《李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《李庆扬-数值分析第五版第2章习题答案(20130625)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 章 复习与思考题 1、什么是拉格朗日插值基函数？他们是如何构造的？有何重要性质 答：形如 01( )n i n iiiikxxlxxx的基函数称为 n 节点的拉格朗日插值基函数。 主要性质有 1）,0,()1,n kkiklxik2）( )1nl x 2、什么是牛顿基函数？它与单项式基21,x,x ,.,x n有何不同 答：牛顿差值基函数为001011,(x x ),(x x )(x x ),.,(x x )(x x ).(x x )n牛顿差值基函数中带有常数项01,.nx xx，这有单项式基不同。 3、什么是函数的 n 阶均差？它有何重要性质 答：形如01n 2n01n 2n-1 0
2、1n 1,.,.,.nnf x xxxf x xxxf x xxxx称为( )f x的 k 阶均差 具有以下的基本性质 1）均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性（拉格朗日插值函数的应用） K 阶均差可以表示为函数值0()f x，1()f x，n()f x的线性组合，即 kj 01k j 0j0jj-1jj+1j( ),.-kf xf x xxx xxxxxxx（）.()().()2）由性质 1 和 k 阶均差的性质 0101k-1 01 0,.,.,.k k kf x xxf x xxf x xxxx（分子前项多 xk） 3）若(x)f在a,b上存在 n 阶导数，且节点01n 2n,.,
3、a,bx xxx，则 n 阶均差与导数的关系为 101( ),.!nnff x xxn4、写出 n+1 个点的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，他们有何异同 答： n+1 个点的拉格朗日插值多项式 000( )( )nnn i nk kk kkiikikxxL xy lxyxx，(j 1,2,.,n) n+1 个点的牛顿插值多项式 01,.,kkaf x xx,(k1,2,.,n) 两者的主要差异是未知数不一致。 拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。 牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。与一般多项式基本相同。 5、插值多项式的确定相当于求解线性方程组Axy，其中系数矩阵A与使用
4、的基函数有关。y包含的是要满足函数值01(,.)Tny yy， 用下列基底作多项式插值时， 试描述矩阵A中非零元素的分布。 1）单项式基底 2）拉格朗日基底 3）牛顿基底 答： 1）单项式基底为21,x,x ,.,x n ，已知数为012,.,nx xxx则未知数为012,.,na aaa，则系数矩阵为 12 000 12 111 12 222121.1.1.1.nnnn nnnxxxxxx Axxxxxx，无非零元素。 2）拉格朗日基底为01 ( ), ( ),., ( )nl x l xlx，已知数为012,.,nyyyy未知数为01 ( ), ( ),., ( )nl x l xlx，则
5、系数矩阵为 未找到相关资料。 3 ） 牛 顿 基 底 为001011,(x x ),(x x )(x x ),.,(x x )(x x ).(x x )n， 已 知 数 为012,.,nx xxx，未知数为012,.,na aaa，则系数矩阵为 102020211001 0100.0 10.0 1()().0 .1()().()nnnnnj jxx xxxxxxAxxxxxxxx，为下三角矩阵，矩阵的上三角元素为 0。 6、用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低至 高给出排序 答：按照计算工作量，排序如下： 牛顿插值、拉格朗日插值、多项式插值 7、给出插值多
6、项式的余项表达式，如何用它估计截断误差 答：拉格朗日插值多项式余项 11( )( )( )( )( )(n 1)!nnnnfRff xL xx，进行误差估计时，对1( )nf进行适当缩放即可。 牛顿插值多项式余项 011( )( )( ),.,( )nnnnRff xP xf x xxx，可以直接求出。 8、埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值 公式？ 答: 埃尔米特插值最显著的特征是：即要求节点上的函数值相等，同时也要求节点上的到数 值相等，甚至高阶导数值相等。 泰勒公式 200 00000()()( )()()()().()2!n n nfxfxP
7、xf xfxxxxxxxn就是牛顿插值公式具有 n 重根0()xx时的特殊形式，即0()xx的极限形式。 也是 n 阶导数值相等的埃尔米特插值公式。 9、为什么高次多项式插值不能令人满意？分段地刺插值与单个高次多项式插值相比有何优 点？ 答：根据龙格（Ronge）发现的现象，发现高次多项式插值( )nL x近似( )f x的效果并不好。产生的主要原因是计算时的舍入误差引起。 10、三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。 答：三次埃尔米特插值要求给出节点上的函数值和导数值，只有一阶导数连续。 三次样条插值要求给出各节点的函数值和区间的边界值，具有二阶导数连续。 从上
8、可以看出，三次样条插值更优越，对节点的要求较低，具有二阶导数连续（插值函 数更光滑） 。 11、判断下列命题是否正确？ （1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。 （2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。 （3）li (x) (i= 0, 1, n )是关于节点 xi ( i =0, 1, , n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于 n 的多项式 P (x)都有 0( ) ( )( )nii il x P xP x。 （4）当 f (x)为连续函数，节点 xi (i= 0, 1, n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式 Ln (x)，则 n 越大 L
9、n(x)越接近 f (x). （5）同上题，若构造三次样条插值函数 Sn (x)，则 n 越大得到的三次样条函数 Sn (x)越 接近 f (x). （6）高次拉格朗日插值是很常用的。 （7）函数 f (x)的牛顿插值多项式 Pn (x)，如果 f (x)的各阶导数均存在，则当 xi x0 (i= 1, 2, n ) 时，Pn (x)就是 f (x)在 x0点的泰勒多项式。 答： 1） 错，因为插值函数唯一 2） 对 3） 对，因为余项等于 0 4） 错，典型的例子是龙格现象 5） 对，n 越大，说明步长0h，此时 S（X） ，S(X)和 S（X）均一致收敛于 f（X） ，f(X) 和 f（X
10、） 。 6） 错。典型的例子是龙格现象 7） 对。 习题 1、当1, 1,2x时，( )0, 3,4f x，求)(xf的二次插值多项式。 1）用单项式基底 2）用拉格朗日插值基底 3）用牛顿插值基底 解： 1）用单项式基底，设 2 210a xa x ay，则范德蒙系数矩阵 12 00 12 11 12 221111 1111 1124xx Axx xx行列式化简有 11101110 | y11130203 1244013411101110 01340134 02030065A解得0127/31.55/6aaa所以251.57/36xxy 2）使用拉格朗日插值计算 020112 012 010
11、21012202122()()()()()()( )()()()()()()(1)(2)(1)(2)(1)(1)0( 3)4(1 1)( 1)( 2)( 3)(1)(3) (1)(2)4(1)(1)023 324( 2nxxxxxxxxxxxxL xyyyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22221) 3 3968(1) 66 537 623 571.563xxxxxxxy3）使用牛顿插值计算 2001001201( )(),(),()()P xf xf x xxxf x x xxxxx 均差表 kx ()kf x 一阶均差 二阶均差 1 0 01,f x x=3/2 012,
12、f x x x=5/6 -1 -3 12,f x x=7/3 2 4 所以2225( )0 1.5(1)(1)(1)6 5=1.5(1)(1)6 571.563P xxxxxxxx从三种插值方法得出的插值函数一致，得证。 2、给出( )lnf xx的数值表用线性插值及二次插值计算54. 0ln的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 xln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 解： 由于未限制插值函数的类型，可以使用单项式插值、拉格朗日插值和牛顿插值。 计算方法同题 1. 本题线性插值选用拉格朗日插值方法。 选择接近
13、 0.54 值的两个插值节点 x0=0.5 和 x1=0.6,则 y0=0.693147,y1=0.510826 01 01 0110()()( )()()(0.6)(0.5)( 0.693147)( 0.510826)0.10.1 1.82321 -1.604752nxxxxL xyyxxxxxxx从而(0.54)1.82321 0.54-1.604752=-0.620278nL本题二次插值选用牛顿插值方法 选择接近 0.54 值的三个插值节点 x0=0.4,x1=0.5 和 x2=0.6,则 y0=-0.916291,y1=-0.693147,y2=-0.510826 则有均差表 kx (
14、)kf x 一阶均差 二阶均差 0.4 -0.916291 01,f x x=2.23144 012,f x x x=-2.04115 0.5 -0.693147 12,f x x=1.82321 0.6 -0.510826 22( )(0.4)(0.4)(0.5)2.041154.0444452.217090.916291 2.231442.047115P xxxxxx2(0.54)-0.61531984P 3、给出cosx,090x的函数表，步长1(1/60)h，若函数具有 5 位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。 解：拉格朗日插值余项表达式为 11( )( )( )(
15、 )( )(n 1)!nnnnfRff xL xx线性插值时 n=1， 总误差界 1( )cos1|( )| |( )| ( )|(n 1)!22nfxxx由于步长取1(1/60)h，换算成弧度有41(/10800)=2.9089 10h所以4( )=0.5 10x因此，总误差界1 4( )cos1|( )| |( )| ( )|=0.25 10(n 1)!22nfxxx此题解法错误，原因是 使用的方法错误 理解题意错误， “函数具有 5 位有效数字” ，表示5 001102yy 正确解法如下： 总误差=函数本身的误差（5 位有效数字产生的误差）+使用插值方法带来的误差。 设插值节点为010xxxxh，对应的xcos值为10, yy，函数表值为10, yy，则由题意可 知 ，5 001102yy，5 111102yy， 近 似 线 性 插 值 多 项 式 为01 101 0110( )xxxxL xyyxxxx，所以总误差为 1111( )( )( )( )( )( )( )R xf xL xf xL xL xL x1112 01 010011 011001 010011 0110(
