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1、!第十八章隐函数定理及其应用内容提要!一! 隐函数概念隐函数!“!#“ 是由方程$!#!“%“!# $ 9 )! # 求8! 8#%!(;%!%!72#2!#(;%!%;!;(“ # 求8! 8#8%! 8#%!%#%(!%!; #(#!求8! 8#8: 8#%!%“#2%! 3!“#!3%# 2!“(#!求,2 ,#,3 ,#,2 ,!#,3 ,!%!解之# 有8! 8#!;%# %!#8: 8#!; %: !%“ 将方程组中变量2#3均看作#!的函数# 分别对#!求偏导数#%2,2 ,#!,3 ,#!“2#,2 ,#%3,3 ,#./0!“%2,2 ,!,3 ,!3!“#,2 ,!%3,3
2、 ,!./0(#!“解之# 有,2 ,#!%3(2 !*2 3# !#,3 ,#!#%2%*2 3# !#,2 ,!%3%*2 3# !#,3 ,!%2(# 3 *2 3# ! 9 )#3! 3 0 )# 9 )#3! 3 0 )# 存在反函数组# 其主要条件为,!2#3“ ,!#!“#“ 因为2#!4 3 4%#2!4 5 ;#3#!4 3 4#4 5 ;#3!4 3 4#所以,!2#3“ ,!#!“!%4 3 4%#4 5 ;#!4 3 4#4 5 ;#4 3 4#!4 3 4%#! 3 0 )#5“ “5#5% %#!(!“故2#3可以用来作为曲线坐标 9 )#!33 0 )#得4 5
3、3#!23即#!9 : 4 4 5 323又!2; 9 )#!23 7 4%#!#!2# 4 5 3%#!#!23%2%!#!3%2!%因而#!9 : 4 4 5 323!3%2!./0%! 9 )#!3!33%2!%!# 3 0 )#所以,!#!“ ,!2#3“!#!4 5 3# !# ; 9 )# 3 0 )#!3 0 )#!# ,!2#3“ ,!#!“!小结!分别求出2#2!#3#3!% 再通过行列式的计算# 验证,!#!“ ,!2#3“与,!2#3“ ,!#!“互为倒数 )%,2 ,!小结!本题思路较为简单# 主要是找出分两步进行坐标变换这个突破口# 再分别证明即可%1(“ 上任一点处
4、的切线方程# 并证明这些切线被坐标轴所截取的 线段等长%故这些切线被坐标轴所截取的线段等长3 0 )%9#!3 0 )94 5 39#:!A4 5 3%9# 在点9!% *%!%“%#%( %# %#A!“%因为8# 89!%;3 0 )94 5 39#!8! 89!4 5 3%93 0 )%9#!8: 89!%A3 0 )94 5 39所以切向量为!# +%! “*#! +%! “*#: +%! “!“*!;#“#A“故切线方程为# ;(:A!#!%法平面方程为; #;!“%A :A!“%!“即; #A :!# %!;%A%“!%“ 设$!#!#:“!%#%( 9 )%( 9 )%(“:%交
5、线上任意一点 9 )%(“:%因为$#!%#$!%!#$:!%!; 9 )%(“: 所以锥面#%(!%!; 9 )%(“:%在点!#!#:“ 处切平面的法向量为“%!#!#!; 9 )%(“:“由“# 9 )%(“:%!“知“#6“% 故球面与锥面在交点处是正交的%(!%(:%A%!#在某一点相切! 即在该点有公共切平面“%(!% “ %(:% “ A%./0!#因为曲面# ! :!%(!%(:%A%!#在*“处切平面的法向量分别为“#!“:“#“:“#“!“!和!“%!%#“ ;%#%!“ %#%:“ A!“%且两曲面在*“处有公共切平面# 故它们的切平面法向量平行# 则#“ ;%!“:“!
6、“ %#“:“!:“ A%#“!“!9由#“!“:“!%!% “ %!:% “ A%即%!#! A ! ! !#,#, #非正常积分(F A“!#!“8!都收敛# 则它的值是#在+;#, 上取值的函数# 记为N!#“%.FA“!#!“8!#$+;#,#, 上的含参变量#的无穷限反常积分# 简称为含参量反常积分 9函数和I 9 11 9函数 0 : / 0 ) C“ 公式!存在!P“$!“#“ # 使得-!P.#“% %!PP! “7P 7!P“ # %P#P(“五! 欧拉积分的其他一些表达形式-!P“%.F“%#%P- #7-#%8#%P.F“#P- #7- #8#(“H!#0“% %“% 3
7、 0 )%0- #(4 5 3%- #(8(%.F“#- #!#.#“.08#%#“#- #.#0- #!#.#“.08#典型例题与解题技巧$ 例%!设“!9“ 当9(“时连续#, 上一致收敛对是9的单调函数#且+9+“!9“89对于是一致收敛的! 对可能的奇点9!“%“#%4 5 3! #8#!%8#%#- #/ 0 19 “#%.;!%8#%#- #R#R8#%#!%“因为二元函数#%4 5 3! #在矩形域Q%+“#%,S+-K#K, 上连续!K为任意正实数“ # 由定理# =#$!- F#. F“ # 存在K(“# 使#$+-K#K,/ )#8#!(;(“ %!%“#“4 5 3 /
8、)#!“#-#;/ )#8#!(;(“/ )#的连续性# 并注意;#!8!%#-#;/ )#/ )#因/ 0 1#“.8!#“%“#/ 0 1 #8!#“%“# 补充定义8!“%“#8!#“%“3 0 ) / )#!“#!8+,!8#令“!#!“%3 0 ) / )#!“#!#!“5#,上连续# 有3 0 ) / )#!“#!8+,!8#%;8!#“3 0 ) / )#!“#!8#%;8!.F“7-!. #“93 0 )989! 令#%7-9“%;# #.!#.!“%8!%9 : 4 ; 9 )!#.“-9 : 4 ; 9 )!#.;“!%“令8!#“%4 5 3 / )#!“#-#;/ )#
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10、而#;“!9.#.;.#.# !# !#-! :“!:“8:# 其中“!:“为可微函数# 求$# !#!“#,!;(“ 上一 致收敛%!#,!;(“上一致收敛%!-“在+“#,上不一致收敛%!*“#“/ )!# !“8!在# #+,!(#“ 上一致收敛%!#“8# #在!- F#,!5#“ 上一 致收敛#$!#. F“ #!$!- F#. F“ # 有!%-#%!#%.!%“%#$+;#, #!$+“#. F, !;(“有“57-#%!%!而.F“7-;%!8!%-# ;%7-;%!.F“%# ;%则.F“7-#%!8!在+;#, !;(“上一致收敛#$!;#“ #!$+“#. F“ # 有“
11、 !#而.F“7-; !8!收敛!;(“ # 故.F“#7-# !8!在+;#, !;(“上一致收敛#$# #+,!(#“ #;!$+“#,/ )# !% / )#./ )!7-# !8!%7-; #-7- #出发# 计算积分.F“7-; #-7- #8#!(;(“#,上一致收敛# 再进行计算 # 而.F“7-; #8#收敛# 故.F“7-# !8#在+;#,上一致收敛 #-7- #8#%.F“;7-# !8+,!8#%;.F“7-# !8+,#8!%;# !8!%/ ) ;-%#%-7-%#%#%8#提示$ 可利用公式.F“7-#%8#%!%!“%!%“.F“U-93 0 )# 9 989%
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13、89%!9 : 4 ; 9 )!-# %/ )!#.!%“ !=“-.F“%# !7-# !%8!能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解/!%“对#“8!.F“!%!-%# !% %;# 求.F“8# !#%.;%“/. #%“/. #则N/%# ;%.F“!#%.;%“-#%!#%.;%“/. #8#%# ;%N/- #-# ;%.F“#%!#%.;%“/. #8#%# ;%N/- #.# %;%“/.F“-# %/ ;%N/- #%/-# %/ ;%N/- #故N/ N/- #%/-# %/ ;%N/%N/ N/- #% %- %/- #-$#,S+A#. F“上连续非负函数#N!#“%.
14、F“!#!“8!在+;#,上连续# 证明N!#“在+;#,上一致收敛#,S+A#.F“ 上非负连续#则2/!#“=“# 且为+;#,上的连续函数# 且在+;#, 上收敛于连续函数N!#“ # 则由狄尼定理知#9F/%#2/!#“在+;#,上一致收敛# 则N!#“%.F;“!#!“8!在+;#,上一致收敛#, 上的连续且同号# 级数9F/%#2/!#“ 在+;#, 上收敛于连续函数N!#“ # 则9F/%#2/!#“在+;#,上一致收敛于N!#“#.F“S+A#J, 内成立不等式R“!#!“R$!#!“8#在!$+A#J, 上一致收敛# 证明.F;“!#!“8#在!$+A#J,上一致收敛且绝对收
15、敛$!#!“8#在+A#J,上一致收敛# 即证G%G#$!#!“8#R5#G#G%在+;#,上$!#!“8#在!$+A#J,上一致收敛#则对任给的#(“# 总存在T(A# 当G#G%(T时# 对一切!$+A#J, # 都有 G%G#$!#!“8#5#而G%G#“!#!“8#. #近似代替“!#“%#%# 试求;#使得积分. #-#%“%8#取最小值#“%. #-#%“%8# 则“;%*;.$-.F“3 0 )!#-;%“# #8#的不连续点# 并作函数$!;“的图象%“#的重要性# 全不连续点的种类有多种# 要全面考虑%(“!R;R5#“时$!;“%.F“3 0 )!#-;“%#!#-;%“#8+ !#-;%“#,9%!#-;%“ AAAAAAA#.F“3 0 )9 989% %!-“当#-;%5“!R;R(#“时$!;“%-.F“3 0 )!;%-#“# !;%-#“#8+ !;%-#“#,9%!;
