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1、2012 数学讲座（2328）积分 6 讲 第第 23 讲讲. 一字之差万里遥一字之差万里遥 不定积分与定积分在词面上只差一字，但实际内容却相去甚远，本质上是两回事。 f (x) 的原函数与不定积分的原函数与不定积分 已知函数 f (x)，导数恰是f (x) 的那些函数，都称为 f (x) 的原函数。f (x) 的全体原函数，就叫的全体原函数，就叫 f (x) 的不定积分。的不定积分。记为 )(dxxf)()(xfxF=求函数 f (x) 的不定积分，实际上是求解最简单的微分方程 从理论上说，f (x) 的原函数彼此之间只差一个常数。 （潜台词：原函数可能具有不同类形的函数表达式。让你对不上答
2、案哦。 ） 从几何上看，这是一族曲线，它可以由其中一条曲线沿 Y 轴方向上、下平移而产生。 ，给一个初始点，就确定一条积分曲线。 很容易验证，奇函数的导数必是偶函数，偶函数的导数必是奇函数。奇函数的导数必是偶函数，偶函数的导数必是奇函数。但是在相反情形下，奇函数的原函数都是偶函数，而偶函数的原函数中，只能有一个是奇函数。奇函数的原函数都是偶函数，而偶函数的原函数中，只能有一个是奇函数。这是因为，奇函数的图形平行移动后不可能再以原点为对称中心。 （画外音：在“定积分上限函数”部分，证明“ （连续）奇函数的原函数都是偶函数。 ”奇函数的原函数都是偶函数。 ” ） 还要记住的是，尽管连续函数都有原函
3、数，但相当一些函数没有初等形式的原函数。典型的如 dxxxsindxxx ln+dx x411dxex2定积分 定积分是计算某些具有可加性的目标量的数学模型。定积分 定积分是计算某些具有可加性的目标量的数学模型。 b a dxxf)( 既表达定积分运算指令，即“求函数 f (x) 在区间 a ，b上的定积分” ；又表 示运算结果。即目标量的值。其中，我们限定函数 f (x) 在区间 a ，b 上有界。 定积分是一个确定的数定积分是一个确定的数。是积分和当分法的模分法的模 =njjjxf1)(jxmax= 趋于零时 的极限。这个极限值与区间的分法无关，与分点组 j 的选法无关。 （潜台词：若函数
4、 f (x)在区间 a ，b上存在定积分，则改变f (x)于若干孤立点处的值，也不会影响定积分的值。 ） 从几何上看，可积函数 f (x)在区间 a，b 上的定积分，是相应的曲边梯形面积（x 轴下方部份的面积记为负值）的代数和。 （潜台词：别忘了！连续函数在两个相邻的零点之尖不变号。连续函数在两个相邻的零点之尖不变号。其图形被它的零点分成了各自定号的若干段。 ） 特别的，在对称区间 a ，a 上 ， （a 0） ，可积的奇函数，其定积分为 0；而可积的偶函数，其定积分是它在 0 ，a 上定积分的两倍。 尽管两个概念有质的差异，但是，通过对定积分上限函数（即变动面积函数）的研究，1牛顿和莱布尼兹
5、把计算可积函数 f (x) 在区间 a，b 上的定积分值，转化为求 f (x) 的任意一个原函数 F (x)的增量， 即有 计算定积分的“牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式” =b a aFbFdxxf)()()(例例 1 在下列等式中，正确的结果是 （A） （B） =)()(xfdxxf=)()(xfxdf=)()(xfdxxfdxd（D） =)()(xfdxxfd（C）分析分析 d f (x) =， （A）与（B）都是求dxxf)( )(xf 的原函数。都等于； Cxf+)(由定义可知“ ”的导数是 ，而微分为，故（D）错，答案（C） 。 )(dxxf)(xfdxxf)(例例 2 已知函数
6、f (x) 连续，F (x) 是 f (x) 的原函数，则 （A）若 f (x)是奇函数，F (x)必为偶函数； （B）若 f (x)是偶函数，F (x)必为奇函数 （C）若 f (x)是周期函数，F (x)必也是周期函数； （D）若 f (x)单增，F (x)必也单增。 分析分析 奇函数的原函数都是偶函数。奇函数的原函数都是偶函数。应选（A） 。 如前面所述，偶函数的原函数中，只能有一个是奇函数。偶函数的原函数中，只能有一个是奇函数。 （B）错。 xxFsin+=周期函数 的原函数 xycos1+= 不是周期函数； （C）错。 函数 在单增，而它的原函数 F = x43xy =)0,( )0
7、,( /4 在单减。 （D）错， *例例 3 验证函数在 0 ，求极限 n nfnnfnfnf) 1 ()1()2()1(lim L 分析分析 用“对数指数恒等式对数指数恒等式” ，把所给n次根式化为n个等距点函数值的平均值。正好是将区间0，1 n等分，取每小段的右端点作 j而生成的积分和。 dxxfnefnfnfn)(ln10)1 (ln)2(ln)1(ln1limexp(=+= L 原极限_)2sin22sin2(sin12lim2=+nn nnnnnL例例 6 2, 0分析分析 括号中的个项， 对应着个等分点处的函数值。 显然是把区间nn分成等 n21nnn220=+分，每个小区间长为
8、，第一个分点是 ，第个分点就是区间右端点。 nn nk nnnnkn2 2sin212lim12 += =（乘上区间长才构成积分和） 原极限= +=2 01224sin4 2sin2lim14lim1 xdxnk nnnnknn例例 7 设 f (x)连续，且，则 f (x) = +=10)(2)(dttfxxf。 分析分析 一个定积分就是一个数。求 f (x) ，只需确定其常数项中的未知数。 对函数恒等式两端分别在区间0，1上求定积分，就得到这个未知数（即 所满足的方程。最终算得 10)(dttf1)(= xxf（画外音：请理解定积分的“双重身份” 。既表示运算指令，又代表运算结果。 ） +
9、=102 2)(111)(dxxfxxxf=104)(dxxf例例 8 若 ，则 +=+=10102 24411AdxxAxdxA分析分析 记，由已知等式得方程 =10)(Adxxf 0)( xf例例 9 设在区间 a，b 上 f (x) 0 ， ， ；令 )()(21 3abbfafS+=b a dxxfS)(1， ， ，则 )(2abbfS=（A） （B） （C） （D） 321SSS xf 知曲线 )(xfy =在 a， b 上向上凹。 即函数图形在 （a，f （a） ）与（b，f（b） ）连线之下。 从几何意义判断：矩形面积 0 ，P m，可以通过有理真分式分解定理分解为若*有理真分式
10、的积分6+kqpxxdxBAx)()(2kaxdx)(+qpxxBAx2干个形如 ； ； 类型的积分之和 2211 )1 (1 xx xxx+=+ +=axaxaax11 21122常用的真分式分解常用的真分式分解式 如 ，4/32/1)ln1 (lne e xxxdx例例 21 计算 dxxxf1)(ln分析分析 这是型积分。只是要注意，定积分的变量代换要换元换限。定积分的变量代换要换元换限。 = = 43212/32/226112 )1 (/ / dt tuudu原积分= ut = 其中，第一步以后，我们又作了变量代换uut=1uuuuu/ )1 (1)1 (1= ，很繁。 也可以考虑变形
11、，化出“简单根式” ，再令10221)2(xxxdx例例 22 计算积分值 2=t0=x0=t分析分析 令 以去掉二次根式，txsin=tdtdxcos=，时取，时取1=x =+=+=+1022 02 02241cos1sin cos)cos1 (cossinududttt tttdtt原积分= 第第 25 讲讲. 分部积分重变形分部积分重变形 “分部积分”也是基本积分方法。但分部积分的本质是“变换” ，是探索。 分部积分公式源自于积函数求导公式。故所处理积分的被积函数是（或有意分解成的）两类函数的乘积乘积。在设计分部积分时，往往要首先考虑： “将被积函数的哪一个因子求导，可能得到有利于求积分
12、的形式变化” 。将被积函数的哪一个因子求导，可能得到有利于求积分的形式变化” 。 确定了留待求导的因式后，再考虑被积式中余下的因式的积分问题。 为了帮助读者领会分部积分的要领，不去死背公式，我用通常语言来表述这个公式： dx)()(乙函数甲函数 = (甲的一个原函数甲的一个原函数)(乙函数) (乙的导数乙的导数) )(甲的这个原函数dx基本类型（基本类型（1）（为整数或零） n xdxxnln； ； dx ； arctgxxnxxnarcsindx 1n选择（第二部）对 ln x ，arcsin x ，arctg x 求导。它们的导数都不再是超越函数。 dxxx2)2(ln例例 24 求不定积
13、分 2)2(1x分析分析 应用分部积分法，在第二部份对 lnx 求导，先求的一个原函数 7=dxxxxxdxxxxx)1 21(21 2ln )2(1ln21原积分例例 25 求不定积分 dxx2)(arcsin=dx xxxxxdxx 2221arcsin2)(arcsin)(arcsin解解 Cxxxxx+=2arcsin12)(arcsin22+=)1(arcsin2)(arcsin22xdxxx 第一次分部积分后，处理新的积分，还需要选择对 arcsinx 求导，如果感到余下部份较为复杂。可以单独写出来求其一个原函数。 +dxxxarctgx) 1(22例例 26 求不定积分 分析分析
14、 这是简单有理分式和反正切函数乘积的积分。试按基本类型（1）基本类型（1）处理。 +=+111 )1 (12222xxxx+arctgxdxxarctgxdxx11122原积分= 2 2)(211111arctgxdxxxarctgxx +=（后一积分凑微分） 基本类型（基本类型（2） （为整数或零） ndxexxn； dx ； xxnsinxdxxncos 选择（第二部）对幂函数x n 求导 ， n次分部积分以后单项式化为常数；另一因子指数函数或正（余）弦函数都能较顺利地连续积分。 例例 28 计算 xtgxdxx2sec分析分析 x 因子的导数为 1，先求 sec2x tg x的一个原函数
15、。 =dxxxxtgxxdxtgxtgx22 222 coscos1 21 221 21原积分例例 29 （换一个角度计算例 25） 求不定积分 dxx2)(arcsin解（二解（二 ） 令， xuarcsin=uxsin=ududxcos=，则，于是 化为标准的分部积分基本类型（2） 。 =uduudxxcos)(arcsin22dxxxx34sin)2/(cos例例 30 求不定积分 dxxx34sin)2/(cos分析分析 分部积分基本类型（2） 。先求 ，用 sin2x = 2sinxcos x 来统一“角变量” ，即选 )2/cos()2/sin(2sinxxx=，可望化简。 Cxdxxx+
