（9）求出各节点相对于基准 点的压力差或压力平方差； 计算各节点的压力和管段的压降； 计算各管段流量（新值）； 比较各管段流量的新值与旧值的相 对误差，若不满足精度要求则用新值的修正 值替换旧值后重复以上过程，若满足精度要 求则计算结束。 3.2 节点导纳矩阵的求解 3.2.1 节点导纳矩阵的特点 在每一次流量迭代过程中，CPU 时间主 要是耗费在求解 Y 矩阵上，因此根据 Y 矩阵 的特点选择恰当的求解方法，对提高求解过 程的速度和保证求解过程的稳定性是非常重 要的。 节点导纳矩阵不能保证严格的主对角元 素占优，但至少有一

8、行（与基准点在同一管 段上的另一节点所在的行）的主对角元素是钢 铁 技 术 2000 年第 4 期 39 占优的，它是一个不可约对称矩阵，且 Y 矩 阵具有带状稀疏的特点，其半带宽为所有管 段两端编号之差的最大值。 3.2.2 Y 矩阵求解的速度和稳定性分析 通常矩阵的求解方法有直接消元法、LD 分解法和迭代法等，前两种解法也称为直接 法。一般 m 阶非奇异矩阵用直接消元法求解 的乘法运算次数为 m3/3 次； LD 分解法的乘法运算次数为 m3/6 次；迭次法则不确定，取决于迭代格式、迭式精度和设定的迭代初值。 直接消元法不仅计算次数多，而且是最不稳 定的算法，现在已不被采用。LD 分解法和

9、迭 代法的稳定性相对较好，但后者的计算次数 可能更多。 采用 LD 分解法对方程（9）快速求解是 可行的，由于数学上还不能证明它是严格稳 定的，所以有必要寻求更稳定的解法。数学 上已经证明 Causs-Sidel 迭代法和 SQR（超 松驰迭代）法在求解不可约对称矩阵时是严 格收敛的。这点对确定解法是至关重要的， 它意味着无论管网多么复杂，至少有种算法 能保证对 Y 矩阵求解时不会失败。 3.2.4 矩阵求解方法 由于 Gauss-Sidel 迭代法和 SQR 迭代法 的求解速度比起直接法要慢得多（特别迭代 精度要求较高时更加明显）。较好的做法是 在求解速度和稳定性方面找到一个平衡点， 既要发

10、挥直接法快速的特点，又要保证求解 的过程是稳定的。根据这种思路，我们采用 的算法是把速度快而又比较适合求解对称矩 阵的 Cholesky 分解法（又称平方根法）和能 保证求解过程稳定的 Gauss-Sidel 迭代法组 合 在 一 起 。 求 解 时 首 先 用 速 度 较 快 的 Cholesky 分解法，当该方法失败时则自动转 向 Gauss-Sidel 迭代法。同时考虑 Y 矩阵带 状稀疏的特点，在编程时对解法进一步加以 改进，带宽以外的零元素不参与运算，大大 节省了运算次数。 3.3 流量迭代的实施与精度控制 3.3.1 收敛判据 定义如下两个迭代序列： =bikbikkiTiTiMM

11、1)(1)()()()()( （11） =bikbikkiTiTiPP12)(1)()()()()( （12） 其中 T(i)为各管段流量的真解，T(k)(i)为第k次迭代后各管段流量的误差解。 M(k)(i)为在第 k 次迭代后各管段流量与真解的误 差， M(k)则为各管段流量误差的代数和； P(k)(i)为各管段流量与真解的方差，P(k)则为方差之和。 经过有限次迭代后满足精度要求的迭代 过程被称为是收敛的，否则是发散的。迭代 过程收敛的数学表述是 M(k)和 P(k)的迭代序列的极限同时趋近于零，这是一个充分必要条 件。 由于在迭代过程收敛之前，我们并不知 道真解，无法构造上述序列，因此

12、它没有实 用价值。 实际采用的是上述主要条件的推论， 即在经过若干次迭代后，当两次迭代过程的 相对误差小于任意给定的无穷小正数时，则 称迭代过程收敛。因此定义如下迭代序列： =bikkbikkiTiTiMM 1)()1(1)()()()()(（13） =bikkbikkiTiTiPP 12)()1(1)()()()()( （14） )()(iMMaxSkk= （15） 可以证明， 当迭代序列 M(k)和 P(k)收敛时，M(k)、P(k)和 S(k)也一定收敛。上述三个迭代序列均可作为收敛的判据，在程序中采用的 是式（15），即在每次迭代后对各管段的流 量误差（新值与旧值的差值）的绝对值进行4

13、0 钢 铁 技 术 2000 年第 4 期 比较，取其中最大的作为本次迭代的流量误 差， 因此当 S(k)小于设定值 （任意小的正数）时就认为最后迭代过程已经收敛，此时的解 就是真解。 3.3.2 流量迭代过程的实施 管段流量收敛的速度不仅与管段流量的 初值设定有关， 而且与采用的迭代方法有关。 在 3.1 所述的流量迭代过程中，第步所采 用的管段流量新值，对迭代过程是否收敛的 收敛速度有着明显的影响。较早期程序采用 最简单的做法， 即直接代入前次迭代的结果， 实际证明该方法的收敛速度很慢，而且多数 情况下会发散。因此为加快管段流量收敛的 速度且保证迭代过程不会发散，必须考虑更 有效的迭代方法

14、。 注意到管网水力计算是基于特定工况进 行的，管网的总输气是恒定的，方程(9)实际 上是一个平衡方程，管段流量的分布应该只 取决于管网的流体动力特性。平衡方程组中 任何一个扰动（这个扰动实际上就是迭代过 程中的误差），必然引起一个或数个反向的 扰动来补偿，这表明在每次迭代过程中的误 差解总要围绕着真解波动。随迭代过程的进 行，波动的峰值有可能扩大，从而造成迭代 过程的失败。解决这种波动现象的较好方法 是欠松驰迭代法，这固有的阻尼特性能使波 动的幅值随迭代过程的进行而衰减。欠松驰 迭代在数学上可以描述为： )()()()()1()()1()(iTiTiTiTkkkk+= （16） 欠松驰迭代法的

15、关键问题是找出松驰因 子（它的值介于 0 和 1 之间）。经筛选后， 取阻尼因子=0.5，实际证明效果很好。 3.3.3 迭代过程的精度控制 迭代过程精度控制有两重含义，一方面 是两次计算的管段流量的相对误差大小的控 制，另一方面是迭代过程中的相关变量由于 计算机存数字的位数限制而产生的截断误差的控制。对前者，在计算时通过人机对话方 式，根据需要确定和调整计算精度。对后者， 在迭代过程中循环变化的量， 如管段的流量、 导纳、压力差或压力平方差、节点压力等参 数，采用双精度数据类型（计算机中保留有 效数字位数最多的一种数据类型）以减小截 断误差。 4 管径的优化 管网水力计算的前提条件之一是必须知 道各个管段的直径，而大多数实际问题却是 要求通过水力计算确定管径，因此管径的优 化是管网水力计算中不可缺少的部分。那些 无管径优化的程序，只能进行验算而不能进 行设计，实用性会受到很大限制。优化过程 的好处更主要体现在不需要设计者盲目地确 定管道直径，使水力计算真正起到设计