一阶常微分方程

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1、教教 案案 一阶常微分方程一阶常微分方程 教学内容教学内容 在数学理论和实际应用中的许多问题，常常会归结为含有未知量的导数的微 分方程问题，因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具，也是经常 使用的数学方法之一。 对于一阶常微分方程的知识的掌握，是进一步了解和学习 更深入的微分方程理论知识的基础，是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解 以下几方面的内容： （1）介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理； （2）重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程的解法； （3）介绍一些可化为这几类方程的方法； （4）根据一些简单数学模型，介绍数学建模的思

2、想。 教学思路和要求教学思路和要求 （1）变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程，是本节的内容的基础和重点。 （2）因为有固定的方法，如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于 一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧， 对于学生们来说就不 容易了。这就需要多举例和适当引导，特别是典型技巧的介绍。 （3）通过一些具体实例，介绍一些简单数学模型的建立方法，这对于学生们 了解数学的应用很有帮助，也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教 学内容的重要环节。 教学安排教学安排 一解的存在与唯一性定理 导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一

3、般形式 .)(),(00yxyyxfdxdy（10.2.1） 对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理 定理 10.2.1（解的存在与唯一性定理) 如果),(yxf和),(yxyf 在矩形区域| ,| | ),(00byyaxxyx上连续，那么存在一个正数h（ah 0） ，使得定解问题（10.2.1）在hxx|0上有唯一的解)(xy，即在hxx|0上成立 )(,()(xxfx 及 00)(yx。 这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。 在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解 的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它 们的有限次积

4、分来表达（这种方法称为初等积分法） 。例如，Liouville 在 1841 牛就证明了方程xyy2不能用初等积分法来求解，虽然它看起来形式很简单。因此，下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍。 二变量可分离方程 若一阶方程),(yxfdxdy中的),(yxf可以分解成 x 的函数)(xg与 y 的函数)(yh的乘积，即 )()(yhxgdxdy （10.2.2） 则称其为变量可分离方程。 若)(xg与)(yh连续，把原方程改写成 dxxgyhdy)()(， 对两边取不定积分，得 dxxgyhdy)()(， 若)(xG是)(xg的一个原函数，)(yH是)(1 yh的一个原函数，就得到方程的通解

5、 CxGyH)()(， 这里C是任意常数。这种形式的解也称为隐式解。 若0y是方程0)(yh的根，函数0yy 也是方程（10.2.2）的解，而且这个解并不一定包含在通解的表达式中。 例 10.2.1 求解微分方程 122 ydxdy。 解 将此方程化为变量可分离方程 21ydxdy， 今后我们总用 C 表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同，也不再特别说明。 即 dx ydy 21。 两边积分得 Cxyarcsin； 即 )sin(Cxy。 注意1y也是方程的两个解，但它们并不在通解之中。 例 10.2.2 解定解问题 .2,lnsineyyydxdyx解 将此方程化为 xd

6、x yydy sinln， 两边积分得 Cxxyln)cotln(csclnln。 即 )cot(csclnxxCy。 由ey 2得1C。因此定解问题得解为 xxeycotcsc 。 例 10.2.3 设函数f在), 0(上可导，且满足 2)()()(231xfxxdttfx， 求)(xf。 解 显然1) 1 (f。对2)()()(231xfxxdttfx两边求导得 )()23()()()(223xfxxxfxxxf， 因此函数f满足方程 yxxyxx)23(1 )(223。 对方程分离变量得 dxxxxx xxydy 23223231， 两边积分得 ylndxxxxx xx 23223231

7、.ln)ln(1ln)1ln(2311 1123123232223223Cxxxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxdxxx所以 xexCy131。 因此f就具有上述形式。又由1) 1 (f得eC ，所以 xexxf1131)(， ), 0(x。 例 10.2.4（跟踪问题一） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿y轴正向前进，与此同时 B 于)0,(a处始终保持距离a对 A 进行跟踪（B 的前进方向始终对着 A 当时所在的位置） ，求 B 的运动轨迹。 解 设 B 的运动轨迹为 yy x( ) 利用跟踪的要求和导数的几何意义（图 10.1.1） ，容易得到 数学模型 . 0)(,22ayxxay

8、两边取定积分 xaydxxxady220， 即得到 B 的运动轨迹方程为 A B x a 图 10.2.1 yaaax xaxln22 22。 上述积分曲线可以看成一个重物B被某人A用一根长度为a的绳子拖着走时留下 的轨迹，所以该曲线又被称为曳线。 三齐次方程 若对于任何0 ),(yxf=),(yxf， 则称函数),(yxf为（0 次）齐次函数，相应的微分方程 ),(yxfdxdy 相应地称为齐次方程。 令uxy ，代入方程得 ),()(uxxfdxduxudxuxd), 1 ( uf， 化简后就是变量可分离方程 dxdux), 1 ( uf- u， 解出方程后，用xyu 代入便得到方程的解。

9、 例 10.2.5 求方程 0)2()(22dyxyxdxyxy 的通解。 解 将方程写成 xyxyxy dxdy 222， 容易判断，这是一个齐次方程。令uxy ，得到 dxduxuuuu 212uu 212。 于是 duuu221dxx1， 解此方程得 Cxuulnln21。 用xyu 代入，便得到方程的隐式通解 0lnln2Cxyyx。 对于形如 222111 cybxacybxa dxdy 的方程，显然，当021 cc时，这是齐次方程。 当1c，2c不全为零时，若行列式02211baba，作变换 yyxx ,将方程变为 )()( 2222211111 cbaybxacbaybxa xd

10、yd ， 从线性代数方程组 222111, cbacba 中解出,，就得到了关于yx,的齐次方程 ybxaybxa xdyd 2211 。 若行列式02211baba，则两行对应成比例。若21, bb全为零，那么原方程为 2211 cxacxa dxdy ， 它 是 可 解 的 。 若21, bb不 全 为 零 ， 不 妨 设01b， 设是 常 数 使 得),(22ba),(11ba。令ybxau11，则 dxdybadxdu11 21 11 222111 11cucubacybxacybxaba， 因此原方程变为变量可分离方程。 综上所述，形式为 222111 cybxacybxa dxdy

11、 的微分方程总是可解的，并且可以推广到 222111 cybxacybxafdxdy的情况。 例 10.2.6 求方程 0)642() 352(dyyxdxyx 的通解。 解 由于行列式 2211 baba04252， 由线性代数方程组 642, 352 解出1。作变换 , 1, 1yyyxxx 得到齐次方程 yxyx xdyd4252。 令xuy，得到 uu xdduxu4252 ， 整理后得 xxdduuu3 22 414, 从此解得 Cxuu32)2)(41 (。 还原变量，便得方程的通解 Cxyyx2)32)(34(。 四全微分方程 若存在函数),(yxu使得 ),(yxdudyyxg

12、dxyxf),(),(， 则称方程 0),(),(dyyxgdxyxf 为全微分方程。显然，它的解可以表示为 Cyxu),(。 我们已经知道，dyyxgdxyxf),(),(在单连通区域上是某个函数的全微分的充分必要条件是 xyxg yyxf ),(),(， 此时，若),(00yx是所考虑区域中的任一定点，则可以通过曲线积分 ),(yxu=dyyxgdxyxfyxyx),(),(),(),(00， 计算出),(yxu。 例 10.2.7 求微分方程 myyeymxyexxcos)sin( 的通解（m 是常数） 。 解 将其改写为 0)sin()cos(dymxyedxmyyexx， 由 xyx

13、gmyeyyxfx ),(sin),(， 知道它是全微分方程。取),(00yx为)0, 0(，则 ),(yxu=xxdxmyye 0)cos(+ydyy 0)sin(mxyyexcos-1， 所以它的通解为 Cmxyyexcos。 若条件 xyxg yyxf ),(),(不满足，则方程 0),(),(dyyxgdxyxf 不是全微分方程。但是，如果此时能够找到一个函数),(yx，使得 0),(),(),(),(dyyxgyxdxyxfyx 是全微分方程，那么，还是可以按上述方法求解的。 这里的),(yx称为积分因子。一般说来，求积分因子并不是很容易的事，但对于一些简单的情况，可以通过观察凑出积

14、分因子。 例 10.2.8 求方程 02xdxyxdyydx 的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。但观察其前 2 项，可以发现，只要乘上因子21 y，它就是一个全微分 yxdyxdyydx2。 因此，取积分因子为21 y，将原方程改写为 02xdxyxdyydx， 这就是 022 xdyxd， 所以方程的通解为 Cx yx22 。 例 10.2.9 求方程 0)()2(2222dyyyxdxxyxx 的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。将方程改写为 0)2(22dyxdxyxydyxdx， 乘上积分因子 221yx 后，方程变为 02 22 dyxdx yxydyxdx， 即 0)(222222yxyxdyxdyxd。 所以方程的通解为 Cyxyx222。 从以上两个例子可以看出，我们利用了一些已知的二元函数的全微分来观察 出积分因子。下面列出一些常用的二元函数的全微分，以备查阅： xdyydxxyd)(； 2yxdyydx yxd ； 2222)