数学名著

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1、数学名著数学名著 几何原本几何原本 几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数 学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发 展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。 它历经多次翻译和修订，自 1482 年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不 同的版本。除了圣经之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛， 能够与几何原本相比。但几何原本超越民族、种族、宗教信仰、文化意 识方面的影响，却是圣经所无法比拟的。 公元前 7 世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材料。希腊学者 们开始对当时的数学知识作有计划的整

2、理，并试图将其组成一个严密的知识系 统。首先做出这方面尝试的是公元前 5 世纪的希波克拉底（Hippocrates） ，其后 经过了众多数学家的修改和补充。到了公元前 4 世纪时，希腊学者们已经为建构 数学的理论大厦打下了坚实的基础。 欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整 理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选 择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺 序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有 严密逻辑体系的几何原本 。 几何原本的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是

3、以希腊评 注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的。 几何原 本的泰奥恩修订本分 13 卷，总共有 465 个命题，其内容是阐述平面几何、立 体几何及算术理论的系统化知识。 第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关 于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定 理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲学家 T霍布斯的一个小故事：有一 天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得的几何原本 ，看到毕达哥拉斯定理，感到十 分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的。”他由后向前仔细阅读第一章的每个命 题的证明，直到公理和公设，他终于完全信服了。

4、 第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。 第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这 些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。 第四卷则讨论了给定圆的某些内 接和外切正多边形的尺规作图问题。 第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释， 被认为是最重要的数学杰作 之一。据说，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和牧师波尔查诺（Bolzano， 17811848） ，在布拉格度假时，恰好生病，为了分散注意力，他拿起几何原 本阅读了第五卷的内容。他说，这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛中完全解脱出来。此后，每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病

5、人推荐。 第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子 的“欧几里得算法”， 讨论了比例、 几何级数， 还给出了许多关于数论的重要定理。 第十卷讨论无理量，即不可公度的线段，是很难读懂的一卷。最后三卷，即 第十一、十二和十三卷，论述立体几何。目前中学几何课本中的内容，绝大多数 都可以在几何原本中找到。 几何原本按照公理化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一 个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概 念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和 逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。 几何原本成为了两千多年来

6、运 用公理化方法的一个绝好典范。 诚然，正如一些现代数学家所指出的那样， 几何原本存在着一些结构上 的缺陷，但这丝毫无损于这部著作的崇高价值。它的影响之深远使得“欧几里 得”与“几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数 学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。 几何学几何学 几何学是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛 卡儿的名著更好地指导推理和寻求科学真理的方法论 （或简称方法论 ）的 三个附录之一，于 1637 年出版的。 几何学在方法论中大约占 100 页，共分三卷，讨论的全是关于几何 作图问题。笛卡儿在这本书中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾

7、画了解 析几何的方法。他说，“当我们想要解决任何一个问题时”，“给作图中要用到的 线段以一个名字”，“用最自然的方法表示这些线段之间的关系，直到能找出两种 方式来表示同一个量，这将构成一个方程”。在第一卷中，笛卡儿对代数式的几 何作了解释，而且比希腊人更进一步。对希腊人来说，一个变量相当于某线段的 长度，两个变量的乘积相当于某个矩形的面积，三个变量的乘积相当于某个长方 体的体积。 三个变量以上的乘积， 希腊人就没有办法处理了。 笛卡地不这么考虑， 他认为：与其把 X2 看作面积，不如把它看作比例式 1：x=x：x2 的第四项。这 样，只给走一个单位的线段，我们就能用给走线段的长度来表达一个变量

8、的任何 次幂与多个变量的乘积。在这一部分中，笛卡地把几何算术化了：如果在一个给 定的轴上标出 x，在与该轴成固定角的另一直线上标出 y，就能做出其 x的值和 y值满足一定关系的点（见图 1） 。 在第二卷中，笛卡儿根据代数方程的次数对几何曲线分了类：含 x和 y的一 次和二次曲线是第一类；三次和四次方程对应的曲线是第二类；五次和六次方程 对应的曲线是第三类，等等。 几何学 的第三卷又回到了作图问题上， 并且涉及了高于二次方程的解法。 笛卡儿还在几何学中确立了用前几个字母代表已知数（如 a、b、c 等） ，用 末后的字母代表本知量（如 x、y、Z）的习惯用法。他还引进了我们现在所使用 的指数表示

9、法（如 a2、a3 等） 。在这本书里，还出现了待定系数法的最初使用。 尽管笛卡儿在这本书中，对解析几何的基本思想作了阐述，但这种阐述远非 系统和清楚明了的。 读者必须自己去从一大堆孤立的陈述中花费许多的时间来想 出这些方法。原书中共有 32 个图形，但是我们找不出一个明确地摆出了坐标轴 的图。笛卡地在写这本书的时候，有意地使用了十分含糊的笔法，让人读起来十 分地困难。他曾自吹说全欧洲几乎没有一个数学家能够读懂他的著作。他只是简 略地指出作图法和证泳，而把其余的细节都留给别人去考虑。他在一封信中，把 他的工作比作建筑师的工作，即立下计划，指明什么是应该做的，而把手工操留 给木工与瓦工。他还说：

10、“我没有做过任何漫不经心的删节，但我预见到：对那 些自命为无所不知的人，我如果写得使他们能充分理解，他们将不失机会地说我 写的都是他们已经知道的东西。”后来，有人为这本书写了许多评注，才使得它 易于理解。 尽管在几何学中，笛卡儿表达了方程与曲线相结合这一显著的思想，但 他只把它作为解决作图问题的一个手段。笛卡儿对几何作图问题的过分强调，反 而掩盖了曲线和方程的主要思想。不过瑕不掩玉，笛卡儿所提出的方程与曲线的 思想，最终被人们所逐渐接受，并且几何学也被认为是论述解析几何的一部 经典之作。 几何基础几何基础 几何基础 （GrundlagenderGeometrie）是德国著名数学家希尔伯特所著，

11、 1899 年初版，此后不断再版，至 1930 年已出第七版。 我们知道，几何学本来的对象就是图形，因而研究它们时必然要用到我们的 空间直观性。可是直观性也有缺乏客观性的情况，因此在明确地规定了定义和公 理的基础上，排除直观，建立纯粹的合乎逻辑的几何学的思想，在古希腊时代就 已经开始了。欧几里得的几何原本就是在这种思想的指导下完成的。虽然长 期以来， 几何原本被视为完善的逻辑体系的典范，但是事实上随着时代的进 步，数学的批判精神有所发展，人们注意到几何原本中的逻辑性存在许多缺 陷。请看下例： 几何原本第 1 卷命题 16： 任意三角形的任意一个外角大于任何一个内对角。 证明如图 1， 设 AB

12、C 是一个三角形， 延长 BC 到 D， 则可证外角 ACD 大于内对角 CBA、BAC 的任何一个。 设 AC 被 E 点平分，连 BE 并延长至 F，使 EF 等于 BE，连 FC，延长 AC 至 G. 易证三角形 ABE 全等于三角形 CFE，所以角 BAE 等于角 ECF，因角 ECD 大于角 ECF，故角 ACD 大于角 BAE 类似地，BC 被平分，角 BCG，即角 ACD 可证明大于角 ABC【】这个证明 貌似逻辑严密，其实它在很大程度上依赖了直观性，问题出在“角 ECD 大于角 ECF”， 理论依据何在？根据公理 5， 整体大于部分。 何调整体？难道只许把 ECD 视为整体，就

13、不准把 ECF 作整体吗？ 这个例子说明了直观性缺乏客观性，更暴露出几何原本的公理体系本身 的不完备。而且这样的例子在机何原本种可谓比比皆是。到 19 世纪后半叶，许 多数学家提出了可用以代替几何原本公理体系的在逻辑上完善的公理体系。 其中，希尔伯特提出的公理体系是考虑最周到的。 希尔伯特精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，把空间 内的点、 直线、 平面作为不定义的概念， 规定它们之间存在着关联关系顺序关系、 合同关系，这些关系由五组公理得以保障： 关联公理（18）8 条； 顺序公理（14）4 条； 合同公理（1 一5）5 条； 平行公理（）1 条； 连续公理（V1V2）2 条

14、。 记述了希尔伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的几何基础出版 后，立即引起了整个数学界的关注，并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上 述工作的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代公理化方法的奠基人。 代数学代数学 代数学由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫约 783约 850所着。阿 拉伯原文书名直译为利用还原与对消运算的简明算书 。该书 1183 年被译成拉 丁文传入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中代数学Algebra一词是 由阿拉伯文的拉丁转写 al-jabr 演变而来，后渐称该书为代数学 。这是历史上 使用这一名称的最早的代数方面的著作。 一般认为该著作是近代意义下的代数学 的

15、真正肇始之作。 全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的初等代数；第二部份讲各种 实用算术问题。最后列举了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，而 是用语言叙述。 代数学是受到了希腊数学乃至印度数学的影响的。它不但对阿拉伯数学 而且对欧洲数学的发展产生了深远的影响， 花拉子米因此有 代数学之父 之称。 算术算术 算术 （Arithmetica）是古希腊后期数学家丢番图的一部名著，这部著作原 有 13 卷， 长期以来， 大家都以为只有 1464 年在威尼斯发现的前 6 卷希腊文抄本， 最近在马什哈德（伊朗东北部）又发现 4 卷阿拉伯文译本。 算术事实上是一部代数著作，其中包含有一元或多元

16、一次方程的问题， 二次不定方程问题以及数论方面的问题， 现存 6 卷中共有 189 题， 几乎一题一法， 各不相同。虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。并且，这 部著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用 S、r、Kr、r、 Kr、KrK 等符号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古 希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。因此，丢番图的算术虽然代表了古 希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受， 很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。 直到 15 世纪算术被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把 代数学大大向前推进了。首先是法国数学家蓬贝利认识到算术的重大价值， 他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到 17