《数值分析第三章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析第三章课件（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章 常微分方程数值解3.1 欧拉方法欧拉方法3.2 龙格龙格-库塔方法库塔方法3.4 收敛性与稳定性收敛性与稳定性3.3 亚当姆斯方法亚当姆斯方法3.5 方程组和高阶方程方程组和高阶方程2本章要点： 本章主要研究常微分方程的定解问题。 这类问题最简单的形式是：这也是本章研究的重点。线性单步法：Euler方法、Simpson方法、 Runge-Kutta方法线性多步法：Adams方法yxyyxfy00)(),(主要求解方法有：3差分方法是一类重要的数值解法 。这类方法 是寻求一系列离散节点上的近似解通常采用“步进式”方法。即：差分方法xxxn21,21yyynyyyn2143.1 欧拉方法
2、欧拉方法在工程和科学技术的实际问题中在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程常需要求解微分方程.只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程在高等数学中我们见过以下常微分方程： 0)(),(yaybxayxfy )(,)(),(0ayyaybxayyxfy-(1)-(2)5 nybyyaybxayyxfy)(,)(),(0-(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题 2002212210012111 )(),()(),(
3、yxyyyxfyyxyyyxfy-(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件6条件，即满足：如果定理Lipschitzyxf),(1，均有使得正数,baxL|),(),(|2121yyLyxfyxf的解存在且唯一则初值问题)1(对于问题对于问题(1),要求它的数值解要求它的数值解)(,)(节点上的一系列离散点在区间就是求未知函数baxybxxxxan210),2 , 1()(nkyxykk的近似值上函数值的数值解就是问题而)1(),2 , 1(nkyk7 0)(),(yaybxayx
4、fy从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于数值计算问题)(xy因此，数值解法的第一步就是设法消去其导数项， 这项手续称为离散化。由于差分是微分的近似运 算，实现离散化的基本途径是用差商近似代替导数。8一一、 欧拉格式欧拉格式若在节点列出方程若在节点列出方程(1)：并用差商并用差商代替其中的导数项代替其中的导数项，结果为结果为：bxxxxan210为了讨论方便为了讨论方便,假设以下节点为等距节点假设以下节点为等距节点khaxnabhk,)(,()(xyxfxynnnhxyxynn)()(1)(xyn)(,()()(1xyxhfxyxynnnn9用用的近似值的近似值代入上式右端代入上式右
5、端，并记结并记结 果为果为，导出一个计算公式为导出一个计算公式为：这就是欧拉这就是欧拉（Euler）格式格式。)(xynynyn 12 , 1 , 0 , ),(1nyxhfyynnnn定义1：设为准确的，即在的前提下估计误差。这种误差称为局部截断误差。yn)(xyynnyxynn11)(定义2：如果一种数值方法的局部截断误差为，则称该方法具有阶精度。)(1hopp10)(xyynn)( )( )(,()( 1xyhxyxyxhfxyynnnnnnxxyxyhxyxynnh nnn1 )(22 1)()()()(2211 )(yyxyh nn对于欧拉格式对于欧拉格式，假设假设则有则有：按泰勒展
6、开有按泰勒展开有：从而有从而有：这说明欧拉格式是一阶方法这说明欧拉格式是一阶方法。11二二、 隐式欧拉格式隐式欧拉格式若用向后差商代替方程中的导数项，再进行离散化，可导出公式：称为隐式欧拉格式。它也是一阶方法。hxyxynn)()(1)(,()(111xyxfxynnn)(1xyn),(111yxhfyynnnn12三三、 两步欧拉格式两步欧拉格式为了改善精度为了改善精度，用中心差商用中心差商代替代替方程方程中的导数项中的导数项。再进行离散化再进行离散化，可导出公式可导出公式：称为欧拉两步格式称为欧拉两步格式。显然显然，欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法欧拉格式和隐式欧拉格式都是单步法。易证易证
7、，欧拉两步格式是二阶方法欧拉两步格式是二阶方法。)()(1121xyxynnh)(,()(xyxfxynnn)(xyn),(211yxhfyynnnn13将将方程方程的两端从的两端从到到求积分得求积分得：显然显然，只要计算出只要计算出的近似值的近似值，就可得到就可得到的近似值的近似值。例如例如，用矩形法用矩形法：代入代入（5）式有式有：离散化即得欧拉格式离散化即得欧拉格式。四四、 梯形格式梯形格式),(yxfy xn 1xndxx xxyxfxyxynnnn1)(,()()(1dxx xxyxfnn1)(,()(1xyn)(,()(,(1xyxhfdxx xxyxfnnnn（5）)(,()()
8、(1xyxhfxyxynnnn14为了提高精度为了提高精度，采用梯形法计算积分采用梯形法计算积分：再代入再代入（5）式有式有：离散化就可得到离散化就可得到：称为梯形格式称为梯形格式。)(,()(,(2)(,(111xyxfxyxfhdxx xxyxfnnnnnn)(,()(,(2)()(111xyxfxyxfhxyxynnnnnn),( ),(2111yxfyxfhyynnnnnn15欧拉欧拉格式是一种显式格式格式是一种显式格式，计算量小计算量小，但精度很低但精度很低。梯形格式虽然精度高梯形格式虽然精度高，但它是一种隐式格式但它是一种隐式格式，计算复杂计算复杂 且计算量大且计算量大。五五、 改
9、进的欧拉格式改进的欧拉格式综合两种方法综合两种方法。先用欧拉格式求一个初步的近似先用欧拉格式求一个初步的近似 值值，称为预报值称为预报值；再代入梯形格式的右端计算再代入梯形格式的右端计算 出一个新值出一个新值，称为校正值称为校正值。这样就构造了一个这样就构造了一个 预报预报校正系统校正系统：yn 1 yn 1)y,(),(2y ),(y 1n111nxfyxfhyyxhfynnnnnnnn校正：预报： 改进的欧拉格式改进的欧拉格式16其其嵌套形式是嵌套形式是：平均化形式是平均化形式是：),(,(),(2y11yxhfyxfyxfhynnnnnnnn )(),(),(21 11yyyyxhfyy
10、yxhfyycpnpnncnnnp17例1.格式求解初值问题用Euler1)0(102yxyxyy解:yxyyxf2),(显然1, 1,10, 000ybnax由Euler格式),(1nnnnyxhfyymn, 2 , 1)2(nn nnyxyhy1 . 0h取1800.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8得得:)2(00 001yxyhyy1 . 1)1021( 1 . 01)2(11 112yxyhyy1918. 1)1 . 1 1 . 021 . 1( 1 . 01 . 1依此类推有,yx00.10.20.30.40.50
11、.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8前进Euler公 式 精确 解 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.784819用改进的Euler公式(预测校正系统)求解例1.例2.解:)2(00 001yxyhyy1 . 1)1021( 1 . 01)2(11 101yxyhyy0918. 1)1 . 1 1 . 02
12、1 . 1( 1 . 01)2(11 112yxyhyy1827. 1)0918. 11 . 020918. 1( 1 . 00918. 1)2(22 212yxyhyy1763. 1)1827. 12 . 021827. 1( 1 . 00918. 120依此类推,得0 1.0000 0.1000 1.0918 0.2000 1.1763 0.3000 1.2546 0.4000 1.3278 0.5000 1.3964 0.6000 1.4609 0.7000 1.5216 0.8000 1.5786 0.9000 1.6321 1.0000 1.6819,yx比较不同的结果00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8前 进Euler公式改进Euler公式精 确值校正系统预测
