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1、教案教案 条件极值问题与条件极值问题与 Lagrange 乘数法乘数法 1. 教学内容教学内容 讲解 Lagrange 乘数法的原理，并介绍如何应用 Lagrange 乘数法求解条件极值问 题。 2. 指导思想指导思想 条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题， Lagrange 乘数法是解决条件极值 问题的一个有效的工具， 也是数学分析课程教学上的一个难点， 讲好这一节课程， 对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。 3. 教学安排教学安排 1在考虑函数的极值或最值问题时， 经常需要对函数的自变量附加一定的条 件。例如，求原点到直线 =+=+ 632, 1 zyxz
2、yx的距离，就是在限制条件1=+zyx和632=+zyx的情况下，计算函数222),(zyxzyxf+=的最小值。这就是所谓的条件极值问题。 以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数 ),(zyxf 在约束条件 = 0),(, 0),( zyxHzyxG下的极值。 假定具有连续偏导数，且 Jacobi 矩阵 GFf, =zyxzyx HHHGGGJ 在满足约束条件的点处是满秩的，即2rank=J。 先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。 设曲线上一点为条件极值点，由于在该点),(000zyx2rank=J，不妨假设在点),(000zyx0),(),( zyH
3、G，则由隐函数存在定理，在附近由该方程可以唯一确定 ),(000zyx),(),(),(0xOxxzzxyy= （)(),(0000xzzxyy=） 。 它是这个曲线方程的参数形式。 将它们代入目标函数，原问题就转化为函数 ),(),(),(,()(0xOxxzxyxfx= 的无条件极值问题，是函数0x)(x的极值点，因此0)(0= x，即 0),(),(),(000000000=+dxdzzyxfdxdyzyxfzyxfzyx。 这说明向量 1kji),(),(),(),(grad000000000000zyxfzyxfzyxfzyxfzyx+= 与向量 =dxdz dxdy, 1 正交，即
4、与曲线在点的切向量正交，因此可看作是曲线在点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由与张成的，因此可以由和线性表出，或者说，存在常数),(000zyx),(grad000zyxf),(000zyx),(grad000zyxG),(grad000zyxH),(grad000zyxf),(grad000zyxG),(grad000zyxH00,，使得 ),(grad000zyxf=0),(grad000zyxG+0),(grad000zyxH， 这就是点为条件极值点的必要条件。 ),(000zyx将这个方程按分量写开就是 =. 0),(),(),(, 0),(),(),(, 0),(
5、),(),(000000000000000000000000000000000zyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzzzyyyxxx于是，如果我们构造 Lagrange 函数 ),(),(),(),(zyxHzyxGzyxfzyxL= （,称为 Lagrange 乘数） ，则条件极值点就在方程组则条件极值点就在方程组 =0, 0, 0, 0, 0HGHGfLHGfLHGfLzzzzyyyyxxxx的所有解的所有解),(00000zyx所对应的点中所对应的点中。 用这种方法来求可能的条件极值点的方法，称为 Lagrange 乘数法乘数法。 ),(000zyx2
6、作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即 求函数 222),(zyxzyxF+= 在约束条件 =+=+ 632, 1 zyxzyx下的最小值（最小值的平方根就是距离） 。为此，作Lagrange函数 )632() 1(),(222+=zyxzyxzyxzyxL， 在方程组 =+=+=. 0632, 01, 032, 022, 02zyxzyxzLyLxLzyx把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以zyx、后相加，再利用第四、第五 式得到后相加，再利用第四、第五 式得到 26)(2222+=+zyx。 请同学思考，从上式我们能得
7、出什么结论？请同学思考，从上式我们能得出什么结论？ 答案：从方程组解出答案：从方程组解出和和，如果只有一组解，则，如果只有一组解，则26+就是原点到直线距离的平方！就是原点到直线距离的平方！ 为此我们只要从方程组解出和即可。 把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得 263=+； 把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得 12146=+。 从以上两个方程解得 4,322=。 于是原点到直线的距离为 =+=+ 632, 1 zyxzyx35)24322(21=+。 注注 解出和后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为37,31,35=zyx，因此原点到直线的距离为 =+=
8、+ 632, 1 zyxzyx325 37,31,35= F=35。 3一般地，考虑目标函数在m个约束条件 ),(21nxxxfL );, 2 , 1(0),(21nmmixxxgni=bacfffxyyyxx0xxf)0 , 0(f0)0 , 0(=f。 再考察函数在 D 的边界上的极值，这是条件极值问题。 为此作Lagrange函数 f1| ),(22=+ yxyx) 1(2),(2222+=yxcybxyaxyxL， 并得方程组 =+=+=+.01, 0)(, 0)(22yxycbxbyxa 将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以后相加，再用第三式代入就得到 y =+=+=)(2),(22
9、22yxcybxyaxyxf， 这说明在上的极大值与极小值包含在方程组关于),(yxf1| ),(22=+ yxyx的 解中。下面来求的值。 由联立方程组中的，可知二元一次方程组有0122=+ yx =+=+ 0)(0)( ycbxbyxa 6非零解，因此系数行列式等于零，即 0)(22=+bacca。 解这个关于的方程，得到 )(4)()(2122baccaca+= （注意根号中） 。 04)()(4)(2222+=+bcabacca 由于连续函数在紧集上必可取到最大值与最小值， 因此 在 D 的边界上的最大值为 f1| ),(22=+ yxyx f )(4)()(2122 1baccaca
10、+=； 最小值为 )(4)()(2122 2baccaca+=。 再与在 D 内部的极值f0)0 , 0(=f比较，就得到在 D 上的最大值为 f=0 ,max1)(4)()(2122baccaca+； 最小值为 00 ,min2=。 例 4 设（） 。求n元函数 0, 0iaani, 2 , 1L=na naa nxxxxxxfLL21 2121),(=在约束条件（axxxn=+L21nixi, 2 , 1, 0L=）下的最大值。 解 作辅助函数 nnnnxaxaxaxxxfxxxglnlnln),(ln),(22112121+=LLL， 因为函数严格单调，所以只要考虑函数ulng的极值就可
11、以得到的极值。 f作Lagrange函数 )(lnlnln212211axxxxaxaxaLnnn+=LL。 由极值的必要条件得到 =+=., 2 , 1, 021axxxnixa xLniii LL由前个方程得到ni iax =，再代入最后一个方程得到 ni, 2 , 1L=aaaan+=L21， 所以 ni iaaaaax+=L21，ni, 2 , 1L=。 于是是函数的唯一可能条件极值点。由于 ),(21nxxxLg7= 22 222 11212000000),(nnnnn lkxaxaxaxxxxxLLOMMLL 为负定矩阵，由定理 2 可知为),(21nxxxLg的条件极大值点。它也
12、是的唯一条件极大值点，显然它就是的条件最大值点。于是在约束条件下的最大值为 fff =+ += +niaaana naaaninniaaaaaaaaaaaa12121 212121LLLL。 特别地，当121=naaaL及1=a时，的最大值为fnn1，即当及121=+nxxxL), 2 , 1(0nixiL=时成立 nnnxxx 121L。 对于任意正数，只要令 nyyy,21Lni iyyyyx+=L21（ni, 2 , 1L=） ， 就得到 nnini nyyyy+ =1121L， 即 nyyyyyynnn+LL21 21。 这就是熟知的平均值不等式。 4 注意点注意点 应用Lagrange乘数法求解条件极值问题，产生的方程组变量个数可能比较大， 似乎解这个方程组往往是很困难的。但注意我们可以利用变量之间的关系（也就 是问题给出的条件） ，找到解方程组的简便的方法，而不要用死板的方法去解方 程组。 8
