《零件参数设计(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《零件参数设计(1)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第卷 第期年月数学的实践与认识零件的参数设计何华海李江滔束礼宝指导教师薛剑耿中国利技大学,合肥编者按本文深入分析了零件参数设计中的优化间题,将其归结为一个有约束的非线性规划间题,并提出“分两步走”的策略来简化间题采用了蒙特卡罗方法模拟和线性近似计算了总体参数的最优解从实用角度文章又引人了一个目标函数使得整个处理大大简化本文又引滇型的检验也有特色,一方面用拟合优度检验了是否服从正态的检也很有特色,另一方面健岁寸分两步走策略的有效性进行了检验摘要本文又博件参数设计间题提出了有效的算法,零件参数设计可以归结为在一定约束条件下求总费用成本和质量损失的总和最小的一个非线性规划间题,我们采用分两步走的策略
2、来简化间题,即首先选定零件参数的标定值,再在此基础上选取零件容差等级设计的总费用是由的具体分布所决定的我们采用了两种仿法来计算的概率分布一种是用蒙特卡罗方法来模拟,另一种是将的经验公式作线性近似,得到,近化切及从正态分布 我们又引入了函数侧,一幻以此作为新的目标函数对间题进行简化又引莫型的求解,我们采用了梯度法来搜索目标函数在限定区域内的最优解,得到相应的总费用单件产品为元,远低于原设计方案的兀通过检验,我们发现通过线性近似得到夕服从正态分布的结论是基本可靠的,分两步走策略也是合理、有效的最后我们还讨论了当质量损失函数为连续恃例为抛物线时的情形一、问题的提出略二、模型的假设各个零件的参数二,二
3、是互相独立的正态分布随机变量,标定值在容许范围内都可以取,并且在此范围内、是二阶可导的产量。是大数,可以用各种概率上的极限定理所有零件的均方差都是其容差的三分之一。个产品中,每个产品都用相同等级的零件。假设产品当,时为正品,此时无质量损失当,少或三,夕为次品,损失元当,少卫或,乡时为废品,损失元三、符号约定介协,二二,、或、记,山,二,军。或。,了歹军、舞零件参数,苏二,二,二,零件参数的标定值,杯拜,拜,拼,零件参数的均方差,二标定值的上下界,产品性能的参数,的目标值,。,产品参数的均方差,的概率密度函数,单件产品,偏离梦。造成的损失第个零件选取容差为箫时的成本期何华海等零件的参数设计四、问
4、题的分析单件产品的费用包括两部分一是七个零件的总成本,二是由产品性能参数,偏离目标值,。而造成的损失零件的成本是由零件的容差等级决定的,对于大批产品,偏离,。而造成的损失则由的具体分布决定,而,的分布又取决于各零件的标定值和容差等级因此,原问题归结为在一定约束条件下求某目标函数的最小值的一个非线性规划问题这里的目标函数就是零件参数设计的总费用,而约束条件则是各零件标定值的容许范围和可能的容差等级由于容差等级和零件参数标定值是结合在州崎起决定总费用,因此,为求得总费用的最小值,必须将两者结合起来考虑由于七个零件容差等级选取总共可以有、灼”种,使间题变得很复杂为简便起见,求解这个非线性规划问题时,
5、我们可以分两步来考虑首先固定各零件容差等级对应固定零件参数的方差和成本,选择零件参数标定值使得损失质量最小然后在此基础上,固定各零件参数标定值,在所有容差等级选取方法共种 中选取使得成本最小的配置这种分两布走的方法虽然并不完全等价于原来的非线性规划,但它却可以是问题大大简化实际上,这也是工业卜采用的零件参数设计的搬方法 我们假设了七个零件参数二 、仁,是互相独立的正态分布随机变量产品的性能参数由这些零件参数所决定,但是由于,的经验公式很复杂,我们无法解析地给出的具体分布一种处理的方法是采用蒙特卡罗方法,通过计算机模拟来获得,的分布另夕日包可通过对的经验公式作某种近似如线性化等,以期能解析地给出
6、的近似分布五、模型的建立目标函数我们的目标函数是总的费用尸,它包含两项,质量损失和零件成本,即尸二十对于大批产品的平均质量损失,有习七,。,其中,为,的概率密度函数,或,为单件产品参数,偏离,。造成的损失函我们假设了。,呈阶梯状,也就是说产品当,时为正品,此时无质量损失当妊或三,为次品,损失元当“工或三,时为废品,损失元二、 、刀了矛子,、广了、 龟才尹厂,“,。左十关,己十。 。关 关、。”一”厂关, 一”关刃勿因此单个产品的成本为各个零件的成本总和,。等绍沙寸应的成本。,一,、。,其中,。、,“第种零件容差为我们的目标是使总费用最小,即求解如下非线性规划问题内三五并十拼,户,二户、三或或,
7、乞,数学的实践与认识卷根据我们前面提出的两步走策略,这个问题可以分解为以下两个子问题坛户,户,三。三氏,卫给定,二。沈玉户短户坛十二,。,或或,依次求解几和几后,可得到近似的最优解,其中求解时给定一组淤,而求解,时则使用尸给出的一组标定值目标函数的求值蒙特卡罗方法 如果给定产,。一,则的分布是一定的,但是,由于的经验公式很复杂,我们难以给出解析形式而求目标函数值又必须要用到。的函数值一种方法是使用蒙特卡罗法,借助于计算机的伪随机数模拟去近似了川由计算机可直接得到叭。,再用舍取法产生标准正态分布,由,经过变换即可得到一般正态分布 州。,从而可模拟二,二,二,这七个两两独立的正态分布的随机变量每模
8、拟一次,都可根据、的经验公式得到。的一个样本知道了大量的的样本,自然很容易求出了,来,从而可以得到目标函数值线性近似 由于每求一次目标函数值都需用蒙特卡罗法模拟,的分布,这样运算量便很大一种简单的方法是用解析的形式给出,的近似分布,对,在,处作泰勒展开,近似到一阶,得到的近似表达式她,。,。卜艺口,二,二口户可见,已被近似为零件参数的线性组合由于二、是相互独立的正态分布随机变量,概率知识容易知道,是服从均值为。,方差为弓的正态分布随机变量,其中。一,户,叫,、一鑫、于是,的概率密度函数为了,、 才、占一夕尸产吸 吸一二二二二二二七、口、护了、,开 ,一一口惬月 ,口乡从而质量损失石 一“ ”一
9、。架一呵三宁十,今丝一八念一豁其中到幻期何华海等零件的参数设计新的目标函数从总费用的表达式可以看出,只要尽可能地分布于。周围,则可以使尸和 到,尽可能地大,从而使总费用最低 基于这种考虑,我们提出了一个新的目标函数侧,一,。,并在原有约束下求此目标函数的最小值刃一。,一。刀。一加“,刃、一,。类似于线性模型 万一小歌勺,一因此勿一如,二,十切、一。这样问题就转化为在给定约束条件下,求上式的最小值六、模型求解子问题尸的求解我们的目的是使目标函数从。,。最小化这是一个有约束、,少、,沁,的非线性规划问题我们使用梯度算法来求得极值并假设在约束范围内有极值且可由一组初始值求得所谓梯度法就是逐点确定寻优
10、方向,再通过一维寻优确定步长的求解多维无约束非线性规划间题的方法为了使拭。,。最小,我们列出主要步骤如下给定一初始值川与精度。若,。口”三则停止,并求出最小值杯一口“否则转由。声“一久二、口求得,并令杯”厅“一、。声“,令、转入对子问题的求解给出的极值点就是我们选择的标定值对尸,子间题的求解在选定标定值的基础上,我们从所有可能的容差选择方式 共种 中选取使总费用最低的一种或几种 作为我们的设计的容差等级由于零件的容差也影响,的质量必须综合考虑零件标定值和容差,并一起调整使之最优但是若每次都穷举容差的话,会计算复杂度大大增加可设想先使各零件等级最低,求出。一。,的一组值,分析相应的效益值,然后可
11、删除成本过高的等级,再进行穷举七、结果使用梯度法,代入初值,、二,并对零件的各个等级遍历,求出一组局部最优解由于,的分布是用计算机随机数模拟出来的,所以每次运行结果都不一定相同,目标函数波动为公劣工任任了石石工等级级费用用初初始值值蒙蒙特卡罗法法线线性近似似 新新目标函数数八、模型的检验用正态分布近似,的分布的可行性检验在线性模型中,我们用正态分布。,。来近似的分布对此,我们在最优解处作了拟合优度检验数学的实践与认识卷劝由蒙待卡洛法模拟产生,的个样本值把,的可能取值范围分成。二个区间,并判断样本落在各区间的频数。,并使,全计算统计量二,、一、二,其中,、为正态分布。,。二在第个区间内的理论概率
12、,拟合优度,一、孟通过计算,我们得到,这说明我们用正态分布 州。,弓来近似的实际分布是可靠的。模拟的误差我们用蒙特卡洛法模拟,的分布时使用的样本个数是。,与成批生产的产量一致,但是计算机模拟的统计量必然有一定的波动性,我们对同样一组标定值和等级进行多次模拟,发现目标函数的波动程度在元左右因此,我们的模型所给出的精度顶多也只能达到这个值参数选择分两步走的有效性若同时对标定值和容差等级求最优解,则计算复杂度过大,为此我们采用了两步走的近似方法第一步 使各零件都取最低容差等级,求出各零件标定值的最优解梯度法第二步固定标定值,求容差等级的最优解 遍历作为对比,在线性模型中,我们同时考虑标定值和容差等级
13、,也用梯度法求得极值,结果为元,这和分两步走的结果元非常接近,这说明了我们的分两步策略是十分有效的、讨论质量损失,的另一种理解有些产品参数,离目标值越近越好,甚至于突破人为的等级限制,即。,随,连续变化,而不是如假设所述的阶梯函数一种可能的情况是。二。,一”,其中“二,此时“二了、。侧,一“这正是我们前面提出的第二个目标函数以这种解释求得的目标函数最优解局部最优解和全局最优解我们的模型给出的都是局部的最优解区域内的极值,这不一定就是目标函数在整个区域内的最优解但是,如果多取几个初始值求极值的话,可以尽可能缩小我们的结果与最优解的差距,甚至达到最优解优缺点分析线性模型避免了蒙特卡洛法所需的大量模拟,从而提高了运算速度,线性模型在一般的情况下也能给出比较理想的结果,分两步走的策略有效地简化了问题,同时也给出了非常接近最优解的结果我们给出的都是局部的最优解,并不能保证它就是间题的全局最优解由于进行蒙特卡洛方法模拟的次数有限,这使得我们给出的总费用精度有限,误差为士兀参考 文 献严颖、成世学,运筹学随机模型,中国人民大学出版社,盛昭瀚、曹忻,最优化方法基本教程,东南大学出版社,北京,南京,徐士良,陈希孺,常用算法程序曳清华大学出版社,北京,概率论与数理统计,中国科技大学出版社,合肥,
