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1、SAS PPT-经典谱估计：周期图/相关图法IIII非参量谱估计方法完全依靠PSD定义1j k(1 3 7)( )r(k)e =非直接方法定义和定义2jk(1.3.7)( )r(k)e= =21N非直接方法定义j tt 11(1.3.10)( )lim Ey(t)e = = NNN直接方法定义 主要的非参量方法：周期图和相关图及它们之间的等效性。 它们的性质：（1）足够数据长度时高分辨（2）高方差 它们的性质：（1）足够数据长度时高分辨，（2）高方差， 且不随数据长度增加而降低。 FFT算法构成 FFT算法构成 发展修正方法：针对周期图和相关图的高方差，但减小方差 的代价是降低了分辨力这些方法
2、在大数据长度条件下性质的代价是降低了分辨力。这些方法在大数据长度条件下，性质 和性能或多或少等效。 11 周期图和相关图法周期图和相关图法1 周期图和相关图法周期图和相关图法1.1 PSD估计周期图估计周期图(Periodogram)法法2 j t p1( )y(t)e =NN忽略PSD定义2中的期望E和极限运算因为我们只p t 1( )y( )=NLim忽略PSD定义2中的期望E和极限运算，因为我们只 有采样。周期图谱估计器用于确定时间级数 中可能“隐含的周期性”（周期性是种规律性）Lim Nt 1y(t)=N t 1y(t)=N中可能“隐含的周期性”（周期性是一种规律性）， 这可能是“周期
3、图”这一名称的由来。谱估计作为一 种信号处理方法从看似无序的数据中经变换揭示出种信号处理方法从看似无序的数据中经变换揭示出 不变的规律性。y(t)21.2 PSD估计相关图估计相关图(Correlogram)法法1N式中采样得的的1 j k c k(1)( )r(k)e = =NN 式中由采样得到的不同延迟k ACS r(k)的估计 采样协方差。 r(k)y(1),y()?N（1）两种无偏ACS估计 r(k)*t k 11 r(k)y(t)y (tk),0k1k= +=N NN 有偏ACS估计t k 1= +*t k 11 r(k)y(t)y (tk),0k1=N NN负延迟部分构成，利用特性
4、：（ ）有偏估计最经常利用t k 1= +N*r( k)r (k),k0,1=? N（2）有偏ACS估计最经常利用。因为(1)协方差函数一般较快衰减大k时很小，(2) 采样协 方差应正半定有偏估计可满足上述两个条件r(k)方差应正半定，有偏ACS估计可满足上述两个条件。 r(k)31.3 周期图和相关图谱估计器的等效性周期图和相关图谱估计器的等效性有偏ACS估计/采样协方差相关图谱估计=周期图谱估计一个简单证明:考虑信号即为一个传递p( ) c( ) 1(t)y(t)e(tk)=N x(t)x一个简单证明:考虑信号，即为一个传递函数为的滤波器在输入为一个单位方差白噪声条k 1(t)y(t)e(
5、tk)=xN(t)xj k1Y( )y(t)e =NN件下的输出。另一方面，k 1=N2( )Y( )( ) = 件下的输出。另方面，p( )Y( )( ) x r(k), k0,11r (k)y(p)y*(p-k)=?NN=( )( ) = 注意是固定的（非随机的）滤波器脉冲响应p k 1r (k)y(p)y (p-k)0,k= +=x=NNc( )( ) = xy(k)k1= ? N注意是固定的（非随机的）滤波器脉冲响应。周期图和相关图的等效性是由于(2.2.1)中运算实质上是(2.2.4)中 产生的ACS估计和DFT本质上是PSD和ACS是一对FTy(k) , k1,= ? Np( )
6、( ) (k)产生的ACS估计和DFT。本质上是：PSD和ACS是一对FT。c( ) r(k)41 4 等效的周期图和相关图谱估计器提供的等效的周期图和相关图谱估计器提供的PSD估计估计1.4 等效的周期图和相关图谱估计器提供的等效的周期图和相关图谱估计器提供的PSD估计估计 性能分析：偏置分析和方差分析性能分析：偏置分析和方差分析（1）一个估计器用来表征其性能的两种度量：偏置和方差）一个估计器用来表征其性能的两种度量：偏置和方差a 之估计的均方误差MSE aa 之估计的均方误差MSEa 22MSEE aaE aE aE aa=+ ()()22*2Re E aE aE aaE aE aE aa
7、=+ 2var abias a=+方差分量偏置分量（偏置的平方）方差分量偏置分量（偏置的平方）5（2）周期图）周期图/相关图谱估计偏置分析：主瓣影响和旁瓣影响相关图谱估计偏置分析：主瓣影响和旁瓣影响(a) 周期图和相关图均值周期图和相关图均值p( ) c( ) 1 j kE( )E( )E(k) N有偏自协方差序列ACS估计均值j k pc k(1)E( )E( )E r(k) e= = = NE r(k) r(k)有偏自协方差序列ACS估计均值E r(k)r(k)kE r(k)1r(k)k0=NN*kE r( k)E r (k)1r( k)k0=NN1 j k|k |E( )1r(k)e =
8、N p k(1)E( )1r(k)e= NN注意(2 2 2)1 j k( )(k) N 注意：(2.2.2)j k c k(1)( )r(k)e= = N6(b) 将将表为两个序列乘积的表为两个序列乘积的DTFT两个序列各自两个序列各自DTFT的卷积的卷积(b) 将将表为两个序列乘积的表为两个序列乘积的DTFT两个序列各自两个序列各自DTFT的卷积的卷积pE( ) j kE( )(k)r(k) e(DTFT) =wpB kE( )(k)r(k) e(DTFT)= w|k |1,k0, 1, (1)(k)=?N三角窗或Bartlett窗B, ()(k) 0,= 其它wN三角窗或Bartlett
9、窗( )()pB1E( )d2 = W(卷积)( )()pB( )2 (积)j k BB( )(k)e =Wwk=j k( )r(k)e = k( )( )= 7(c) 窗及其作用窗及其作用() ()21 j kj (t s) B k(1)t 1 s 1sin/2|k |11( )eesin/2 = =NNNNNNWNNN()k(1)t 1 s 1N-100( )/( )-30-20dBBB( )/(0),25=WWN-50-40d-3-2-10123-60ANGULAR FREQUENCY 窗的作用“权函数”“输入”“输出”pE( ) ( ) B( )W权函数输输出p( )B( )8(d)
10、无偏ACS估计相关图谱估计*t k 11 r(k)y(t)y (tk)k=NNt k 1k= +N1 j k c k(1)( )r(k)eNN = =1 j kj k cR k(1)kE( )r(k)e(k)r(k) e = =NNw(DTFT) E r(k)r(k)= k(1)NR1,k0, 1, (1)(k)0,= ?矩形窗其它Nw0,其它100R( ) =-1 -j kk=-(-1)eNNW-30-20-10B j11 2 j11 2sin ()e2Reesin=NN-50-4030dcR1E( )( )W ()d2 = (卷积)RR( )/(0),25=wwN可见(F j核)与(Di
11、i hl t核)之间并无“实质性”差别( )( )-3-2-10123-60ANGULAR FREQUENCY 可见，(Fejer核)与(Dirichlet核)之间并无“实质性”差别。B( )WR( )W9(e) 希望什么样的窗希望什么样的窗？(e) 希望什么样的窗希望什么样的窗希望尽可能接近希望窗近似于一个Dirac 脉冲。B( )WpE( ) ( ) 脉冲( )()pB1E( )d2 = W(f) 周期图周期图/相关图谱估计偏置的两个分量相关图谱估计偏置的两个分量(i)主瓣有定的宽度不像Di脉冲半功率(3dB)主瓣(i) 主瓣有一定的宽度，不像Dirac脉冲。半功率(3dB)主瓣宽度，用表
12、示为，而用表示则为.B( )WB( )W2 Nf2=1 N (ii) 有大量旁瓣，也不像Dirac脉冲。（第一旁瓣高度-25dB；第一旁瓣高度-13dB）B( )WR( )W第旁瓣高度(iii) 周期图谱估计偏置两分量：模糊（Smearing）非零主瓣宽度影响泄漏（Leakage）非零旁瓣高度影响R( )影响，泄漏（Leakage）非零旁瓣高度影响。10（3）周期图）周期图/相关图谱估计偏置分析：窗函数非零主瓣宽度影响相关图谱估计偏置分析：窗函数非零主瓣宽度影响B( )W假设有两个峰值，频率 f 间隔小于。在中由于与主瓣的卷积则不能分辨，将两个峰值变为一个宽峰值。这类1 N( ) pE( )
13、( ) B( )W与主瓣的卷积则不能分辨，将两个峰值变为个宽峰值。这类主瓣对估计谱的影响称作模糊(Smearing)。主瓣模糊使得周期图/相关图方法不能分辨频率 f 间隔小于的细节称之为周期图方法谱分B( )W11图方法不能分辨频率 f 间隔小于的细节；称之为周期图方法谱分辨限。NN（4）周期图）周期图/相关图谱估计偏置分析：窗函数非零旁瓣高度影响相关图谱估计偏置分析：窗函数非零旁瓣高度影响例如，中占优势的峰值可能通过与旁瓣的卷积导致一种B( )W( ) B( )W估计谱，它在的频带中包含了功率( ) ，这类旁瓣对估计谱的影响称作泄漏（Leakage）将功率从集中的频带传递p( ) ( )0
14、=p( )0 对估计谱的影响称作泄漏g将功率从集中的频带传递到小量或没有的频带。（与主瓣相联系的模糊影响也可认为是一种形式的泄漏：从的( ) （与主瓣相联系的模糊影响也可认为是种形式的泄漏：从的 局部峰值向邻近频带泄漏）。( ) 11（5）峰值和平滑谱的模糊和泄漏）峰值和平滑谱的模糊和泄漏 对于有大幅值范围的谱（像peaky spectra），模糊和泄漏是特别重要的。要的。 对于平滑谱(smooth spectra)，模糊和泄漏重要性要小。特别对于白噪声周期图是个无偏谱估计器噪声，周期图是一个无偏谱估计器：注意:估计量是一个随机量。无偏估计器指估计量均值等于待估计量真值。pE( )( ) = （6）周期图）周期图/相关图是一个渐近无偏谱估计器相关图是一个渐近无偏谱估计器 如果有可能增加N，中的偏置将随着N增加逐步消失。
