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1、1第2章静电场本章内容：1.静电场的基本方程2 泊松方程及唯一性定理2.泊松方程及唯性定理3.静电场的边界条件4.恒定电场5.静电场的能量和力一、电场与库仑定律1. 库仑定律：真空中电荷q1、q2分别位于P(x,y,z)和P(x,y,z)处， 即、处，q2对q1的电场力( )P r( )P r 121212 123200()1 44q q rrq q eFRrr （：源点指向场点的单位矢量，有些资料上用）2 04RqEeR Re 不论将q1放在何处，都将受到q2对它的电场力作用，即q在 任意点产生的电场2.电场：空间所有点上电场强度的集合就构成了电场，注意 矢量与矢量符号。Ra 3.静电场的求
2、解方法a.应用场的叠加原理求电场离散电荷：()1 340iiirE irqrr 线电荷分布：线密度：面电荷分布：面密度：30()14lrrEdl rr 0limllq l 301() 4rrEds rr 0lim sq s 体电荷分布：体密度： 3001()11( ) ()44RrrEdrdeRrr 0limq Rrr 331rrR RRrr 局限性：只能求解一些较简单的问题。有些计算很复杂 eg 2. 2 P37-38注意：注意：有体电荷分布未必有面电荷分布，有面电荷分 布时也未必有体电荷分布。二者是相互独立的概念， 不要混淆。P37：例2.2 有限长直线电荷的电场cos=(z-z)r2+(
3、z-z)2-1/2注意书上的更正2矢量积分公式分解为两个标量积分，它们分别为因为cos=(z-z)r2+(z-z)2-1/2因为所以注：第一次印刷的分母上r2后减号应改为加号，第二次印刷已更正 12 0coscos 4l rErr 2213 2222001sinsin44lll zlzz dzErrzz r例：真空中一个带电导体球，半径为a，所带电量为Q，试计算 球内外的电场。22 30001()sin4dadRRE其中球面积元2因不同角的面元解：导体的电荷分布于导体的表面上，孤立导体球的电荷必定 均匀分布于球面上，电荷面密度=Q/(4a2)=常量。采用球坐标 系，令极轴通过场点P，如下图所示
4、。P点处的电场为注：dS=r2sindd其中球面积元dS=a2sindd，因不同角的面元 点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方向，即ez方向， 故矢量求积分时仅取dE的z分量积分，dEz=dEcos，为上式是右图中球面上法线方向与极轴成角的带 状面元在P点产生的电场。 22220000cossincoscos22aaE rddRR由于cos=(R2+r2-a2)/(2rR)，cos=(a2+r2-R2)/(2ar)， d(-cos)=(R/ar)dR，所以22222222 0000(1)444r ar araaraaraaQE( )dRRrarRrRrr rra对于ra ra4.电偶极子 P36
5、 eg 2.1 讲明电偶极子的概念，重点是掌握矢量分析方法。例题例题2.1 真空中有一电偶极子，如右图所 示，电偶极子是由一对点电荷组成，一个 是正电荷 ，另一个是负电荷 ，正负点电荷 之间的距离非常小，是一段微分线元l，试 求电偶极子在远处产生的场强。 解解：选用球坐标系，点电荷的场强为1qqR电偶极子在p点产生的场强为：23 001( )44Rqq RRRE r e014q R 011( ) (2.37)4q rr E r 其中1/2222cos, rrlrllr2 1/21131 11281xxx x 1/21/221111cos1 2 cos2cos1l rrrlrrlr利用级数展开式
6、可以写出定义p=ql为电偶极子的电矩矢量，方向规定为由q指向q。则1rr 233 000coscossin() 2.38424rqlqlql rrr E ree 333 0001cossin() 2.39424rpp rrr p rE ree把上式代入（2.37）式可得3二、静电场中的物质：1.静电平衡时导体的电特性：a.导体内的场强处处为零b.导体内电位处处相等是等位体，导体表面是等位面导体内无净余电荷电荷只分布在导体表面孤立导体电c.导体内无净余电荷，电荷只分布在导体表面，孤立导体电荷分布与导体曲率成正比d.导体表面附近(很近)场强的方向垂直于导体表面，大小为，为该点的电荷面密度。可简单证
7、明0nEe 说明关于导体的一些说法： 导体是拥有大量自由电子的物质，并且认为：自由电子 a.与核是松散联系的 b.通过导体能自由漂移 c.对几乎是无穷小的电场有反应 d.只要它受到力就能连续运动2.静电场中的电介质：复习分类： 有极分子：分子内等效正负电荷中心不重合的电介质无极分子：分子内等效正负电荷中心重合的电介质原子类电介质：原子核外的电子云在外电场的作用下可发生位移极化：电介质在外电场的作用下形成电偶极子的现象称为极化极化：电介质在外电场的作用下形成电偶极子的现象称为极化。三种极化方式：有极分子取向整齐化，无极分子出现偶极矩，原子类分子电子云发生位移，出现偶极矩。pql 0limpP 电
8、偶极子的电偶极矩称为分子电矩，即极化强度：(a) (b) 介质极化模型图 关于极化的几个动画电磁场与电磁波（谢处方第三版） P56图3.8.1 见上页 穿出某面S的束缚电荷量为: 束缚电荷面密度：体密度：P dsP nds pP n P dsPd pP P E0ePE 与 的关系：| 各向同性线性介质e为常数|PE各向同性线性介质：各向异性线性介质: e为矩阵（张量）1112130212223313233xxeeeyeeeyeeezzPEPEPE 0000erDEPEEE 三、电通密度（电位移）与高斯定理1.electric flux density 真空中 介质中单位：c/m2 从点电荷场出
9、发说明高斯定理0DEDE 从点电荷场出发说明高斯定理2真空中的高斯定理：意义说明0sqD ds q 在闭合面内 q 在闭合面外下面说明定理的意义4立体角的概念： 球面上面元ds与球心可构成一个锥体ds/R2=d 整个球面4；球面上任意dsds/R2=d22cosrds edsdRR 非球面：投影到外球面：无界真空中点电荷电场表达式：2 01 4rqeER24rSedsqD dsRq在闭合面内q在闭合面外4 004SqqD ds说明为什么q在闭合面外积分为零。P点在封闭面内的情况ppP点在封闭面外的情况ppP点在封闭面外的情况pp推广：多个点电荷时可写为闭合面包围的总电荷连续电荷分布时可写作积分
10、：iSiD dsqSD dsd 强调：强调：这是自由自由电荷.如果将积分式中的电位移改为电场强度，等号右边的电荷应该不应该再加上极化电荷？先思考，后面会有答案。由散度定理或数学上的高斯定理： （为S面所围体积）SD dsDd SD dsDdd 故：取极限0， 即所构成的闭曲面内的体积极小，趋于零时( )( )D 即：空间任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度.即：空间任一点电位移矢量的散度等于该点自由电荷体密度.所以( )( )D rr 积分式描述了宏观性质(整体性)微分式：局部性(任意点)SD dsd ( )( )D rr 53.介质中的高斯定理： 介质在电场中被极化，出现分子电矩。分
11、子电矩产生次级 电场叠加于原电场之上，对原电场产生影响。所以(其中为自由电荷为极化电荷)0()spE0ePE (其中s为自由电荷，p为极化电荷)0()sP 0()ssEPD sD dsd 与真空中的形式相同电位移矢量的散度等于自由电荷体密度自由电荷体密度，这里已包含了极化电荷的影响. 真空中是因为真空中(无极化)，所以利用0/sE 0P sD sD dsd 比利用方便，它直接包含了极化对场的影响。 电场基本方程D EDED dsq 介质本构关系sD电场强度的又一种求解方法：(方法b)应用范围：电位移具有面、球、柱对称性时，可用高斯定理求解(1). 无限大均匀分布带电平面：（D、E均为面对称）做
12、底面平行于带电平面并包含带电平面的极扁圆柱(立方体也行，要便于积分)，由于底面，故D11222D dsD dsDdsDSS 所以2D 00(0)202zze zE ez (2)球对称时作球形高斯面，柱对称时作柱形高斯面eg2. 2 及后面一例 题（自己再思考） P32-34 为何与导体性质d 结果不同?三.静电场的旋度与环路定理：仍由真空中点电荷电场导出把q放在原点，即则，所以2 01 4RqEeR 2 04ReqER 2iireee 0r Rr 球坐标系下 见P344附 22 00sinsin044 sinrrrrr qeqErr ErErE 录3，这里 E=E=0， Er=1/r2也可以用31R RR 2 001044rqeqErr 因为四. 静电场基本方程： 积分式微分式0E由Stokes定理：0lsE dlE ds因此，静电场是无旋场。 0sD dsdE dl 0DEDE
