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1、2.1 随机变量及其分布函数 一、随机变量的概念 基本事件 二、随机变量的分布函数 是右连续的函数.(2)(1) (4) (3) (5) 是单调不减的函数；复 习 1复习 2.2 离散型随机变量及其概率分布二、离散型随机变量的常用分布 概率函数分布函数 由若干直线段组成的右连续“台阶形”曲线. 一、离散型随机变量及其分布 1、 二项分布 (2) 若 不是整数，则(1) 若 是整数，则最大最大2、 Poisson分布泊松定理时, 2概率密度的性质2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的特点 分布函数一定连续二、连续型随机变量的密度函数 三、连续型随机变量一般定义 四、连续型随机变
2、量的常见分布 1、均匀分布 2、指数分布3连续型随机变量 取得它的任何可能值 的概率等于零， 连续连续 型随机变变量 的分布函数2.3 连续型随机变量及其概率分布 一、连续型随机变量的特点 连续型随机变量在试验的结果中可以取得某一区间内的任何数值. 讨论连续型随机变量并不关心它等于某一个值的的概率，而是 关心它落在某一区间内的概率 概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件 一定是连续连续 函数 4的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比，弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示设每次射击都能中靶
3、，试求 的分布函数并求概率例1解5当 时，设 ，则由题意得当 时，设连续型随机变量 是电子管的使用寿命，则 的分布函数，其中 是常数， 表示当 时，较使用了 小时的电子管在以后的 小时内损坏的概率等于例2高阶的无穷小量. 求电子管的使用寿命(即电子管损坏前已使用的 时数)的分布函数. 解67二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间上的平均概率分布密度:随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:连续型随机变量的分布函数与概率密度有如下关系：8概率密度的性质：(1)(1)：非负性：非负性 注:(2)(2)：规范性：规范性概率密度的图形 通常叫做 分布曲线。连续型随机变量 落在
4、区间内的概率为：或 (3)(3)：直观。述它的分布比分布函数机变量，用概率密度描因此对于连续型随附近的值的概率大小。取映出的大小能反的概率分布的密集程度在点而是的概率取值不是随机变量概率密度xXxfxXxXxf)(,)(9的圆内的概率，与圆盘上以 为半径的同心圆的面积成正比，弹着点到圆盘中心的距离，射手击中以靶心为中心，以 为半径射手射击时，设目标靶是半径为20厘米的圆盘，以 表示设每次射击都能中靶，试求 的密度函数并求概率例3解10对任意实数 ，有设 为随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，则 称为连续型随机变量，称 为 的概率密度函数或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.三、连续型随
5、机变量一般定义 定义利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质 11例4 设连续型随机变量 X 的概率密度为其中 k 为正整数，求系数 A 的值。解令得即：伽玛函数的定义：伽玛函数的性质：P4412注：若随机变量 X 的概率密度为则此分布叫做自由度为 k 的 分布 ，并记作 。13练习 (柯西分布)设连续随机变量X 的分布函数为求: (1)系数 A 及 B ; (2) 随机变量X 落在区间(-1,1)内的概率; (3)随机变量X的概率密度.解 (1)解得(2)(3)14连续型1. 密度函数 X p(x)( 不唯一 ) 2.4. P(X=a) = 0离散型1. 分布列: pn = P(X=
6、xn) ( 唯一 )2. F(x) =3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。5. F(x)为连续函数。F(a0) = F(a).F(a0) F(a).151、均匀分布 定义 设连续型随机变量 X 的一切可能值充满某一个有限区并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：此分布叫做均匀分布（或等概率分布）。事实上间即四、连续型随机变量的常见分布 16若 ，则对于任意实数 ( )有均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：为：X 分布函数的取值落在区间 内的任意子区间上的概率，与子区 间的长度成正比，而与子区间的位置无关17
7、的密度函数设随机变量 服从区间 上的均匀分布，试求一元二次故所求概率例5方程 有实根的概率. 解18又设 为乘客的等候时间，设乘客到达候车地点的时间为7点 分其密度函数例6某长途汽车每天有两班，发车时间分别为7:30和8:00，某乘 客在7:00至8:00之间的任意时刻到达候车地点是等可能的， 试求该乘客候车时间不超过20分钟的概率.解19均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从0, 2r上的均匀分布， 即 X0, 2r ，即在 0, 2r 上任一等长的小区间
8、上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.20定义其中 0 为常数。显然因此，指数分布的分布函数为2、指数分布设连续型随机变量 X 的概率密度此类分布为指数分布， 记作21若 ，则对于任意 ，有事实上，这种性质叫做指数分布的“无记忆性”，故又把指数分布称为“永远 年轻”的分布.我们一般说电子管的使用寿命近似服从指数分布 22例 已知某电子管的寿命X （小时）服从指数分布：求这种电子管使用1000小时以上的概率。解指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元 件的寿命；动物的寿命；电话的通话时间；排队时所需 的等待时间都常假定服从指数分布因此，指数分布在 生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用23指数分布， 的计时单位为分钟，若等候时间超过10分钟，的分布律以及概率已知顾客在某银行窗口等候服务的时间 服从参数为的他就离开. 设他在一个月内要到银行5次，以 表示一个月内他例7因等候时间超过10分钟，没有得到服务而离开银行的次数，试求解24练习 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位： h）服从指数分布 ,求： （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？（2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？解 X的密度函数为： （1） （2） 25
