《几类LotkaVolterra系统的稳定性及相关动力学性质研究》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几类LotkaVolterra系统的稳定性及相关动力学性质研究（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要自 从拿 世纪初L o t k a 和V o l t e r r a 的初期理论工作以 来，L o t k a - V o l t e r r a 系统在物理， 化学，生 物， 生 态， 生理， 进化 博弈论， 经 济及其它 社会科学等越来越广 泛的 领域得到应用. 在 近几十 年关于L o t k a - V o l t e r r a 系 统动力学 性质的研究已 非常活跃. 而且， 除了 个别情况外， 很难或不能求出L o t k a - V o l t e r r a 系统的 精确解，目 前 有关的 主要结果就是它们解的定 性行为， 例如持缺 it 或 永 久 性 ， 非 负 平 衡
2、 点 的 全 局 稳 定 性 ， 周 期 运 动 与 混 动 等 等 本论文选取了几类具有实践意义的L o t k a - V o l t e r r a 系统研究了其全局动力学性质并得到了一系列新的结果.本论文主要有以下两大部分内容:第一章， 关于稳定耗散型三维L o t k a , V o l t e r r a 系统的分类与动力学性质研究. 首先我们应用图论的 方法对耗散型三维L o t k a - V o l t e r r a 系统进行了 分类，同时给出了其稳定耗散的充 分必要条件. 并对每一类给出了所有可能的动力学性质， 并且通过各类之间的联系及转化深人讨论了其生物学意义及其生物控
3、制理论.第二章， 我们 对 几类n 维L o t k a - V o l t e r r a 系 统 给出了 全 局 稳定的 判定 条件， 包括L o t k a - V o l t e r r a链式系 统， 一个种群的 相互作用 模型与L o t k a - V o l t e r r a 环型系统. 所给出的充 要条件比 文16 1 的充 分条件 更弱而且在实际 应用中 更易 操作. 并且相应的 结果能推广到更一般的L o t k a - V o l t e r r a系统.同时，给出了以上子系统存在全局渐近稳定正平衡点的判别条件.关 祖 调 : L o t k a - V o t e
4、r r a 系 统 ; 稳 定 耗 散 矩 阵 ; 约 化 图 ;H a r n ilt o n i a n 结 构 ;C a s in il r 函 数 ;平衡点;全局稳定性.Ab s t r a c tS i n c e t h e p i o n e e r i n g t h e o r e t i c a l w o r k s ( e a r l y i n t h i s c e n t u ry) b y L o t k a a n d V o l t e r r a , L o t k a -V o l t e r r a s y s t e m s h a v e p l
5、a y e d i m p o r t a n t r o l e s i n t h e m o r e a n d m o r e r e s e a r c h i n g fi e l d s u c h a s i np h y s i c s , c h e m i s t r y , b i o l o g y , e c o l o g y , p h y s i o l o gy, e v o l u t i o n a ry g a m e t h e o ry, e c n o m i c s , a n d o t h e rs o c i a l s c i e n
6、c e s . T h e l a s t d e c a d e s h a v e s e e n a n e x p l o s i v e g r o w t h i n t h e s t u d y i n g o f t h e d y n a m i c sp r o p e r t i e s o f L o t k a - V o l t e r r a s y s t e m s . 玩a d d i t i o n , b e c a u s e i t i s i m p o s s i b l e f o r t h e r e s e a r c h e s t
7、oo b t a i n t h e p r e c i s e s o l u t i o n o f L o t k a - V o l t e r r a s y s t e m s e x c e p t s o m e s p e c i a l c a s e s , a t p r e s e n t , t h em o s t r e s u l t s a s s o c i a t e d w i t h L o t k a - V o lt e r r a s y s t e m s a r e a b o u t t h e q u a li t a t i v e
8、b e h a v i o r o f t h e i rs o l u t i o n s s u c h a s p e r s i s t e n ce o r p e r m a n e n ce, g l o b a l s t a b i l i t y o f n o n n e g a t i v e e q u i l i b r i u m p o i n t s ,p e r i o d i c a n d c h a o t i c m o t i o n s a n d s o o n .I n t h is t h e s i s , w e s t u d y t
9、 h e g lo b a l d y n a m i c a l p r o p e r t ie s o f s e v e r a l c l a s s e s o f L o t k a - V o l t e r r as y s t e m s a n d o b t a i n e d s o m e n e w r e s u l t s .T h e t h e s i s i s o r g a n i z e d b y t w o p a r t s :I n C h a p t e r 1 , o n t h e c l a s s i fi c a t i o n
10、 a n d d y n a mi c s o f s t a b l y d i s s i p a t i v e 3 - d i m e n s i o n a l L o t k a -V o l t e r r a S y s t e m s . We fi r s t g i v e a g r a p h i c c l a s s i fi c a t i o n o f s t a b l y d i s s i p a t i v e 3 - d i m e n s i o n a l L o t k a -V o l t e r r a e q u a t io n s
11、t h r o u g h t h e m e t h o d o f gr a p h t h e o ry a n d t h e n s h o w s t h e n e c e s s a r y a n d s u f fi c i e n tc o n d i t i o n s o f s t a b l y d i s s i p a t i v e f o r e v e ry c l a s s . A n d t h e c o r r e s p o n d i n g d y n a m i c a l p r o p e r t i e s o fs t a b
12、l y d i s s i p a t i v e 3 - d i m e n s i o n a l L o t k a - V o l t e r r a s y s t e m f o r e a c h c l a s s a r e d e s c r i b e d . Mo r e o v e r ,t h r o u g h t h e p o s s i b l e c h a n g e s b e t w e e n t h e d y n a m i c a l p r o p e r t i e s o f d i ff e r e n t c l a s s e s
13、 o f L o t k a - V o l t e r r as y s t e m s , w e d i s c u s s t h e c o r r e s p o n d i n g b i o l o g i c a l s i g n i fi c a n c e a n d c o n t r o l .I n C h a p t e r 2 , T h e c r i t e r i a c o n d i t io n s f o r t h e e x is t e n c e o f a g l o b a ll y s t a b l e e q u i l i b
14、 r i u m p o i n ti n s e v e r a l c a s e s o f p r a c t i c a l i n t e r e s t n - d i m e n s i o n a l L o t k a - V o l t e r r a s y s t e m s a r e g i v e n . A n d i n c l u d -i n g t h e f o ll o w i n g s y s t e m:I R 1 t k a - v o l t e r r a c h a i n s y s t e m s , L o t k a - v
15、o l t e r r a m o d e l b e t w e e n o n e a n dm u l t is p e c i e s a n d L o t k a - V o l t e r r a c i r c l e s y s t e m s . T h e c o n d i t i o n s a r e w e a k a n d e a s i l y v e r i fi a b l e i nr e a l a p p l i c a t i o n . F u r t h e r , t h e s e r e s u l t s a r e e x t e
16、n d e d n a t u r a ll y t o t h e m o r e g e n e r al L o t k a - V o l t e r r am o d e l s . A t t h e s a m e t i me , t h e e x i s t e n ce a n d s t a b il i t y c o n d i t i o n s o f p o s i t i v e e q u i li b r i u m p o i n t s o ft h e a b o v e s u b s y s t e m s a r e g i v e n .Ke y w o r d s : L o t k a - V o t e r r a s y s t e m s ; s t a b l y d i s s i p a t i v e m a t r i x ; r e d u ced gra p h ; h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s ; c a s i m i r f u n c t i
