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1、 1 第三章 非线性方程求根 第三章 非线性方程求根 非线性方程在科学研究与工程实践中广泛出现，例如，优化问题、特征值问题、微分方程问题等但是，除少量方程外，大多数非线性方程求根相当困难本章将介绍几个简单、有效的数值求根方法，包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法，并做相应的理论分析 2 3.1 引言 3.1.1 问题的背景 3.1 引言 3.1.1 问题的背景 本章讨论一元非线性方程 0f x( ) = = （3.1.1） 的求根问题， 这里f x( )是非线性函数 非线性方程可以分为两类：代数方程与超越方程对于代数方程：1 1100nn nna xaxa xa + +=?+=? （3.1.2
2、） 根据代数基本定理，n 次方程在复数域内有且仅有 n3 个根（重根按重数计算） 理论上已证明，当次数 n4时,它的根可以用公式表示,当次数n5时,它的根一般不能用解析表达式表示 对于超越方程，情况则更加复杂例如， 10100xesinx/() = = 该方程根的个数随着 x 取值范围的变化而变化， 事实上，在整个实轴上，方程有无穷多个根超越方程一般没有求根公式 综上所述， 非线性方程求根一般不4 存在直接方法，通常采用近似方法 非线性方程求根方法可以分为两类， 区间法区间法和迭代法迭代法 它们都是按某种方式构造出一个收敛于根的数列来求近似根的 区间法主要靠缩小含根区间来得到近似根； 迭代方法
3、是利用函数值构造一个趋向根的数列来求根 3.1.2 基本概念3.1.2 基本概念 定义 3.1定义 3.1 若数 p 满足 0f p( ) = =， 则 p 称为方程5 （3.1.1）的根或函数 f x( )的零点，特别地，如果函数 f x( )可分解为 mf xxph x mZ( )()( ),+ += = 且0 xph xlim ( ) , 则当1m = =时， p称为方程（3.1.1）的单根或f x( )的单零点；当1m 时， p称为方程（3.1.1）的m重根或f x( )的m重零点 按定义 3.1 确定根的重数，通常不够方便当f x( )充分光滑时，我们有下述定理： 6 定理 3.1
4、定理 3.1 设函数mf xCa b( ) , , 则点p(a ,b)是f x( )的m重零点，当且仅当 10mf pfpfp()( )( )( ) = =?=?，但0mfp()( ) 例 3.1例 3.1 给定方程： 10xex = = 问0p = =是方程的几重根 解 解 设 1xf xex( )= = ,则 000ff( )( ) = = =;但 2010f( )( )= = 由定理 3.1， 0p = =是方程的 2 重根事实上，f x( )可被写成如下7 形式： 22 21xexf xxx h xx( )( )= 根据罗必达法则， 200001110222xxxxxxxexeeh x
5、xxlim ( )limlimlim = = 按定义 3.1， 0p = =是方程的 2 重根 非线性方程求根研究根的存在性及根的逼近 定义 3.2 定义 3.2 若区间a b , 含有方程0f x( )= =的根，则a b , 称为0f x( )= =的含根区间含根区间；若区间a b , 仅含方8 程0f x( )= =的一个根，则a b , 称为0f x( )= =的一个隔根区间隔根区间 通常，利用图解法或f x( )的性质来确定方程0f x( )= =根的分布区域 例如， 若0f a f b( ) ( ) 故f x( )在(1,2)内有根取a b , =1,2，用算法 3.1 解之，计算
6、结果如表14 31： 表 31 表 31 二分次数kak bk pk f(pk) 0 1.0 2 1.5 0.875 1 1.0 1.5 1.25 1.921875 2 1.25 1.5 1.375 15 0.619141 3 1.375 1.5 1.4375 0.1032715 10 1.4287109375 1.4296875 1.4291992188 0.004518 11 1.4287109375 1.429199219 1.4289550781 0.0016266 12 1.428710 1.428955078 1.4288330078 0.0001812 16 9375 13 1.
7、4287109375 1.428833008 1.42877197270.0005414 经13次二分，近似解p13=1.4287719727 满足40 00006102kk kbapp. 不满足条件(2） ， 故不能应用定理 3.2 确定g x( )在0 , 1上有惟一不动点然而，由图 32 可见，g x( )在0 , 1上的不动点是惟一的 29 图 32 图 32 上例说明定理 3.2 中的条件（2）是函数存在惟一不动点的充分条件，不是必要条件 定理 3.3 定理 3.3 设函数g x( )在a b , 连续，在a b( , )可30 导；且满足： （1）对任意 xa b , ,有 ag
8、xb( ) ， （2）存在常数01L，xa b( , ) ， 则np（0pp ）不收敛于a b , 内的不动点p 定理 3.3 的几何解释如图 33 所示 35 36 图 33a 图 33a 37 图 33b图 33b 10gP( ) ，并讨论初值p0的范围 解解 令 2f xxa( ) = = ，则问题转化为求方程 0f x( )= = 的正根a 建立牛顿迭代公式 2110 122k kkk kkpaapppkpp(), ,+ + =+=?=+=? (3.4.3) 则 kp局部收敛 下面讨论初值p0的范围 由(3.4.3)， 57 2 11 2kk kpapap()+ += 易 证 ： 当0
9、0p 时 ，1 2kpak, ,=? 又2 1101 22kkk kpppakp(), ,+ += = =? 故，数列 kp单调递减且有下界从而 kp有极限pa 对(3.4.3)两端取极限，可得，pa= =因此，数 列 kp收 敛 于a的 收 敛 域 为 ：000Dap p()= = 类似可得，数列 kp收敛于58 a的收敛域为：000Dap p() = ， 使迭代误差kkepp= = 满足极限式 11kkkkkkeppepplimlim+ = = (3.5.1) 则称序列 kp是阶收敛阶收敛的，称为渐进误差常数渐进误差常数 特别地， 当 =1, （=1,68 =从而迭代过程1kkpg p()
10、+ += =线性收72 敛 定理 3.8 定理 3.8 设p是方程0f x( ) = =的一个单根，且f x( )在p附近二次连续可微 则牛顿迭代法至少二阶收 敛 于p， 且 有2 1 22kkkppfp ppfp( )( )lim()( )+=(3.5.5) 证明 证明 将牛顿法写成不动点迭代形式， 其迭代函数为 73 f xg xxfx( )( )( )= 因为 g pp( ) = =，20fp f pgp fp( ) ( )( ) ( )= = =， 由定理 3.6，牛顿迭代法收敛于p至少是二阶的将f p( ) 在点kp处作泰勒展开，得 2 202k kkkkff pf pfppppp(
11、 )()( )()()()()=+=+, 这里，k位于kp与p之间移项，两端除以kfp()，74 得2 2 2kk kk kkf pfppppfpfp( )()()()()()=, 即有 2 2 12k kk kfppppfp( )()()()+ +=. 从而 2 1 22kkkppfp ppfp( )( )lim()( )+=. 关于牛顿法的变形，我们有下述结论： 牛顿下山法线性收敛； 割线法超线性收敛， 收敛阶为 1.618(见4) 75 为了更好的理解收敛阶，以下考察迭代过程1kkpg p()+ += =线性收敛与平方收敛的误差 线性收敛线性收敛 设 p 为g x( )的不动点， 且在p
12、附近，01gxL( ) ）重零点，则有，mf xxph x( )()( ),= = 0 xph xlim ( ) 1mmfxm xph xxph x( )()( )()( ) = =+ 此 时 ， 牛 顿 迭 代 函 数 为f xxp h xg xxxfxmh xxp h x( )() ( )( )( )( )() ( ) =+=+， 易求得：11gpm( ) = = 由于 01gp( )=，试导出求na的迭代公式，并求 ()()1 2n kkn kapaplim+ + 3.12 分别用牛顿法与重根迭代法(3.5.8)，(3.5.9)求117 解方程0xxxcos = =取 01 5p.= =
13、，误差不超过310 3.13 设p是f x( )的m（1m ）重零点，证明重根迭代法(3.5.8) 1n nn nf pppmfp() ()+ +=二阶收敛 3.14 设0a ，证明迭代公式 2123 3nn n nppappa()+ + +=+=+118 三阶收敛于a 3.15 应用Steffensen 方法，求解如下方程: (1)(1). 0xxxcos = =，取迭代函数 11xxxg xxxxxcos( )cossin = ，初值01 5p.= =； (2)(2). 3210xx = =，取迭代函数 32 21gxxxx( ) = =+，初值01 5p.= = 要求误差不超过510 3
14、.16 证明定理3.9 119 3.17 设42 023342P xxxxp( ),= =+= += ，利用定理3.9，求Q x( )，使 00P xxp Q xb( )() ( )=+=+ 3.18 完成牛顿法求解方程310z = =的收敛域的Matlab程序. 部分习题答案 第章 非线性方程求根 3.1 （）1 （）3 120 3.2 31.0799p ，若要求近似根的误差不超过310 ，问，应二分10次 3.3 2a. 2b. 1c. 1d. 3.4 a. 收敛， b. 收敛，c. 发散 3.5 (1) 1 232xg xex/( )(/ ),(, = = ; (2) 02g xx x( )cos ,/=. 3.6 取 ()()22103g xxxx( )cos/=，当0833 16193pp.=； 121 当0833 16193pp.= = =
