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1、 1 均衡存在性的证明 ? ? 逻辑框架 假设 5.1：消费者效用的特征： 代表性消费者i的效用函数( )iux在n维非 负空间n +?上连续、强递增和严格拟凹。 定理 5.1：需求函数的特征： 如果代表性消费者i的效用函数( )iux满足假设 5.1， 则对于每一个0p ?， 消费者问题： ( )max,. .iii nu xstx+pxpe?有唯一解：()ix p,pe。()ix p,pe在n +?上连续。 定义 5.4：过度需求函数的定义： ( )()( )( )()111,.,nn iiiin=z pxp,peez pzp定理 5.2、5.4：过度需求函数的特征： 过渡总需求函数( )
2、z p具有下列特征： 1： （定理 5.2）连续性： 2： （定理 5.4）齐次性： 3： （定理 5.4）Walras 法则： 4： （定理 5.4）如果各种禀赋的总数量严格为正，如果mp是n +?中的价格向量数列，收敛于0p，且在p中某商品k的价格0kp =， 则对于价格0kp=的商品k， 与价格向量数列mp相对应的过度需求数列()m kzp无上界。 定理 5.3： （纯数学定理） 假设函数( )z p满足下列特征： 1：连续性： 2：齐次性： 3：如果mp是n +?中的数列，收敛于0p，且在p中0kp =，则对于0kp=的k，与数列mp相对应的数列()m kzp无上界。 则存在向量*p0
3、?使得()0=*z p 定理 5.5：存在价格向量*p使得过度总需求()0=*z p 定义 5.5： 使得( )0=z p的向量*n +p?， 叫做 Walras均衡。 存在 Walras 均衡 2 证明定理 5.4 （3） ： 如果每个消费者的效用函数都满足假设 5.1， 并且各种禀赋的总数量严格为正，10I ii=e ?，如果mp是n +?中的价格向量数列， 收敛于0p， 且在p中某商品k的价格0kp =， 则对于价格0kp=的商品k，与价格向量数列mp相对应的过度需求数列()m kzp无上界。 解释： 1. mp定义在n +?中，即对于所有的m，有0mp ?。 2. 当m ，mpp，p的
4、特征为0p且0p；同时，由于在p中某些坐标为零，0kp =，所以，p并不严格大于零向量，如，()1211,.,0,.,kknp pppp+=p。也就是说，当m 时，mpp，0m kp。 3. p中为零的坐标，第k个坐标，k可能等于k，也可能不等于k，对一切等于零的坐标或商品，0kp=，其需求为无穷大。由于当m 时m kkpp，所以，m kp，即m kp无上界。 证明： 设严格为正的价格数列mp收敛于0p，对于某商品k，有0kp =。 由于10I ii=e ?，且0p，所以I ii=1pe 0，=II iii=1i=1pepe 0，所以，至少一位消费者有ipe 0。 对应于价格向量数列mp， 该
5、消费者有需求数列()imm ix p ,p e： 对于所有的m，()( )argmax,. .immiiiinust+=x p , p expxpex?我们要证明该消费者的需求数列无上界。 反证法。 设()imm ix p ,p e有界，则有收敛子数列。假设数列()imm ix p ,p e收敛于*x，即当m 时，()*mimmi=xx p , p ex。 对于所有的m，有mmm i=p xp e。有?limlimmmmimm=xppp xp e，得*0i=pepx。 令()*0,.,0,1,0,.,0=+xx?，其中第k项为 1。效用函数强递增，因此有， ( )( )*uuxx?。 且有 *
6、0=ipxpxpe? ()?*1,0*0,.,0,1,0,.,0100nkj jj kpp=+ =+ + =ipxpxppxpxpe?效用函数连续，所以，存在一个()0,1t，使得( )( )*u tuxx?且( )*txx?，( )mmt+，则1 2n=+2、 构造( )( )()min,1kkzz=pp 对每一个k，设( )( )()min,1kkzz=pp，0p ?。 结论：( )( )()( )( ) ( )min,1,1 1,1kkkkkzzzz z=p，它将调高k的价格，调整幅度为( )(0,1kzp，调整后的价格为( )kkpz+p，再将其调整为相对价格： ( )( )( )()
7、 11max 0,kk knm mpzf nz=+= + +pp p。 注意，这里的商品价格为相对价格，调高一种商品的价格等于降低了其他所有商品的价格，包括本来供求相等的商品的价格。分母起到这一作用。 如果在价格为kp时，商品k上供求相等，即( )0kz=p，它不对此商品价格进行调整，但是，由于对其他过度需求的商品价格进行调整，影响到分母，相对价格发生变化，为： ( ) ( )() 11max 0,k knm mpf nz=+= + +p p。 如果在价格为kp时，商品k上供过于求，即( )0kz+ + + +pp p ? ?分母( )()11max0,nm mnz=+ +p是分子的加总，目的
8、使( )11nk kf=p。 所以，( )fSp 以上两点保证了( )f p在单纯形S里，而原始价格向量p也在单纯形里，所以，:f SS为从自身到自身的映射。 过度需求函数( )kzp为连续函数，所以( )kzp为连续函数，所以分子( )()max 0,kkpz +p为连续函数；如果分母不为零，则:f SS为连续映射。分母始终大于等于 1，所以，:f SS。 7 :f SS的定义域满足 Brouwer不动点定理中有界集、闭集、凸集和非空集的要求，函数本身构成连续映射，满足不动点定理，所以存在p使()f=pp。或者说，对所有的k，存在()kkfpp=。即 ()()()()() 1max 0,1m
9、ax 0,kkkknm mpz f pp nz=+ = + +pp调整后得到： ()()()() 1max 0,1max 0,nmkkk mpnzzp=+ +=+pp ()()()() 1max 0 ,max 0,nkmk mpnzz=+=+pp 结论：对每一个()0,1 ，在价格向量集合S中有一价格向量p使上式成立。 我们要做的是寻找一个价格向量使( )0kz=p和( )0=z p。 4、 探讨0 ： 随着0 ，有数列 p，每一个p皆使上式成立。根据定义，01kp， p有界，有收敛子数列。设该数列即为该收敛子数列，收敛于*p。*p或者为边界上的点，*0p，且*0p或者为内点，*0p ?。我们
10、将证明在条件 3 下，该数列收敛于*0p ?。就是说，条件 3 保证了价格向量严格为正。 反证法： 假设该子数列收敛于*p。*p为边界上的点，*0p，且*0p。 （例如，? *1,2,3,.,0,1,2,3,0,.thkn= p?即满足*p的这一特征。 ）则在其中有些商品k的价格为零。条件 3 指出，当*p由以上特征时，有某些价格为零的商品k上()*0kp=，在0 与p相对应的该商品的需求数列()kzp无上界。 商品 1 商品2 商品 3 1pi 2pi 7p *0p ? *0p 8 0 ，*pp，* kkpp ，*0kp=，有0kp。 而()()()() 1max 0 ,max 0,nkmk
11、 mpnzz=+=+pp 在0 ，0kp时，上式等号左边趋近零。而右边为 1。 这与前面的结论“对每一个()0,1 ，在价格向量集合S中有一价格向量p使上式成立，”相矛盾，所以*0p ?。 所以，在0 时，*0pp ? 5、 求导*0p ?使()0=*z p 对()()()() 1max 0 ,max 0,nkmk mpnzz=+=+pp等号左右两边对求极限，得到： ?*1 000max 0,max 0,Knkmk mppnzz=+=+pppp ()()()()*1max 0,max 0,nkmk mpzz=pp 等号两边乘以()* kzp，得到： ()( )()()()()*1max 0 ,
12、max 0,nkkmkk mp zzzz=pppp 求和得到： ()()()()( )()?*11 00 000*max 0,max 0,nnmkk mkzzz= =pppp z p? ? ?()( )()*1*0*0max 0,0nm mz= pp z p ? ?()( )()*1max 0,0nkk kzz=pp ()()()( )()*0,0 max 0, ,0kkkkz z zz= p p pp( )()()( )()()()* 2*00,0 max0, ,0kkkkkkzz zz zz= pp pp ppi()*0kzp ( )()()( )*mi0n,10kkkzzz=ppp( )*0kz =pp ()*0kz=p ()*0=z p
