微积分在初等数学解题中的应用

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1、 2008年第年第10期期 福建中学数学福建中学数学 11 微积分在初等数学解题中的应用微积分在初等数学解题中的应用 郑玉琳 湖南师范大学数学与计算机科学学院（410081） 微积分的诞生是数学史上的一个重要转折点， 它是“数学中一步真正的发展”，是“更有力的工具和 更简单的方法的发现”微积分通过静态的逐步逼近 而把握动态、通过有限去认识无限、利用近似去探 索精确，是辩证法在数学上的体现微积分的工具 能处理初等数学中的一些基本问题如函数单调性、 连续性、极值，函数的作图，求曲线的切线方程， 求椭圆面积，求立体几何中柱、锥、台、球的体积 等微积分在初等数学解题中的应用，可以使学生 体会到微积分为

2、什么是“人类精神的最高胜利”和“全 部数学中一个最大创造” + x，1.应用于求函数的极值、最值及值域应用于求函数的极值、最值及值域 初等数学中，经常用不等式、配方等方法求极 值、 最值. 这些方法的优点是学生熟悉， 易于掌握 但 这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高， 特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解 一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个 概念，遗漏了极值用微积分方法求极值，有固定 程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些， 极值和最值也容易区分 例例 1 求的极值 cos2cos1yxx=+ 解：解： 2cos sinsinyxx = 令，得0y =sin (2

3、cos1)0xx += 解得sin或0x =cos1/ 2x = ， 由sin可得0x =cos1x = 或 cos1x = 因此，当时，得 y 极小=3/4； cos1/ 2x = 当cos1x = 时，得 y 极大= 3； 当时，得 y 极大=1 cos1x = 此题若用配方法解，可得 ()2cos1/23/4yx=+当时， 得 y 极小=3/4； 当cos1/ 2x = cos1x = 时， 得 y 极大= 3但很容易遗漏 y 极大=1 2.应用于讨论函数的单调性应用于讨论函数的单调性 初等数学中讨论函数( )yf x=的单调性时，经 常在某区间任取12xx、，令12xx，则在该区间单调

4、递减该方法的优点 是直观易懂，其缺点是函数表达式较复杂时判断( )yf x=1()()2f xf x的正负比较困难， 往往要求运用较高技巧，且适用面也较窄运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出( )fx，再考虑( )fx的正负即 可该方法简便易行，不需多大技巧，且适用面也 较宽， 可让学生体会高等数学“高”在哪里， 增强学生 学习积极性 例例 2 (2000年高考全国卷)设函数( )21f xx=+ ax(0a )，求实数的取值范围，使a( )f x在，(0)+是单调函数 本题所给参考答案由函数的单调性定义，结合不等式恒成立的方法来解，解题过程中运算量大，思维要求高若运用导数来解，则简便易行

5、 略解：略解：因为( ) 21xfxa x= +、， 0x所以 201 1xx 故( )f x在 2(0) 1aa，上为减函数，在 2(， 1aa )+上为增函数 所以，当且仅当时，1a( )f x在上是单调递减函数 (0)+ ，例例 3 判定函数3 1yxx=和在，3 2yxx=+()+上的单调性 解：解：2 1313(1/3)(1/3yxxx= =+) 令，得10y1/3x ； 令10y，故3 2yxx=+在内单调递增 () +，以上用微积分法讨论函数和的单调性时， 1y2y12 福建中学数学福建中学数学 2008年第年第10期期 均无需多大技巧，且过程类似；但若用初等方法讨 论，不仅需要

6、一些技巧，而且解法也不能一样 3.应用于证明不等式应用于证明不等式 证明不等式从函数思想上理解实质上是研究函 数值的大小关系问题因此根据不等式的结构特点， 构造适当的函数，将不等式问题转化为函数问题， 进而通过求导法判断函数的单调性或最值，再利用 函数单调性或最值来证明不等式 例例 4 设e是自然对数的底，是圆周率，求证ee 证明：证明：因为函数单调递增，故lny=xee等价于lnlnee，即lnlnee，即lnlne e 令ln( )()xf xxx= e，则21ln( )xfxx=因此，当xe时，fx， 于是( )0，即lnlne e ，原命题得证 例例 5 (2001年高考全国卷) 已知

7、m、n 是正整数，且1，证明： mn+ 解析：解析：因为1，不等式两边取自然对数后，原问题等价于证明不等式mn 于是构造函数ln(1)( )(2)xf xxx+=. 可求得2ln(1)1( )xxxfxx+= 2x， 所以，ln(1) 1x+(1)ln(1)0xxx + 即ln(1)ln(1)mn mn+ 从而有 (1)(1)nmn+m评注：评注：本题有多种证法，上面通过构造函数利用导数由函数的单调性来证，证法新颖、简洁，是证明不等式的一种新方法. 4.应用于化简三角函数式应用于化简三角函数式 三角函数式的化简是中学常见题型，微分法可开辟求解的另一途径 例例 6 化简三角函数式 ()22cos

8、cos2cos cos cos()xxyxyxy+ 解：解：题中有两个字母，视x为变量、y为常量，并设()22( )coscos2cos cos cos()f xxxyxyxy=+， 则( )sin2sin2()2cos sin cos()fxxxyyxxy= + cos sin()2sin(2)cos2cos sin(2)0xxyxyyyxy+=+=， ( )f xc=又， 2(/ 2)sincfyy=于是()22coscos2cos cos cos()sin2xxyxyxyy+=. 5.应用于证明恒等式应用于证明恒等式 利用微积分法也可证明一些恒等式 例例 7 利用公式c3os34cos3

9、cosxxx=推导 3sin33sin4sinxxx= 证明：证明： 视x为变量， 对3cos34cos3cosxxx=的 两边求导，得 23sin312cossin3sinxxxx= +， 22sin34cossinsin4(1sin)sinxxxxxx= 3sin3sin4sinxxx= 反过来，也可利用三倍角的正弦公式导出三倍 角的余弦公式类似，可以由sin22sin cosxxx=推出2cos2cossin2xxx=；由sin()sin cosxyxy= cos sinxy推出cos()cos cossin sinxyxyxy=， 或 者由后者推出前者 这类问题证明的关键是把恒等式问题

10、转化为函数问题(此题中转化为证明f ( x ) =/2) ，然后利用函数的导数达到解决问题的目的. 6.应用于判别方程的根的个数应用于判别方程的根的个数 例例 8 求证：方程sin/ 20xx=只有一个根 解析：解析：在超越方程中判别根的情况大多是采用图象法，但是采用图象法对作图要求较高，往往会由于作图误差而出错. 构造函数( )sin/ 2f xxx=、xR. ( )1cos/ 20fxx= ，( )f x在R上单调递增 又(0)0f=，曲线( )yf x=与x轴有且只有一个交 点，即方程sin/ 20xx=有唯一根 我们还可以利用零点定理及中值定理来判定方 程根的个数及所在区间等问题，如： （1）证明531xx=区间（1，2）内至少有一个实根 （2）问方程32/ 320xxc+= (c为常数) 在区间（0，1）内至多有几个实根？ 综上所述，用微积分处理中学数学中的问题， 具有居高临下的作用，对于沟通初等数学与高等数 学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的 思路都很有帮助而且对中学数学中有些较难的题 型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体 现了高等数学的优越性，从而使学生感到高等数学 与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣另外， 还可大大扩展中学数学的应用范围