其他形式和插值函数

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1、其他单元形式和插值函数其他单元形式和插值函数其他单元形式和插值函数其他单元形式和插值函数2 0 11. 11. 0 6弹性问题单元分析弹性问题单元分析物理方程物理方程结点结点 位移位移用插值方法求 内部各点位移用插值方法求 内部各点位移应变应变应力应力结点力结点力位移函数位移函数几何方程几何方程平衡方程平衡方程?选取位移函数应考虑的问题选取位移函数应考虑的问题（1）位移函数的个数位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。三结点 三角形单元中有等于单元中任意一点的位移分量个数。三结点 三角形单元中有u和和v，与此相应，有，与此相应，有2个位移函数；个位移函数；（3）位移函数中待定常数个数

2、位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于待定常数个数应等于单元结点自由度总数单元结点自由度总数，以便用单元结点位移确定位移函数中的待定常数。三 结点三角形单元有，以便用单元结点位移确定位移函数中的待定常数。三 结点三角形单元有6个结点自由度，两个位移函数中 共包含个结点自由度，两个位移函数中 共包含6个待定常数。个待定常数。（2）位移函数是坐标的函数位移函数是坐标的函数 平面单元的坐标系为：平面单元的坐标系为：x、y；（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。位移函数中必须包含单元的刚体位移。（5）位移函数中必须包含单元的常应变。位移函数中必须包含单元的常应变。（6）位移函数在单元内要连续。相

3、邻单元间要 尽量协调。位移函数在单元内要连续。相邻单元间要 尽量协调。条件（条件（4）、（）、（5）构成单元的）构成单元的完备性完备性准则。 条件（准则。 条件（6）是单元的位移）是单元的位移协调性协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三结点常应变单元满足以上必 要与充分条件。条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三结点常应变单元满足以上必 要与充分条件。（7）位移函数的形式

4、位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的 要求，根据）的 要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元结 点自由度数。三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元结 点自由度数。4322343223221yxyyxy xxyxyy xxy xyxyx 关于形态函数关于形态函数关于形态函数关于形态函数有限单元法中，当单元形状和相应的形态函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态函数的作用十分重要。有限单元法中，当单元形状和相应的形态

5、函数确定以后，剩下的运算可依照标准步骤和普遍公式进行，比较简单。因此，在有限单元法中，形态函数的作用十分重要。形态函数形态函数物理方程物理方程结点结点 位移位移用插值方法求 内部各点位移用插值方法求 内部各点位移应变应变应力应力结点力结点力位移函数位移函数几何方程几何方程平衡方程平衡方程单元位移函数单元位移函数eA=()yxfyx,),(=()eAyxfyx,),(=()yxN,单元位移函数单元位移函数()()()() ()()() =yxNyxNyxNyxNyxNyxNyxN,0,0,00,0,0,321321()()ycxbayxN111121,+=()()ycxbayxN222221,+

6、=()()ycxbayxN333321,+=单元位移函数单元位移函数()()()() ()()() = 332211321321 ,0,0,00,0,0,),(,vuvuvuyxNyxNyxNyxNyxNyxNyxvyxu(),(,1yxNyxu=(),(,1yxNyxv=N(x , y)为位移的形态函数为位移的形态函数当当u1=1，其他结点位移皆为零时，其他结点位移皆为零时，当当v1=1，其他结点位移皆为零时，其他结点位移皆为零时，形态函数形态函数形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数， 它应满足下列条件：形态函数是定义于单元内部的、坐标的连续函数， 它应满足下列条件：? 在结点在结点i

7、，Ni=1；在其他结点，；在其他结点，Ni0? 能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续 性能保证用它定义的未知量在相邻单元之间的连续 性? 应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可 满足常应变条件应包含任意线性项，以便用它定义的单元位移可 满足常应变条件? 应满足下列等式：应满足下列等式：Ni= 1，以便用它定义的单 元位移能反映刚体移动，以便用它定义的单 元位移能反映刚体移动形态函数的其他特点形态函数的其他特点jjiijjiivNvNvuNuNuij+=+=上位移：边界0=kNijijk上的一边在三角形单元iji ixxxxyxN=1),(iji jxxxxyxN=),(0),(=yx

8、Nkyx0kn ji求证求证 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有0),(),(1),(=yxNxxxxyxNxxxxyxNm iji j iji ixxixjxyNi(xi，yi)j (xj，yj)m (xm，ym)Ni(x、y)1jiji xxxxyxN =1),(ijijijiijij ixxxx xxxxxxxxxxyxN=+=1),(证证求证求证 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有xxixjxyNi(xi，yi)j (xj，yj)m (xm，ym)Ni(x、y)1证证=ijdlNAdxdyN iji

9、Ai21 3形态函数的其他特点形态函数的其他特点xyN （I，j，m）Ni =1 ijmNj=1ijmNm =1ijmNi =1 ijmNj=1Nm =1形态函数形态函数形态函数形态函数四结点矩形单元四结点矩形单元四结点矩形单元四结点矩形单元选择单元位移函数的一般原则选择单元位移函数的一般原则? 广义坐标是由位移场变量确定的，因此它的个数 应与结点自由度数相等广义坐标是由位移场变量确定的，因此它的个数 应与结点自由度数相等? 选择多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备选择多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备位移模式中的常数项反应了单元的刚体位移，一次项反应了单元常应变的特性。位移模式中的常数

10、项反应了单元的刚体位移，一次项反应了单元常应变的特性。? 多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多 项式以提高单元的精度多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多 项式以提高单元的精度? 选择的多项式应具有坐标的对称性选择的多项式应具有坐标的对称性四结点矩形单元四结点矩形单元 位移函数（双线性位移模式）位移函数（双线性位移模式）xyyxu4321+=xyyxv8765+=在边界上，位移是按线性变化的，且相邻单 元上公共结点上有共同的结点位移值，因此保证 了两个相邻单元在公共边界上位移的连续性。在边界上，位移是按线性变化的，且相邻单 元上公共结点上有共同的结点位移值，因此保证 了两个相邻单元在

11、公共边界上位移的连续性。 位移连续性位移连续性单元位移函数单元位移函数eA=()yxfyx,),(=()eAyxfyx,),(=()yxN,双线性单元双线性单元 =41),(),(iiiuyxNyxu =41),(),(iiivyxNyxv)1)(1 (41),(1by axyxN=形态函数的特点同前形态函数的特点同前四结点矩形单元四结点矩形单元 单元应变单元应变()+=+=+=+=yxxv yuxyvyxuxyyx84638742eB=四结点矩形单元四结点矩形单元 单元应力单元应力的主项沿的主项沿 y 方向线性变化，它的次要项沿方向线性变化，它的次要项沿 x 方向线性变化；方向线性变化；x的

12、主项沿的主项沿 x 方向线性变化，它的次要项沿方向线性变化，它的次要项沿 y 方向线性变化；方向线性变化；yxy沿沿 x 及及 y 都成线性变化。都成线性变化。应力分量不是常量应力分量不是常量eeSDB=双线性单元双线性单元几何矩阵与应力矩阵都是坐标的函 数，所以应变和应力也是坐标的函数。几何矩阵与应力矩阵都是坐标的函 数，所以应变和应力也是坐标的函数。四结点矩形单元四结点矩形单元 单元缺陷单元缺陷一个方向为常量，另一个方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。一个方向为常量，另一个方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。不能很好地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的直线边界。不能很好

13、地符合曲线边界，包括与坐标轴不平行的直线边界。六结点三角形单元六结点三角形单元六结点三角形单元六结点三角形单元 位移函数位移函数 位移连续性位移连续性2 652 4321yxyxyxu+=2 12112 10987yxyxyxv+=单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公 共结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。单元边界上位移按二次抛物线分布，三个公 共结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。六结点三角形单元六结点三角形单元 单元应变单元应变() ()()+=+=+=yxyxyvyxxuxyyx11610583121195422222D= 单元应力单元应力六结点三角形单元六结点三角形单元这种单元的

14、应变 在两个坐标方向上都 呈线性变化，应力也 呈线性变化。因此， 单元精度较三结点三 角形单元高。这种单元的应变 在两个坐标方向上都 呈线性变化，应力也 呈线性变化。因此， 单元精度较三结点三 角形单元高。十结点三角形单元十结点三角形单元十结点三角形单元十结点三角形单元 位移函数位移函数 位移连续性位移连续性2 652 4321yxyxyxu+=3 102 92 83 7yxyyxx+单元边界上位移按三次曲线分布，公共边上 四个结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。单元边界上位移按三次曲线分布，公共边上 四个结点正好可以保证相邻单元位移的连续性。 单元应变单元应变2 20192 1816151

15、3322yxyxyxy+=D= 单元应力单元应力十结点三角形单元十结点三角形单元2 982 7542232yxyxyxx+=十结点三角形单元十结点三角形单元这种单元为三次 单元，位移模式是完 全的三次多项式，单 元的应变和应力是二 次函数。因此，单元 精度较六结点三角形 单元高。这种单元为三次 单元，位移模式是完 全的三次多项式，单 元的应变和应力是二 次函数。因此，单元 精度较六结点三角形 单元高。空间问题有限元空间问题有限元空间问题有限元空间问题有限元常应变四面体单元常应变四面体单元常应变四面体单元常应变四面体单元 位移函数位移函数zyxu4321+=zyxv8765+=zyxw1211109+=常应变四面体单元常应变四面体单元 单元应变单元应变ezxyzxyzyxBzu xwyw zvxv yuzwyvxu=+=+=+=+=+=+=104118631272几何矩 阵