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1、考研数学知识点线性代数1第一讲第一讲 基本知识 二矩阵和向量基本知识 二矩阵和向量1线性运算与转置线性运算与转置 ABBA+=+()()CBACBA+=+()cBcABAc+=+ ()dAcAAdc+=+()()AcddAc= 00=ccA或0=A。向量组的线性组合 s,21，ssccc+2211。 转置 A的转置TA（或A）()AATT=()TTTBABA=()()TTAccA=。3n阶矩阵阶矩阵 n行、n列的矩阵。 对角线，其上元素的行标、列标相等,2211aa对角矩阵 *000*000*数量矩阵E3300030003= 单位矩阵IE或 100010001上（下）三角矩阵 *00*0*对称
2、矩阵AAT=。 反对称矩阵AAT=。 三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵三矩阵的初等变换，阶梯形矩阵初等变换分 初等列变换初等行变换三类初等行变换 交换两行的上下位置 BA 用非零常数c乘某一行。 把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵34120100000320001521002014 如果有零行，则都在下面。各非零行的第一个非0元素的列号自上而下严格 单调上升。或各行左边连续出现的0的个数自上而下严格单调 上升，直到全为0。 台角：各非零行第一个非0元素所在位置。 简单阶梯形矩阵：3台角位置的元素都为台角位置的元素都为 1 4台角正上方的元素都为台角正上方的元素都为 0。 每个矩阵都可
3、用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单 阶梯形矩阵。如果A是一个n阶矩阵 A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵，反之不一定， 如100010100是上三角，但非阶梯形四线性方程组的矩阵消元法四线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 三种同解变换： 交换两个方程的上下位置。用一个非0数c乘某一个方程。 把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映 在增广矩阵上就是三种初等行变换。考研数学知识点线性代数2矩阵消元法：写出增广矩阵()A，用初等行变换化()A为阶梯形矩阵()B。用()B判别解的情况。i）如果()B最下面的非零行为()d0 , 0 ，则无解，否则有解。ii）如果有解，记是()B的非零行数
4、，则n= 时唯一解。 n，则s,21一定相关。0=Ax的方程个数， 则t,1一定线性相关。记()sA,1=，()tB,1=，则存在ts矩阵C，使得 ACB =。 0=Cx有s个方程，t个未知数，ts |唯一解()( )nAA=|无穷多解()( )nAA的特征值检查。 推论：如果A有n个不同的特征值，则A一定可对角 化。对角化的实现（可逆矩阵U的构造） ： 对每个特征值i，求出()0=xAEi的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，n,1。令()nU,21=，则=nAUU000000000000211 ，其中i为i的特征值。第七讲第七讲 二次型（实二次型） 一基本概念二次型（
5、实二次型） 一基本概念1二次型及其矩阵二次型及其矩阵 二次型是多个变量的二次齐次多项式函数。如()3231212 32 22 132156423,xxxxxxxxxxxxf+=是一个三元二次型，它的每一项都是二次，或是一个变量 的平方，称为平方项或是两个不同变量的乘积，称为交叉 项。一个n元二次型的一般形式为 ()ji jiijniiiinxxaxaxxxfnxxxf。例如，标准二次型()22 222 1121,nnnxdxdxdxxxf+=正定0id，ni, 1=（必要性“” ，取11=x，02=xxx，此时()00 , 0 , 11= df同样可证每个0id）实对称矩阵正定即二次型AxxT
6、正定，也就是：当0x时，0AxxT。 考研数学知识点线性代数两个向量 , 如果内积为 0： ,()= 0 ，称它们是 19例 如 实 对 角 矩 阵n00000000 0000 21正 定0 i，ni, 1=2性质与判别性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性。()nxxxf,21变为()nyyyg,21， 则它们同时正定或同时不正定。BA，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT=。如果A正定，则对每个0x()0=ACxCxACxCxBxxTTTT（C可逆，0x，0Cx！ ） 我们给出关于正定的以下性质。A正定EA存在实可逆矩阵C，CCAT=。 A的正惯性指数n=。 A的特征值全大于0。
7、A的每个顺序主子式全大于0。 设A是一个n阶矩阵，记rA是A的西北角的r阶小方阵，称rA为A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式） 。 判断A正定的三种方法： 顺序主子式法。 特征值法。 定义法。附录一附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化以下谈到的向量，矩阵都是在实数的范围中心，而向 量的分量都是实数，矩阵的元素也都是实数。一向量的内积一向量的内积1定义定义 两个n维实向量,的内积是一个数，记作(),，规定为它们对应分量乘积之和。设=nnbbbaaa2121,，则()nnbababa+=2211,T= 2性质性质 对称性：()(),=双线性性质：()()
8、 (),2121+=+()() ()2121,+=+()()()ccc,=正交性：()0,，且()00,=() =niia12,3长度与正交 3长度与正交 向量的长度() =niia12,00=cc=单位向量：长度为1的向量001， 010，22022， 若0，则是单位向量，称为的单位化。11=考研数学知识点线性代数20正交的。如果n维向量组s,21两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。二正交矩阵二正交矩阵一个实n阶矩阵A如果满足EAAT=，就称为正交矩阵。1=AAT 定理 A是正交矩阵A的行向量组是单位正交向 量组。A的列向量组是单位正交向量组。 证：设()naA,21=，则
9、()() ()()=2 12 2121212 1,nnnTAA于是nTEAA,21=是单位正交向量组。三施密特正交化方法三施密特正交化方法 这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位 正交向量组的方法。c=12设321,线性无关 正交化：令11= () ()1 1121 22,=（设122k=，()()()111212,k=当() ()1112 , =k时，12,正交。 ）() ()() ()2 2232 1 1131 33, ,=单位化：令11 1=，22 2=，33 3=则321,是与321,等价的单位正交向量组。四实对称矩阵的对角化 四实对称矩阵的对角化 设A是一个实的对称矩阵，则
10、A的每个特征值都是实数。对每个特征值，重数()AErn=。即A可以对角化。 属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵Q，使得AQQ1是对角矩阵。对每个特征值，找()0=xAE的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 附录二附录二 向量空间向量空间1n维向量空间及其子空间维向量空间及其子空间 记为nR由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为 n维向量空间。 设V是nR的一个子集，如果它满足 （1）当21,都属于V时，21+也属于V。（2） 对V的每个元素和任何实数c，c也在V中。 则称V为nR的一个子空间。 例如n元齐次方程组0=AX的全部解构成nR的一个子空间，称为0=AX的解空间。 但是非齐次方程组=AX的全部解则不构成nR的子空间。对于nR中的一组元素s,21，记它们的全部线性组合的集合为()任意isssccccL+=221121,， 它
