第五章概率和概率分布

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1、中国人民大学 出版社All rights reserved统统 计计 学学第五章第五章 概率和概率和概率分布概率分布第五章第五章 概率和概率分布概率和概率分布1 概率的问题2 离散变量的概率分布 3 连续变量的概率分布 4 抽样分布学习目标学习目标1.了解随机事件的概念、事件的关系和运算2.理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则 理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率1 1 概率的问题概率的问题1.1 事件 1.2 概率1.3 概率分布 随机事件的几个基本概念随机事件的几个基本概念试试 验验 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验具有以下特点可以在

2、相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的 所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结 果事件的概念事件的概念事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于7不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6事件与样本空间事件与样本空间 基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数 样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：

3、在掷枚骰子的试验中， 1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中，正面，反面1.1 1.1 事件事件1.1.2 事件的关系事件的包含；事件的互斥；事件的并（或和）；事件的交（或积）；事件的差；事件的逆。1.1.2 1.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的包含）（事件的包含）A AB BB B A A 若事件若事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，发生， 则称事件则称事件 B B包含事件包含事件A A，或事件或事件A A包含于事件包含于事件B B，记作或记作或 A A B B或或 B B A A1.1.21.1.2事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的并或和）（事

4、件的并或和） 事件事件A A和事件和事件B B中至少有一个发生的事件称为事中至少有一个发生的事件称为事 件件A A与事件与事件B B 的并。它是由属于事件的并。它是由属于事件A A或事件或事件B B的所的所 有的样本点组成的集合，记为有的样本点组成的集合，记为A AB B或或A A+ +B BBA AA AB B1.1.21.1.2事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的交或积）（事件的交或积）AB BA A B B 事件事件A A与事件与事件B B同时发生的事件称为事件同时发生的事件称为事件A A与事与事 件件B B的交的交，它是由属于事件它是由属于事件A A也属于事件也属于事件B B的所

5、有的所有 公共样本点所组成的集合，记为公共样本点所组成的集合，记为B B A A 或或ABAB1.1.2 1.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 （互斥事件（互斥事件）AB BA A 与与 B B互不相容互不相容 事件事件A A与事件与事件B B中，若有一个发生，另一个必定不中，若有一个发生，另一个必定不 发生，发生， 则称事件则称事件A A与事件与事件B B是互斥的，否则称两个事是互斥的，否则称两个事 件是相容的。显然，事件件是相容的。显然，事件A A与事件与事件B B互斥的充分必要互斥的充分必要 条件是事件条件是事件A A与事件与事件B B没有公共的样本点没有公共的样本点1.1.2

6、1.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的逆）（事件的逆）A A A 一个事件一个事件B B与事件与事件A A互斥，且它与事件互斥，且它与事件A A的并是的并是 整个样本空间整个样本空间，则称事件，则称事件B B是事件是事件A A的逆事件。它的逆事件。它 是由样本空间中所有不属于事件是由样本空间中所有不属于事件A A的样本点所组成的样本点所组成 的集合，记为的集合，记为 A A1.1.2 1.1.2 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的差）（事件的差）A A - - B BAB B 事件事件A A发生但事件发生但事件B B不发生的事件称为事件不发生的事件称为事件A A与与事事

7、 件件B B的差的差，它是由属于事件它是由属于事件A A而不属于事件而不属于事件B B的那些的那些 样本点构成的集合，记为样本点构成的集合，记为A A- -B B 1.1.3 1.1.3 事件的性质事件的性质事件的性质事件的性质 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)1.2 1.2 概率概率1.2.1 事件的概率 事件A的概率是对事件A出现的可能性大小的一种度量，数学表示为 ，概率的数学性质有：1. 非负性 对任意事件A，有 0 P 11. 规范性

8、 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即 P ( ) = 1； P ( ) = 01. 可加性 若A与B互斥，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )事件的概率事件的概率 事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义事件的概率事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率 ， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面

9、的频率 稳定在1/2左右试验的次数试验的次数正面正面 / /试验次数试验次数1.001.000.000.000.250.250.500.500.750.750 02525505075751001001251251.21.2.2 .2 概率的古典定义概率的古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个 结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A 发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与 样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记 为1.21.2.2 .2 概率的古典定义概率的古典定义 （实例）（实例）【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的

10、概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁钢铁 公司所属企业职业职 工人数 工厂男职职工女职职工合计计 炼钢炼钢 厂炼铁炼铁 厂轧钢轧钢 厂4000320090018001600600620048001500 合计计85004000125001.2.2 概率的古典定义 （计算结果）解：解：(1)(1)用用A A 表示表示“抽中的职工为男性抽中的职工为男性”这一事件；这一事件；A A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。则集合。则(2) (2) 用用B B 表示表示“ “抽中的职工为炼钢厂职工抽中的职工为炼钢厂职工” ”；B B为炼钢厂为炼

11、钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则1.21.2.2 .2 概率的统计定义概率的统计定义 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出 现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为1.21.2.2 .2 概率的统计定义概率的统计定义（实例）（实例）【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为 1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用 电 量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施 ， 试问该厂第

12、一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有1.21.2.2 .2 概率的主观定义概率的主观定义 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只 能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个 人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2012年的中国股市是一个盘整年概率的主观定义叫主观概率，也叫个人概率。 法则一：加法的特殊定理1. 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A 和B为两个互斥事件，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B )1. 事件A1，

13、A2，An两两互斥，则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )2. 特别的，若事件A与B互斥，并且事件A与B的和组成了整 个样本空间，此时，事件A与B互为逆事件。 有 ，个式子还可以写成 或写作： 。上式也叫概率的补偿定理。 1.21.2.3.3 概率概率的的加法加法1.21.2.3 .3 概率的加法概率的加法 （实例）（实例）【例例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名 职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解：解：用用A A表示表示“ “抽中的为炼钢厂职工

14、抽中的为炼钢厂职工” ”这一事件这一事件； B B表示表示“ “抽中的为轧钢厂职工抽中的为轧钢厂职工” ”这一事件。随机抽取这一事件。随机抽取 一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A A与与 B B 的和，其发生的概率为的和，其发生的概率为1.21.2.3.3 概率概率的的加法加法 法则二：加法的一般定理 有的事件并不是互斥的，有可能同时发生，存在交集。 要计算两个事件之和的概率，要减去一次交集的概率， 否则这部分就包括了两次，重复多算了一次。 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P ( AB ) =

15、P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 对于两个互斥事件而言，有P ( AB) = P () =0加法的特殊定理是一般定理的一个特例。1.21.2.3.3 概率概率的的加法加法 （实例）（实例）【例例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有有20%20%读甲报纸，读甲报纸，16%16%读乙报纸，读乙报纸，8%8%两种报纸都两种报纸都 读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：解：设设A A 读读甲甲报纸报纸 ，B B 读读乙乙报纸报纸 ，C C 至少至少读读一种一种报纸报纸 。则则P P ( ( C C ) =) =P P ( ( A AB B ) ) =