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1、意料之外的探究发现 记一道题目的讲评课215011 苏州新区第一中学 顾日新在课堂教学中,几乎每一位老师都有这样的经历:课前预设好的教学流程常因为学生的思维“ 不听话 ” 而被打乱 1如果你有足够的耐心和一个平静的心态,顺着学生的思路走下去,积极引导学生进行探索,让学生在探索过程中学会修正和反思,你会发现学生的思维是多么鲜活、 多么可贵!也许这节课你没有能完成计划中的教学任务,但你一定会有一个不一样的发现 1以下案例是教学中的一个意外的发现,请广大同行点评、 指正 11 问题提出图1(如图1)设双曲线x2-y2= 2008的左、 右顶点分别为A1, A2, P为其右支上任一动点,且有 A1PA
2、2= 4PA1A2,则 PA1A2=1(正确答案:15)这是课前学生进行专项训练中的一道题,全班45个同学,只有5个学生的答案是正确的,经了解,这5个学生的答案竟然是猜出来的 1我自己也觉得,尽管这道题不算难,但是解法却很是特别,要是以前没有遇到过的话,还真的不知如何下手 1对这道题充分准备之后,我信心百倍地走进课堂 12 探究发现师:同学们,成功解题的关键是对题中的条件加以有效的转化和利用 1那么对本题的条件“A1PA2=4PA1A2” 该如何转化呢?问题一提出,学生都积极动脑,我也走下讲台和学生一起讨论 1注意到有个学生的想法很不错,我就请他把想法和同学们一起分享 1生1:可以利用 A1P
3、A2,PA1A2的正切来加以转化 1为了简化解题过程,不妨设 PA1A2=,则A1PA2=4,由双曲线x2-y2= 2008,得顶点坐标为A1(-2008,0) , A2(2008,0) ,则tanPA1A2=yx+20081此时,生1对tanA1PA2无法转化了 1有学生建议利用直线PA1, PA2的斜率来转化 1生2:记直线PA1, PA2的斜率分别为k1, k2,则k1= tanPA1A2=yx+2008,k2= tanPA2F=yx-2008,则k1k2=yx+2008yx-2008=y2x2- 20081因为点P ( x, y)为双曲线右支上的一动点,则有y2=x2- 2008,代入
4、上式,得:k1k2=1,即tanPA1A2tanPA2F=1,因为 PA1A2,PA2F(0,90) ,则 PA1A2+PA2F=90,即+5=90,=15,所以 PA1A2=15 1很漂亮的解法,表扬了生2后,我要求学生谈谈自己的收获,学生一致认为对角进行转化,斜率是很有用的工具 1我又问学生,本题中的什么条件可以适当改动而不影响结论 1生3:题中双曲线的方程中的“2008” 可以改成任意的正实数 1我很满意生3的回答,有学生说还可以把方程改成“y2-x2=a2( a 0)”,我就顺势编了一道题目让学生在课堂上当场完成 1“ 设双曲线y2-x2=a2( a 0)的两个顶点分别为B1, B2,
5、 P为其下支上任一动点,且有 B1PB2=4PB1B1,则 PB2B1=1” 很快,绝大部分学生都顺利完成了 1看他们都兴高采烈的样子,我又问了句,对双曲线的方程有更为大胆的改法吗?31案例评析 (2008年第6期 高中版)生4:可以把方程改为“x2a2-y2b2=1(a, b0)” 1我暗喜,终于出现了课前预设的效果了 1我给出了课前已经准备好的题目:“ 设双曲线x2a2-y2b2= 1( a, b0)的左、 右顶点分别为A1, A2, P为双曲线上异于顶点的一动点,那么,直线PA1, PA2的斜率乘积是定值吗?请说明你的理由 1”问题一出,有的学生认为斜率乘积不可能是定值,理由是直线PA1
6、, PA2的斜率是随着点P的变化而变化的 1也有学生认为斜率乘积是定值,我请一个持肯定回答的学生阐述自己的理由 1生5:由题意得, A1(-a,0) , A2(a,0) ,则kPA1kPA2=y x+ay x-a=y2x2-a2,又点P ( x, y)为双曲线一点,则有y2=b2(x2a2- 1) ,代入上式,得kPA1kPA2=b2(x2a2- 1)x2-a2=b2a2( x2-a2)x2-a2=b2a2=c2-a2a2=e2- 1(定值)1很漂亮的结果,我表扬了生5,其他学生也流露出敬佩的眼神 1从学生的表情我感觉到了他们迫切解决新问题的心向,学生的思维的兴奋点已经到了 1如果我不继续将这
7、个问题深化下去,就会错过一个提高学生思维的最加契机,按照课前的充分准备,我又抛了一个问题给学生:“ 我们前段时间已经学习了类比推理,能否类比这个结论得到与椭圆有关的结论呢?请同学们积极思考 1” 话音刚落,就有同学举手了,我请他说自己的答案:生6:设椭圆x2a2+y2b2= 1( a, b 0)的左、 右顶点分别为A1, A2, P为椭圆上异于顶点的一动点,则直线PA1, PA2的斜率乘积是定值 1我问他这里的定值是什么,生6说自己还不知道,不过估计也和双曲线一样是“e2- 1” 1那么,到底这里的定值是什么呢?是“e2- 1” 吗?带着疑惑,我和学生一起来进行验证:证明:设左、 右顶点为A1
8、(-a,0) , A2( a,0) ,点P的坐标为(x, y) ,则kPA1kPA2=y x+ay x-a=y2x2-a2,又点P ( x, y)为椭圆上一点,则有y2=b2(1 -x2a2) ,代入上式,得kPA1kPA2=b2(1 -x2a2)x2-a2=b2a2( a2-x2)x2-a2= -b2a2=c2-a2a2=e2- 11(定值)我接着问学生,“ 如果把题中的左、 右顶点换成上、 下顶点呢?”,很快,学生就计算出了答案,同样也是“e2- 1” 1不一样的曲线,却有着相同的结论,学生很兴奋,我也为学生的聪明感到高兴,没有费太大的劲就达到了课前的预想,本来这堂课的探究也该结束了 1由
9、一道小题目推出了一个与双曲线和椭圆的顶点三角形有关的结论也算是个不小的发现 1也许我是被学生高涨的情绪感染了,我竟然临时联想到了圆,于是就现场编了一道题目 1就是这一不经意的联想却带来意想不到的“ 收获 ” 13 意外的类比与发现师:同学们,如果我们遇到这样的一道类比推理题,刚才大家的发现就派上用场了 1“ 圆上任意一点P与一直径的两个端点A, B ( P与A, B互异)的连线的斜率之积等于- 1,那么类比圆锥曲线,你该得到什么结论呢?” 我请一个学生来回答这个临时编的题目,这个学生很流利地把刚才图2的关于双曲线和椭圆的结论完整地说了一遍 1我正想以表扬来结束对这个问题的探究,有一个学生却举手
10、示意有话要说,我请他站起来说出他的想法 141(2008年第6期 高中版) 案例评析生7:我认为刚才的类比还不够到位 1因为,圆的直径可以是变化的 1如图2,图3直径AB、CD所对的圆周角都是直角,即kPAkPB=kPCkPD= - 11那么对于椭圆(图3)既然kPAkPB=e2- 1, kPCkPD应该也等于e2- 11我明白生7的意思了,只要C、D两点连线过中心O, kPC与kPD的乘积就也应该等于e2- 1,这样的类比我课前还真的没有考虑到 1在这样的情况下,我完全可以以“ 同学们课后自己思考 ” 为借口来搪塞过去,但一个好的老师不能随便掐灭学生思维的火花!尽管我没有十足的把握立即给学生
11、一个准确的回答,但是我感觉到生7的这个疑问是非常有价值的 1我和学生一道试着开始进行了以下的探究:图4 图5如图4,设椭圆的方程为x2a2+y2b2= 1( ab0) ,弦CD过椭圆中心O,点P是椭圆上与C、D互异的一动点,试判断kPCkPD是否为定值?并写出证明过程 1证明:设P (x, y) , C (m, n) , D (-m,-n) ,则kPC=y-n x-m, kPD=y+n x+m,kPCkPD=y-n x-my+n x+m=y2-n2x2-m2,因为点P ( x, y) , C (m, n)在椭圆上,则y2=b2(1 -x2a2) , n2=b2(1 -m2a2) ,y2-n2=
12、b2(1 -x2a2)-b2(1 -m2a2)= -b2a2(x2-m2),代入上式,得到kPCkPD=-b2a2(x2-m2)x2-m2= -b2a2=c2-a2a2=e2- 11如图5,若椭圆的中心在原点,焦点在y轴,弦CD过椭圆中心O,点P是椭圆上与C、D互异的一动点,则有kPCkPD= -a2b2=1 e2- 11(将第一种情况中的a, b互换即可)出现这样的结论是我意料之外的,学生也发出了惊叹的声音,这个结论简直是太美了!考虑到椭圆和双曲线都是圆锥曲线,我提示学生能否将这个结论类比到双曲线 1很快,有好几个学生举手了,我随意点了一个学生站起来回答 1图6生8:双曲线过中心的弦的两端点
13、与双曲线上异于该端点的任一点的连线的斜率之积为定值 1当焦点在x轴上时,该定值为e2- 1;当焦点在y轴上 时,该 定 值 为1 e2- 11这个类比正确吗?我和学生又一起进行了证明: (如图6)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1( a, b0) ,P (x, y) , C (m, n) , D (-m,-n) ,且PC、PD与x轴不垂直 1则kPC=y-n x-m, kPD=y+n x+m,kPCkPD=y-n x-my+n x+m=y2-n2x2-m2,因为点P ( x, y) , C (m, n)在双曲线上,则y2=b2(x2a2- 1) , n2=b2(m2a2- 1) ,y2-n2
14、=b2(x2a2- 1)-b2(m2a2- 1)=b2a2(x2-m2) ,代入上式,得到kPCkPD=b2a2(x2-m2)x2-m2=b2a2=c2-a2a2=e2- 1151案例评析 (2008年第6期 高中版)同理可以证明,若双曲线的焦点在y轴, PC、PD与x轴不垂直,则有kPCkPD=1 e2- 11(将上面证明过程中的a, b互换即可)1综上所述:我们得到了以下定理:定理1 已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1( ab0) ,弦CD过椭圆中心,点P是椭圆上与C、D互异的一动点, e为离心率,那么直线PC与PD的斜率之积为e2- 11推论 已知椭圆的方程为y2a2+x2b2= 1
15、( ab0) ,弦CD过椭圆中心,点P是椭圆上与C、D互异的一动点, e为离心率,那么直线PC与PD的斜率之积为1 e2- 11定理2 已知双曲线的方程为x2a2-y2b2= 1( a, b0) ,弦CD过双曲线中心,点P是双曲线上与C、D互异的一动点(P与C、D的连线与坐标轴不垂直) , e为离心率,那么直线PC与PD的斜率之积为e2- 11推论 已知双曲线的方程为y2a2-x2b2= 1( a, b0) ,弦CD过双曲线中心,点P是双曲线上与C、D互异的一动点( P与C、D的连线与坐标轴不垂直) , e为离心率,那么直线PC与PD的斜率之积为1 e2- 114 几点建议美国心理学家布鲁纳认
16、为:“ 探索是数学的生命线 ” 1在数学课堂教学中,教师创设情境,为学生构建一种开放的学习环境,引导学生主动参与,自主进行问题探究学习,有利于调动学生的积极性、 主动性,充分发挥学生的潜能,培养学生的创新精神和实践能力 1为此,我觉得课堂教学我们要注意以下几点:411 解放学生的思维,鼓励学生创新在教学实践中,我们经常发现有些班级的学生思维很活跃,而有些班级的学生思维较僵硬 1除了学生自身的原因之外,一定程度上还与教师的教学有关 1有些教师在教学中不敢放手,不愿放手,他们左右着学生的思维且展现给学生的思路又比较少 1再加上课堂的民主程度又不高,学生的思维也就没有了呈现的机会,更不要谈思维活跃起来了 1所以,在课堂教学中要为学生积极创造机会,把握好启发引导学生思维的时机和度,多留给学生思考和讨论的空间,让学生的思维有用武之地
