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1、摘要等离子体、沙堆、生态系统、 股民等体系，是由大量的单元组成的， 单元之间存在相互作用力或某种信息交换， 而且系统也受到外力的作用。 为了研 究 这 些 体 系的 动 力 学 性 质， 1 9 8 7 年B a k , T a n g 和W i e s e n f e l d ( B T W)认为， 在外力驱动和各单元相互作用的共同影响下， 体系将自 发地演化到一种稳定的临界状态， 在这种状态下没有特征空间尺度和特征时间尺度可以描述体系的动力学演化性质， 但具有简单的、 确定的统计规律- 幂次定律。 所以，临界态系统在空间上呈现分形结构，而时间上表现为 “ 1 / f 噪声， 。由于综合性作
2、用， 临界态系统能 展示雪崩行为， 其中系统的 某个部分能以多米诺效应的方式影响其它部分。 在相空间中， 稳固的临界态相当 于一个动力学吸引子。实验中发现， ( 1 ) 托卡马克边缘等离子体中横越磁场的能量输运通量和粒子输运通量要比 新经典理论预言的大得多， 这表明能量输运是反常的， 而且 主 要 是由 静电 涨 落 引 起 的 。 ( 2 ) 在 时 间 尺 度 上 ， 静电 涨 落 ( T 0 ，则奇点不稳定;( 3 ) 若至少有一个特征值，使得 R e A = 0 ， 此时轨线的拓扑结构要发生变化，即稳定性发生变化。对于( 2 . 8 ) 式的动力系统，当控制参数P发生变化时，就可能引起
3、J a c o b i 矩阵的 特征值随之发生变化。当出 现R e A = 0的 情况， 结构稳定性 发生变化， 从而就将出 现分岔。 可能出 现R e A = 0 的情况有三种:( 1 ) 特征值沿复平面 ( R e A，I m A)的实轴穿过虚轴;( 2 ) 特征值沿复平面 ( R e A，I M A)的上方或下方穿过虚轴;( 3 ) 特征值沿复平面 ( R e A， 工 。 A)的实轴两边趋向 于虚轴。2 . 5混 沌早在1 9 世纪末，法国数学家H e n r i P o i n c a r d 就预言了 混沌运动的可 能 性。 1 9 6 3 年 美国 气 象 学 家L o r e
4、n z 在 分 析 天 气 预 报 模 型 时 得出 气 象 不 可预测的结论，从此，人们认识到即 使确定性系统受确定性激励，响 应也可 能是不确定的。 混沌现象只出 现在非线性动力系统中， 它是一 种始终限于 有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大 周期的周期运动或貌似随机的运动。但是，随机运动和混沌运动是有根本 区别的:随机运动根本不可预测， 而混沌运动短期可以 预测而长期不可预测。2 . 5 . 1 L o r e n z 方程 x = 一 P , ( x 一 ， ) I Y = P : 一 Y 一 x z (z = 一 加+ x Y( 2 . 1 0)它表示两
5、个无限平面间 B e n a r d热对流的简单模型， 可由= 。 和二 二 1 _ 上夕如。点和A点。不动点的稳定性由J a c o b i 矩阵的特征值兄的模决定。若 不动点稳定 不动点不稳定( 2 . 1 3 )胎T - 严( 1 = )O卫 .盆 .月 .图2 . 8 映 射( 2 . 1 2 ) 的 迭代过程因此， 在映射中发生分岔的 可能情况是: .1 = 1 , A = - 1 ， 和当A是复共扼A 及T时囚= h如 果 满 足x k= x ,=f ( f ( . . . f ( x o ) ) ) 二 f k ( x o ) 、 一- . . . . . . . 叼 一-曰则
6、称映 射具 有周 期k 解 或 具 有 周 期k 轨 道， 式 中 x , ， x 2 ， 一 ，x k _ i ，: * 依 次是第一次，第二次， ，第 ( k - 1 )次，第 k次迭代的输出结果。此时 o f ( x * 一 ， ) . o f ( x k - 2 ) .a x a xa f( x o )当x 。 0 , 1 ，lu。 0 , 4 有以下多种:” 一 a x ， 控制参数k周期 k变化时轨道的 稳定性也是( 2 . 1 3 ) 式。x ， 的 长时 间 演化形态可以当。 1 ) ， 而A 点 是 稳 定 。1 一 上 称 为 周 期1 解 。 当 lu 一 3 时 ，1
7、， 在A 点 发 生 分 岔 。 当 3 3 .5 7 = li . 时 ， 序 列I . .机数，因而称为混沌。这种周期加倍的分岔现象称为 像是 分布在区 间 fo ，IJ 上的 随2 . 5 . 3周期窗口映射( 2 . 1 2 ) 式的 混 沌区并非完 全是 无序的， 它是 有结构的。 如果 对混沌区进一步作仔细观察，可以发现还存在着一个个透明的窗口，在这些窗 口内，变量x ， 的 演化是周期性的。 最大的 周期窗口 是周期 3 ，它发生在 刀= 1 十 在 处， 图 就 是 放 大了 的 周 期3 窗 口 。 从产 = 1 十 派 开 始 逐 渐 增 加 lu 值， 又 可以 发 现
8、从3 - 6 , 6 - - 1 2 , 1 2 - 2 4 , ， 3 x 2 ” 一 ， 。3 x 2 的 倍周期分岔， 到。 。时映 射( 2 . 1 2 ) 式就 会从 这 个周期窗口 进入混 沌区。健礴人，, ，a x w ( 0 11 则L E = 工 In( 2 . 2 2 )称此数为一维L y a p u n o v 指 数。 若iv ( t ) 的 空间 是n 维的，w在每个基 底上 都有一个分量， 对每个分量都可按( 2 .2 2 ) 式求出 一个L E，则共有。 个 L E， 它 们 按 大 小 顺 序 排 列L E , L E 7 ? L E 3 _ . . A L E
9、， 这。 个 数 称为 L y a p u n o v 指数谱。 如果线性化的J a c o b i 矩阵与时间无关， 则L y a p u n o ， 指数就是J a c o b i 矩阵的 特征值的实部。 对于复杂情况下的L y a p u n o v 指数需要用计算机进行数值求解。 若iv ( t ) 的空间是w( t )维的，设 f w t ( ， )，、， 2 ( ， ) ，、 。 ( ， ) 而 、 1 ( t ) = w , ( 0 ) x e (L E O “ w = ( t ) 演变关系为:A ( t ) =A ( 0 )L E, +L E,= fv i ( 0 ) x e
10、(LE , ), 。 两 式 相 乘 就 得 面 积A 二 、 ， w , 的 e ( L E , L E = ) , 。于是它代表平均 “ 面积”的辐散率工 In 望 二 些 t A( 0 ) 。 类似，相邻轨道的 “ 体积”的辐散率为:L E, +L E: +L E, =工 In 工 立 之 t V ( 0 ) 一般地，k 维多面体的辐散率为: 工 In V , ( t ) t V , ( 0 )( 2 . 2 3-EL k艺川而且， 从( 2 . 1 9 ) 和( 2 .1 d V2 0 ) 式知，nV d ty 伟t VAj维体积的变化率是:T , J ( t )式中T , 表示对矩阵
11、( 2 .2 1 ) 的 取 迹运算。 将此式两边对t 积分， 得V ( t ) I n 艺 丫 一 ， 了下 =V ( 0 )( 2 . 2 4-一EL ，艺川若矩阵( 2 . 2 1 ) 是定常的， 则月艺间艺L E ， =T , J=a t , ax;( 2 . 2 5 )J = 1 从L y a p u n o v 指数的意义，显 然 可以 根 据L E j ( j = 1 ,2 , . . . ， 。 ) 的 正 、 负或零来判断吸引子的 类型。 在三维相空间中， 按L y a p u n o v 指数就可以 区分出吸引子的类型: ( 1 ) 定常吸引子，它是稳定结点或稳定焦点。在相
12、空间的轨线当t *00时收缩为一个点，因 而L y a p u n o v 指数谱为( L E, ， L E2 1 L E1 ) = ( 一 ， 一 ， 一 ) ( 2 ) 周期吸引子，极限 环在三维相空间中是一个环绕匕维环面的闭合轨线， 在极限环邻域的轨线可以 从两个线性无关的 横向 趋于极限 环， 故( L E L E , ) = ( 一 ， 一 ) ， 但 沿极限 环切向 移动第 三 个L y a p u n o v 指数等于0 ， 这样极限 环的L y a p u n o v 指数谱为( L E L E: ， L E, ) =( 一 ， 一 ， 0 )( 3 ) 准周期吸引子，它在三维
13、相空间中是一个三维环面。环绕环面的轨线永远不会闭合，但经过一段时间后，轨线将回到非常接近原来出发的位置。 当t 。时， 轨线将爬满整个环面。 因此，所有轨线的演化极限是一个环面。 在环面的切平面上、两个正交方向的 运动既不增长也不衰减， 它们的 L y a p u n o v指数为( L EL E , ) 二 ( 0 ,0 ) ， 但L E , 0 表 示 初 值 敏 感 性， 而“2 二 0 表示沿流的 方向 ，L E 3 0 是混沌的 独有特征。 L y a p u n o v 指数还可以 用于鉴别系统的演化，因 为当 控制参 数产变化时，L E也不断变化，而L E= 。 时 发生分岔。2
14、 . 7 . 3 Y o r k e 公式混沌吸引子是整体的稳定性与局部不稳定性相结合的产物。 局部 不 稳 定( 或 伸 长) ， 使。 维 相 空间 中 至 少 有 一 个L y a p u n o v 指 数L E 0 。 例如三维空间 中， 三个L y a p u n o v 指数 排列为L E , ? L E 2 ? L E ; 。 其中L E , 。 ， 代 表 混 沌 吸引 子， 而L E 2 = 0 。K a p l a m 和Y o r k e曾 提出L y a p u n o v 指数与分数维间的关系( 2 . 2 6 )E L 了艺间D =1 十式中 JL E . _ 。
15、的最大整数， 也 就 是 使 艺 二 * 。 且廿乙同 使 是L(= )图2 . 2 2 重构轨 道第四章静电探针诊断原理静电探针( 又称朗 谬尔探针) 1 7 的结构十分简 单， 它通常是一根耐高温的、电的良 导体细丝， 除了 端点的工作部分外， 其它部分被陶瓷、 玻璃等绝缘材料复套保护。 将探针插入到等离子体内 部， 通过直接测量流到探针表面的粒子和能量通量， 在简单条件下， 推演出 局域等离子体参数 ( 电 子 密 度。 。 ， 电 子 温 度T 、 等 离 子 体电 位护 ， 及 其 涨 落 等 ) 。 由 于 结 构 简 单 且具有一定的空间分辨能力， 在托卡马克装置边界参数诊断方面
16、获得广泛应用，成为研究各种等离子体波和不稳定性、湍流及反常输运的重要手段。所谓的 简单 条 件是: ( 1 ) 无磁 场; ( 2 ) 等 离 子 体 是 稀薄的， 因 此其中 电 子、离子的平均自 由 程均远大于探针尺寸 ( 无 碰撞 近似) ; ( 3 ) 等离子体 密 度足够高， 使 得 形 成的 鞘 层厚 度 ( 几 个德 拜 长 度A lk 量 级) 远小于 探 针尺寸;( 4 ) 鞘层 外的 等离 子 体 基本上 不受 探 针干 扰， 电 子 和离子 速度 分 布 服从麦克 斯韦 分 布; ( 5 ) 探针 表 面的 二 次电 子 发 射可 忽略， 且打 到 探 针上的带电 粒子不与探针发生反应， 即探针是带电 粒子的理想吸收体。 在这些条件下， 可以 对探针的伏安特性曲 线作出简明的解释， 并得到被测物理量的一些简单的理论表达式。4 . 1单探针原理将一根与装置绝 缘的
