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1、 1.简谐振荡器的时间最优控制问题 设有一质量为m的物体连接在弹性系数为k的线性弹簧上， 用( )y t物体对平衡位置的相对位移，( )f t表示一个有限的作用力。 |( )|f tF， 且( )u t满足不等式 | ( )| 1u t 定义状态变量 121( )( ),( )( )x ty tx ty tKK=& 状态方程为 1122( )( )00( )( )( )01x tx tu tx tx t =+ &系统矩阵和控制矩阵分别为 00,01AB = 系统矩阵的两个特征根为虚数 12,jj= (1) 简谐振荡器的最短时间控制问题描述 已知受控系统状态方程为 1122( )( )00( )
2、( )0( )1x tx tu tx tx t =+ &(4-97) 控制作用( )u t满足 | ( )| 1u t (4-98) 求最优控制律，使系统从任意初转态12( ,) 移到原点的时间为最小。 01fttJdt= (4-99) (2) 简谐振荡器最短时间控制问题的求解 哈密顿函数 211221( )( )( )( )( )( )Hx ttx ttu tt= + 为使H最小， 可得优控制 1 2 2( )( )sgn( )sgn01sgn( )( )Ttu tttt= = = B (4-100) 协态方程为 0( )( )( )0THttt= = =A x(4-101) 令 110(0
3、)= , 220(0)= 则可得式(4-101)的解为 101202( )cossin( )sincostttttt=其中 21020( )sincosttt= + 写成正弦函数的形式 2( )sin()tat=+ (4-102) 式中，22 1020a=+，1020arctan=。 由式(4-100)和式(4-102)，最优控制律可表示为 2( )sgn( )sgn sin()u ttat= = + 绘制出2( )t与( )u t的关系图，如图 4.10 所示。 图 4.10 2( ) t与( )u t的关系图 图中我们可以得出如下结论 最优控制是分段常数， 且在( )1u t = 和( )
4、1u t = +之间切换。 2( ) t是周期函数，每两个零点的间隔时间t =，所以最优控制的保持恒值的时间最长不超过 秒。 最优控制的开关次数没有限制。 上述三点结论时间最优控制应具备的性质，我们根据这些性质，把状态平面划成各个区域， 确定每一个区域中相应的控制。 4.5 燃料最优控制 (1)问题描述 设系统的状态方程为 ( )( )tt=+xAxBu& 系统是完全能控的，且控制变量( ) tu的各分量满足 |( )| 1(1,2,)ju tjm=L 寻找最优控制( ) tu，使系统从已知初始状态00( )t=xx,规定的时间ft转移到预定终点 ()fft=xx 使性能泛函 01|( )|f
5、mtjtjJu tdt=取得极小值。 (2) 最优控制存在的必要条件 构造哈密顿函数 1 ( ), ( ), ( )|( )|( )( )( )m T j jHtttu tttt=+xuAxBu 1|( )|( )( )( )( )m TTTT j ju ttttt=+xA uB 要使性能泛函取得极小值， 应用极小值原理可推导出实现最优控制的必要条件如下： 正则方程组 ( )( )( )Httt=+xAxBu& ( )( )THtt= = A x& 边界条件 00( ), ()fftt=xxxx 极值条件 由 ( )min( ),( ), ( )( ),( ),( ) ttttHttt= ux
6、uxu可得 ( )( )Ttdezt= uB 或写成分量形式 ( )( )1,2,3, jT ju tdeztjm= =b L 其中，jb是B的第j列分量，( )dez为死区函数,其定义如下 0| 1 sgn( )| 1( )0,11 1,01x xxydez xyx yx= = + 哈密尔顿函数沿整个最优轨线是一个常数 1|( )|( )( )( )( )m TTTT j ju tttttCconst=+=xA uB (4-113) 对于式(4-113)，由于包含任意常数C，似乎并不能给我们提供有用的信息。其实不然，假设( ) t 0，则根据式(4-113)可得 1|( )|mj ju tC
7、const=则 001|( )|ffmttjttjJu tdtCdtconst=那么，燃料最优问题无意义。所以，( ) t不恒为零。 (3) 判别最少燃料问题非平凡性的条件 由上面的推导可知， ( )( )(1,2,)T jju tdez btjm= =L (4-114) 从而，最少燃料问题是非平凡的，在0 ,ft t中至少存在一个子区间12 , t t，使得对于某个整数j， 有下列关系式成立。 |( )| 1T jt=b 对于所有的12 , tt t (4-115) 函数( )T jtb 在区间12 , t t是一个常数，其对应各阶倒数均为零。对式(4-115)等式两边重复求导并应用关系式(
8、 )( )Ttt= A &可得到， 对所有12 , tt t ( )0T jt=Ab 2( )0T jt=A b (4-116) M ( )0nT jt=A b M 从式(4-116)中挑出n个独立的方程，并按下式排列 2( )T jT jnT jt =AbA b0A bM(4-117) 令 21n jjjjj=GbAbA bAbMMMLM 式(4-117)可化为 ( )TT jt=G A 0 对于所有12 , tt t (4-118) 因为( ) t= /0，式(4-118)成立的条件是 detdetdet 0TT jj=G AGA 即 det 0=A 或 det0j=G 综合上述分析，可以
9、得到燃料最少问题是平凡的充分条件。 定理 4.10 燃料最少问题如果是平凡的， 则必有 det0TT j= /G A (4-119) 若燃料燃料最少问题是非平凡的，则必存在某个整数j使得 det0TT j=G A (4-120) 说明： 式(4-120)是判定燃料最少问题是非平凡时的必要条件。 有些燃料最少问题对于有些初态来说是平凡的，而对另一些初态来说是非平凡的。 (4) 唯一性定理 定理 4.11 设最少燃料控制问题是平凡的，则燃料最优控制如果存在，它必定是唯一的。 4.6 积分模型的最少燃料控制问题 （1） 双积分模型的最少燃料控制问题 设系统状态方程为 010( )( )( )001t
10、tt =+ xxu& (4-130) 初始条件 1020(0),xx=x (4-131) 终端条件 ()0,0ft=x，终端时间自由 (4-132) 控制约束 1( )1(0)fu ttt = = +(4-135) 为了确定最优控制( )u t，还必须求解出2( ) t。由协态方程可知 1 1( )0Htx= =21 2( )( )Httx= = &解得 110( )t= (4-136) 21020( )tt= + (4-137) 式中1020,是由初始条件决定的常量。 由于哈密尔顿函数不显含时间t，且终端时间自由，所以沿最优轨线哈密尔顿函数等于零，即 212( ),( ), ( ), |(
11、)|( )( )( )( )0Httt tu tt x tt u t=+=xu (4-138) 现在来讨论2( )t的变化规律 当100=时，考虑式(4-137)和式(4-138)，有 220( )t= 20( ),( ), ( ), |( )|( )0Httt tu tu t=+=xu 应有 201= 由式(4-135)仅能确定( )u t的符号， 而不能确定( )u t的大小， 是一种奇异情况。 当100时 由式(4-137)可知，2( )t是时间的线性函数， 这时2( )t在时间区间0,ft最多出现一次1+和1的情况，即最多两个点满足2|( )| 1t=，这属于平凡系统。2( )t与的对
12、应关系如图4.20所示。 此时，最优控制为 10 ( )01aabbftt u ttttttt = + 最优控制必定是三位控制， 即在1,0, 1+之间最多进行两次切换，其可能的最优控制序列有以下九种： 0， 1+， 1， 1,0+， 1,0，0, 1+，0, 1， 1,0, 1+， 1,0, 1+ 以上九种控制序列中，当最后为( )0u t =时，显然不可能将非零状态(0,0)转移到(0,0)状态，从而，燃料最优控制序列只有以下六种可能： 1+， 1，0, 1+，0, 1， 1,0, 1+， 1,0, 1+ (3) 双积分模型的最少燃料控制问题的最优状态轨线及开关曲线 当0att 时，( )1u t= ，状态方程的解为 2 110202
