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1、黄冈 师专学报? ?年第!期谈空间区域图画法的教学翁 妙 仙数学科#解析几何是师专数学专业的一门重要的基拙课师专解析儿何教学大纲指出,通过学习解析几何,要“注意培养学生画图 能力,提高画图技能”,这是提高学生 的空间想象力的有力手段之一不仅如此,在学习数学分析及其他课程时,常常遇到要画由几块曲面围成的空间区域 直 观图的情况,这也需要学生 具备较强的绘图能力此外,作为一个未来的中学教师,画图能 力 的高低 也 是衡 量其数学素养的重要标志之一因此,在解析儿何教学中,使学生能正确、合理地绘制几何形体的直观图,对于 发展学生的空间想象力以及将来从事中学数教学学,都具有重 要的现实意义但 是,教学实
2、践表明,学生在 学完 了解析儿何以后,对于如何画空间形体的直观图,特别 是画空 间区域的直观图,仍然感到困难,普遍反映不知从何下手究其原因,不外有三%一是 教材本身对直观图的作法缺乏系统 的介绍,很多地方只用例题说明了北1一卫兰7其中一条主截在0 9:平面上 的真形,如 图+#而在空 间坐标系 中,卜?一含=,%、一斗鱼钧,杯、#图+) 6例,画出马鞍面等一丫一:的图形任如 图!所示,通过儿条平截线直观地表示了马鞍面形状如上所述,通过点 的直观图的画法,熟练掌握吝种平 面及二次曲面轮廊线的直观 图的画这样反复训练,就能够达到正确全面分析方程,理清绘图脉胳、合理地绘制平面与二次曲面直观 图的目的
3、法)空间区域图的描绘 是直观 图 教学中的重点和难点 巴异 白 竺髻轮廓冬顶 点、两曲耐线所组成的学生对一个具体空间区蜘作 图题瘫感刹 仔 上 杏有时就严械 地把这些 曲面外形轮廓线一画断而不画出交线或画不出交线,画 岁时图世缺少 舟体感,当然就不是区域 的直观 图 了这主要是由于学生对题目缺乏全面分析和对里 同区域缺乏 想象力所 致为了解决这个问题,应 引导学生注意下面几点%廿 #必须根据所 给方程的气氛和所给条件,对区域进行全面分 析首先要弄青空间区域足由咧,几个曲 面围成的,每个曲面形状和位置大体如何)#想象区域在空间的形 状、位置0忿十37艺078;013二:二8线了、交廿刁卜口口面平
4、知,旋转抛物面与三坐标面的交 线为两个抛物 线包括原点#椭圆抛物面与平面0十37一 ?的交线,可用等价方 程组原点5为区域图一个顶点了013二 ?(含:一告#二3一含#“表示,它是一个旋转曲面与平面交成的、顶点在告,告,去#的抛物 线+平面013一(在二9了面 上的截线是一条与0轴交于/?,8,8#、288#的直线其中人为三平面013二?:783二8013二? 交点,2为三平面悦:二。二8交点,故/、2是区域图的另二个顶点/ 5 “。分 别为“标面;拜吕丈汇吕交线三曲面;13么,:013,?3,5交 点为4(,8一013念二#,三曲面戈1弋二交点为8,(#,4、是区域图的其它的两个顶点!。区域
5、图有五个顶点,由草图知,边界线有五条直线/2、/4、2、5 /、52及三条抛物线弧54、5、4我们可先画出 曲面0,13么二:,然后一一画出 其它 平面与它 的 交线及顶点区域图 见 图,+抓绘圈关键,促绘圈技 能画 区域图的难点是作两曲面的交线,突破 难 点关健是首先识别 交 线形状,然后找出曲线上一些特征点对此,学生感到困 难为此应抓好下面两个工作(#化简交线方程组 两 曲面交线 由方程组表示,有时表达 交 线 的方程组较复杂,学生不易从原 方 程组识别形 伏对于同一条空间曲线,可用许多等价方程组表示一般来说方程变量个数越少,方程越简单,对应图就易识别和描 绘我们利用消元法,在其方程组中力
6、图寻求一个最易识别 最易表达交线的等价方程组其几何意义就是求空间曲线 的投影 柱 面这个问题应在空 间曲线有关章节中从理论 上 给 予阐述例+(讨论 空间“线;)0)1:“1!37!)0十+)“一37?)的形状由所给方程组较难识别、描绘该曲线,我们 可从方程组中分别消去3及:得等价方程组;苏北二互急:可 见该曲 线是一个准 线在二。:坐标面上的圆尹1:一)广?!、母线平行于3轴 的 圆柱面,和一个准 线在0 93坐标面上 的抛物 线扩一!3、母 线平行于:轴的抛物柱 面 的交 线采 用辙助平面法,取:75簇!#为辅助平面,它在正等测坐标系 中的直观图 如 图6所示从这里我们看到,利用 空间曲线
7、 的投 影柱面来表达空间曲线,有利于我们识别空间曲线的形状例!)求作由曲面+0,13#7?8)和0131:“7),围成的空 间区域图这是一个顶点在坐标原点,开口向:轴正向 的旋转抛物面和球心在原点、半径为,的球面所围成 的区域作此区域图关键在于画出两曲面交 线这两曲面都是绕:轴的 旋转面,显见交线 是一个圆但从原有方程组作其交线圆不易,现把其化为等价方程组,? ? ?、训训;0么13?6:7一) ,等一系列交点图中取?时,?高度为士,所得 交点为,即为截交线顶点(,连、:、=、;、3的曲 线,即为所求交线%羊图1例 求作由两抛 物柱面+.训)及+“侧)和两平面/.?及)/所 围成 的立体图形%
8、用辅助平面法作由抛 物柱面+.了),+一训)分 别与平面)4.组成 的交 线弧92,9 3见图(%我们用过点4 ,? (且 平行于+/平面的平面去截割两抛物柱面,得 矩形4444和44846%对于矩 形!4,4,4 ,(在直 线79上,4,侧亏一,(在 抛物线5 2上, ,训, (即为矩 形、抛物柱面+.亿),平面)/一的交点、4,为柱面+.侧了、母 线,4在交线+.侧)/.上%同理84在交 线+.训盆)/.上%于 是,我们 就 得到描绘交线上任意点方法在5/上 任取一点,过作 了轴,为邻边得矩形另一顶点,为交线交/ 2于,过作了3轴交54弧于,以、;一斌上点同理可作出交线 ;37)丫荞上的点
9、01:01:这样4 ,%2弧和 ,%2弧为所 求交线从上所述,求平面和柱面交线时采用辅助平面法,实质是在柱面中选取一系列的母 线来与平面求其共有点,从而求出女线上的一系列, 的点最后,我们要指出,为 了 提高空间区域直 观图的教学 效果,一必须对这 部分教材进行全面规划&统筹安排一要通过展 示直观模型、挂图和典塑例题引路 的方法,分阶段有步骤地遂步使学生掌握 绘制直观图的基础知识,在反复实践 的过程中,提高绘图的技能技巧,从而达到培养学生空 问想象力的目的,实 践表 明,只要这样作,效 果就 能收到较好的教学健4权场8#6姗8# ,”图参 考 文 献?吕林根、许子道等编解析几何 ,第三版,北京,高等教育出版社,? )吴光磊,空间解析几何简明教程 ,北京,人民教育出版社,? 了
