自动控制原理第二版课后答案第二章

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1、 第二章自动控制系统的数学模型2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化2-3 传递函数2-4 动态结构图2-5 系统的脉冲响应函数2-6 典型反馈系统传递函数返回主目录主要内容1基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。返回子目录26.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的

2、系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。3 分析和设计任何一个控制系统，首要任 务是建立系统的数学模型。 系统的数学模型是描述系统输入、输出 变量以及内部各变量之间关系的数学表 达式。 建立数学模型的方法分为解析法和实 验法4u解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并经实验验证。u实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等 ），根据系统或元件的输出响应，经过数据 处理而辨识出系统的数学模型。5总结： 解析方法适用于简单、典型、常见 的系统，而实验方法适用于复杂、非常见 的系统。实际上常常是把这两种方法结合 起来建立

3、数学模型更为有效。62-1 控制系统微分方程的建立基本步骤： 1. 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 2. 建立输入、输出量的动态联系 3. 消去中间变量 4. 标准化微分方程返回子目录7列写微分方程的一般方法 例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci8解：由基尔霍夫定律得:式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:令 （时间常数），则微分方程为：9 例2-2 设有一弹簧-质 量-阻尼动力系统如图 所示，当外力F(t)作用 于系统时，系统将产 生运动，试写出外力 F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧刚度为K， 阻尼器的阻尼系数为f

4、 ，质量块的质量为m 。10解：分析质量块m受力， 有 外力F 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力惯性力 由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。 将各力代入上等式，则得11式中：y质量块m的位移（m）；f阻尼系数（Ns/m)；K 弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化12T 称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了 mKf 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常 微分方程。令 ， 即 ， 则式 可写成1322 非线性微分方程的线性化 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。返回子目录14于是，建立的动态方程就是非线性微分

5、方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。对弱非线性关系的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死 区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影 响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。15在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系 函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非 线性），即小偏差线性化。16经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而

6、使问题大大简化。但对于如图（d）所示的 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。可得 ，简记为 。若非线性函数有两个自变量，如 ，则在 平衡点处可展成（忽略高次项） 17u叠加原理叠加原理含有两重意义，即可叠加性和均匀性（或 齐次性）。例2-3： 设线性微分方程式为若 时，方程有解 ，而 时 ，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则 显然，当 时，必存在解为 ，这就是可叠加性。18上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增 加若干倍，这就是叠加原理。若 时， 为

7、实数，则方程解为 ，这就是齐次性。1923 传递函数 u传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下，输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。返回子目录20这里，“初始条件为零”有两方面含义：u一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入 量及其各阶导数，在t= 时的值为零。u二指输入信号作用于系统之前系统是静止的， 即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。21一、传递函数的概念G(s)Ur(s )Uc(s)s(U)s(U)s(Grc=22一、传递函数的概念例2-4 求RC 网 络的传递函数23设任一系统或元件的微分方程如下：在零初始条件下对上式

8、进行拉氏变换则有24二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉 氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而 与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对 于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数 （可定义传递函数矩阵，见第九章）；n传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分 子，分母的阶次满足： 。25n传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数 。当 时， 所以 n 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之 对应。这将在第四章根轨迹中详述。n传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义

9、，而且容易实现。因为26三、典型元器件的传递函数1. 电位器 EUK272. 电位器电桥283.齿轮294. 电枢控制的直流电动机 J：电机转动惯量 f：粘性系数(1)304. 电枢控制的直流电动机 驱动力矩:负载力矩:干扰力矩(2)(3)(4)设 31四、典型环节 一个传递函数可以分解为若干个基本因 子的乘积，每个基本因子就称为典型环 节。常见的形式有：比例环节，传递函数为32积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中： ，T 为时间常数。33二阶振荡环节，传递函数为式中：T 为时间常数， 为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中： 为时间常数，

10、 为阻尼系数。此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为 ，该环节的传递函数为3424 动态结构图q动态结构图是一种数学模型，采 用它将更便于求传递函数，同时 能形象直观地表明输入信号在系 统或元件中的传递过程。返回子目录35一、动态结构图的概念q系统的动态结构图由若干基本符号构成。 构成动态结构图的基本符号有四种，即信 号线、传递方框、综合点和引出点。1.信号线 表示信号输入、输出的通道。箭头代 表信号传递的方向。362. 方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线， 方框内写入该输入、输出之间的传递函数 G(s)。373.综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符 号的输出量

11、即为诸信号的代数和，负信号需在信号线 的箭头附近标以负号。384. 引出点表示同一信号传输到几个地方。39二、动态结构图的基本连接形式1. 串联连接G1(s)G2(s)X(s )Y(s )方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输 出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称 为串联连接。402. 并联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s )两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形 式的连接称为并联连接。413. 反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接 。

12、G(s)R(s )C(s)H(s)42三、系统动态结构图的建立建立系统动态结构图的步骤：建立控制系统各元部件的微分方程，列写微分方程 时，注意相邻元件间的负载效应影响。对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，并作 出各元件的方框图。按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的方 框图连接起来，通常输入变量在左端，输出变量在右 端，便得到系统的动态结构图。43 以机电随动系统为例，如下图所示。三、系统动态结构图的建立E44n各信号之间关系 可用下列方程表 示：45系统各元部件的动态结构图46系统各元部件的动态结构图47系统各元部件的动态结构图48系统各元部件的动态结构图49系统各元部件的动态结构图

13、50系统各元部件的动态结构图)(smq sfJs +21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+151系统各元部件的动态结构图)(smq sfJs +21mC)(sMm52系统各元部件的动态结构图)(smq sfJs +21mC)(sMm53四、结构图的等效变换q思路：在保证信号传递关系不变的条件下，设法将原 结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入 量对输出量的一个方框。541. 串联结构的等效变换（） 串联结构图G1(s)G2(s)R(s )C(s )U(s )55 等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s )C(s )U(s )1. 串联结构的等效变换（）56 等效变

14、换证明推导G1(s)G2(s)R(s )C(s )U(s )1. 串联结构的等效变换（）57 串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s )C(s )U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以 合并为一个方框，合 并后方框的传递函数 等于两个方框传递函 数的乘积。1. 串联结构的等效变换（）582. 并联结构的等效变换 并联结构图C1(s) G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)592. 并联结构的等效变换 等 效 变 换 证 明 推 导C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s )C2(s)60等效变换证明推导 (1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)612. 并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s )C1(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s )C(s )两个并联的方框可 以合并为一个方框 ，合并后方框的传 递函数等于两个方 框传递函数的代数 和。623. 反馈结构的等效变换 反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s )C(s) = ?633.反馈结构的等效变换 等效变换证明推导G(s)R(s )C(s)H(s)B(s)E(s)643.反馈结构的等效变换 反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s )E(s)R(s)C(s)654. 综合点的移动（后移） 综合点