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1、构造法在解数学竞赛题中的运用(二)何 念 如 陈 艳(华中师范大学数学与统计学院,430079)文1已从5个方面介绍了构造法在解 数学赛题中的运用,本文再介绍4个方面.1 构造解析几何模型例1 已知a、b、c0 ,且a2+ab+b23= 25 ,b23+c2= 9 ,a2+aba2+ac+c2=16.试求ab+ 2bc+ 3ac的值. 分析:此题直接求解不易.观察方程组右 边的数是一组勾股数,故可表示成一个直角 三角形的三边,有两边互相垂直,于是,可建 立平面直角坐标系,由直线的垂直关系和点 到直线的距离来求解.图1解:建立如图1 所示的直角坐标系.则A-3 3b,c,B3 2a,a+ 2c
2、2.有OA= 3 ,OB=3 4a2+a2+ 4ac+ 4c24=a2+ac+c2=4 , AB=5 ,OA2+OB2=AB2. 故 ABC是直角三角形.又直线OA的方程为3 3by+cx= 0 ,且OAOB,所以,点B到OA的距离为3 3ba+2c 2+c32a3 3b2 +c2= 4 =|ab+ 2bc+ 3ac| 2 33.因此,ab+ 2bc+ 3ac= 24 3.2 构造对应关系例2 在给定的圆周上取定n(n6)个 点,每两点间连一条线段,其中任意三条线段 在圆内都不共点.求这些线段确定的且顶点 在圆内的三角形的个数. 分析:在圆周上任取6点,顺次间隔两个 点连线得到的三条线段总可以
3、在圆内组成一 个三角形(任意三条线段在圆内都不共点) ,即确定6个点也就确定一个三角形;反之,在 圆内的一个三角形延长它的三边总可以和圆 相交于6个点,也就是说一个确定的三角形 和圆上的6个点的一种取法是对应的,也即 6个点的取法组成的集合和圆内的三角形组 成的集合的个数是相等的.因此,可以在这两 个集合之间构造对应关系,把不能直接计算 个数的三角形集合转化成能计算个数的6个 点的取法组成的集合,使问题得以解决. 解:设符合题意的所有三角形的集合为A,A1A2A3A,延长 A1A2A3的三边交图2圆周于点B1、B2、B3、B4、B5、B6(如图2) .设从n个给定的点中任 意取6个点的所有取法
4、 的集合为B,|B| = C6 n, 则6个点B1、B2、B3、B4、B5、B6就确定了一种取法B. 建立A到B的映射: 设 A1A2A3A,令112005年第9期(A1A2A3) =.易看出,对不同的 A1A2A3A,按上述方法所确定的6点组B1,B2,B3,B4,B5,B6也不同,从而,(A1A2A3)也不同,即是单射; 设取法B,则可按取法在圆周上 确定按逆时针顺序排列的6个点B1、B2、B3、B4、B5、B6,联结B1B4、B2B5、B3B6便得到A1A2A3A,即(A1A2A3) =,故是满射. 所以,是双射. 因此,有|A| = |B| = C6 n.3 构造抽屉例3 世界上任意6
5、个人中至少存在3 个人或是互不认识或是互相认识. 这就是著名的拉姆赛(Ramsey)问题. 抽屉原理又叫鸽巢原理,它是组合数学 中适用于计数的原理之一. 分析:要构造 “抽屉”,首先要确定应对哪 些元素进行分类,然后再找出分类的规律.此 题中的6个人是任意的,就像 “鸽子”,他们的区别只在于认识或不认识这两种关系,并且 问题的结论是存在性的,故可以构造 “鸽巢” (抽屉) .注意到对于6个人中的任何一个人A来说,除A以外的5个人可分为两类,一类是与A相识的人,另一类是与A不相识的 人.如用F来表示其余5个人中与A相识的 人的集合,用S表示其余5个人中与A不相 识的人的集合,得抽屉F、S,再利用
6、抽屉原 理来证明. 证明:设其余5个人中与A相识的人组 成的集合为F,与A不相识的人组成的集合 为S.根据抽屉原理,F、S中至少有一个集合 有3个人,不妨设为F.若F中的3个人B、C、D彼此不相识, 则命题为真;否则有2个人互相认识,不妨设 为B、C,则连同A有3个人互相认识,则命 题也真.如果S中有3个人,设为L、M、N.若他 们互相认识,则命题为真;否则有2个人互不 相识,设为L、M,连同A有3个人互不相识, 则命题也真. 注:本题还可以用6个点来表示6个人, 互相认识的两点之间用红线相连,互相不认 识的两点用蓝线相连,可以证明这15条线段 中必有3条组成同色三角形.这是拉姆赛问 题的另一
7、种表示方式,拉姆赛问题是一个很 重要的命题,一些存在性问题都可以利用它 得以解决.4 构造问题的辅助命题2例4 设数列a0,a1,a2, 满足条件a0=1 2,ak+1=ak+1 na2 k(k=0 ,1 ,2 ,) ,其中n是某个固定的自然数.求证:1 -1 nn+1 2n-N+ 31 +1 nn+ 1 2n-N+ 3n+ 1 2n-N+ 2,且 aN=aN- 1+1 na2 N- 1n 2n-N+ 11 +1 2n-N+ 1n 2n-N.故n+ 1 2n-N+ 2aNn 2n-N.综上所述,式 对任意正整数k均成 立. 因此,原命题成立.参考文献:1 何念如,陈 艳.构造法在解数学竞赛题中的运用(一) J .中等数学,2005(8) .2 黄 翔.数学方法论选论M.重庆:重庆大学出版社,1995 ,4.
