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1、第 3 章多维随机变量及其分布习题解答第 3 章多维随机变量及其分布习题解答 一选择题一选择题 1已知二维随机变量(, )X Y的联合分布函数( , )(,)F x yP Xx Yy=，则事件( D ) 2,3P XY=A B(2,3)F(2,)(2,3)FF+ C1( D12,3F)(2,)(,3)(2,3)FFF+ + 2设随机变量X，Y相互独立，其分布律为： X 0 2 Y 0 2 P 0.5 0.5 P 0.5 0.5 则下列各式正确的是( D ) AXY= B2XYX+= C D0XY=1 2P XY= 3设随机变量X，Y相互独立，其分布律为： X -1 1 Y -1 1 P 0.5
2、 0.5 P 0.5 0.5 则下列各式正确的是( C ) A1P XY= B1 4P XY= C1 2P XY= D0P XY= 二填空题二填空题 4设(, )X Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 0 1/20 2/20 1/20 1 3/20 6/20 3/20 2 1/20 2/20 1/20 则P XY=_8/20_ 5设(, )X Y的联合分布律为 1X Y 1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 则_0P XY=_1/2_ 6掷两颗均匀骰子，X与分别 表示第一和第二颗骰子所出现点数，则=_YP XY=_1/6_ 7二维随机变
3、量(, )X Y的联合分布函数的定义是对任意实数( , )F x y, x y，( , )F x y=(,)P Xx Yy 8设(, )X Y的联合分布函数为()22222210, 0xyxyeeexyF x y,0+= 其它，则2P X =2e 9设二维随机变量(, )X Y的联合分布函数是，则关于( , )F x yX的边缘分布函数=( )XFx( ,)F x 10 设(, )X Y的 概 率 密 度 为， 则 常 数_22(), 0 , 0( , ) 0,xykxyexyp x y+= 其他k =_4_ 11 设二维随机变量变(, )X Y的联合概率密度函数是， 则关于( , )p x
4、yX的边缘分布密度( )Xpx=( , )p x y dy+ 12二维离散型随机变量(, )X Y的联合分布律为()，关于(,)ijijP Xx Yyp=,1,2,i j=?X及关于Y的边缘分布律为. ip及. jp ()，则,1,2,i j=?X与相互独立的充要条件是Y.( ,1,2,)ijijpppi j= 213 设X与相 互 独 立 ， 分 布 函 数 分 别 为，则Y( )21000xXexFxx= 其它0P XY4e1,2 15设12,3XXX相互独立，且210,1,12iP Xxxi x=1 729 16设X与Y相互独立，且1200,1133P XP YP XP Y= 1 X1
5、0 X1YZY+=+=，则Z的分布律为(0)4/9,(1)5/9P ZP Z= 17设随机变量X与Y相互独立，且X的分布函数为，Y的分布函数为，则随机变量( )XFx( )YFymin,ZX Y=的分布函数为=( )F z111( )XYFzF z( ) 18二维离散型随机变量(, )X Y的联合分布律为()，关于(,)ijijP Xx Yyp=,1,2,i j=?X及关于Y的边缘分布律为. ip及. jp () ， 若则 在,1,2,i j=?.0jp jYy=的 条 件 下 ， 关 于X的 条 件 分 布 律|ijP Xx Yy=.(1,2,)ijjpip=? 19 在整数0至9中先取一数
6、X后不放回再取一数Y， 则在(09)Ykk=的条件下X的分布律为1 |0,9 0ikP Xi Yki ik= =1,9? 3三应用计算题三应用计算题 20现有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品从中随机抽取 2 次，每次抽取 1 件，取后不放回定义两个随机变量X，Y如下： 1, 0,X= 第1次抽到正品 第1次抽到次品， 1, 0,Y= 第2次抽到正品 第2次抽到次品试求(, )X Y的联合概率分布和边缘概率分布 解：解：432(0,0)(0) (0|0)10915P XYP XP YX=， 类似地可得(, )X Y的联合概率分布和边缘概率分布如下表 X Y 0 1 ()P Xi= 0
7、 2/15 4/15 6/15 1 4/15 5/15 9/15 ()P Yj= 6/15 9/15 21.设二维随机变量(, )X Y的概率分布为 Y X -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.2 求（1）X与Y的边缘分布律； （2）判断X与Y是否独立，说明理由. 解：解： （1）X与Y的边缘分布律如下表 Y X -1 0 1 P Yj= 0 0.07 0.18 0.15 0.4 1 0.08 0.32 0.2 0.6 P Xi= 0.15 0.5 0.35 （2）由于1,00.071 00.15 0.4P XYP XP Y= = =，所以X与Y不独立.
8、 22设两个独立的随机变量X和Y的分布律如下表： X 1 2 Y 1 2 4XP 0.3 0.7 YP 0.6 0.4 （1）求随机变量(, )X Y的分布律； （2）求XYP XY=的分布律. ； （3）求解：解： （1）求随机变量(, )X Y的分布律为 X Y 1 2 ()P Xi= 1 018 012 03 2 042 028 07 ()P Yj= 06 04 （2）P XY=12P XYP XY=+=0.180.280.46=+= （3）XY的分布律为 XY 1 2 4 P 0.18 0.54 0.28 23设的联合分布律为如下表，问),(YX与取什么值时，X与Y相互独立？ X Y
9、1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 解：解：X与Y的边缘分布律如下表 X Y 1 2 3 ()P Xi= 1 1/6 1/9 1/18 1/3 2 1/3 +1/3()P Yj= 1/2 +1/9 +1/18 由于要求X与Y相互独立，所以有 (1,2)(1) (2P XYP XP Y=)，即111 939=+(1,3)(1) (3P XYP XP Y=)，即111 18318=+5解得 2/9 1/9 = =24设的联合密度函数为),(YX()101, 0,2 0xyp x y2= 其它，求X与Y中至少有一个小于1 2的概率 解：解：X与Y中至少有一个小于1 2的概率为 ()
10、111/21/21,22PXYP XY= 其他0A；（2）求 21P XY+解: 解: （1）由(2 )001xyAedy dx+= 得2A = （2）11(2 )12 00 2121( , )21 2x xyxyP XYp x y dxdydxedye += 26设X与Y相互独立，的概率密度分别为 YX与1,01( )0,Xxpx= 其他， 8 ,01/ 2( )0,Yyypy解：解： （1）由于X与Y相互独立，所以的联合概率密度为 ),(YX( , )p x y( , )( )( )XYp x ypx py=8 ,01,01/2 0,yxy1/210283yydx dy=27. 设二维随机
11、变量(, )X Y的联合密度函数为 62,01( , )0,Ayyxp x y= 其它. （1）求常数A； （2）求概率1/2P X； （3）求关于X的边缘概率密度( )Xpx； （4）判断X与Y是否独立，给出理由 解：解： （1）由12001xAy dy dx= 得12A = （2）1/2P X 12200196xy dy dx=（3）( )Xpx230,01/3 ,01 0 ,0 ,xy dyxxx= ， 其他，7（1）求边缘概率密度( ),( )XYpxpy； （2）求,maxYXZ =的分布函数； （3）求概率 12/1=0( )0,0xXexFxx =0,0 ( )/2,021,2Yy Fyyyy，所以的分布函数为 ,maxYXZ =330,0( )( )( )(1),022 (1),2z ZXYzzzFzFz Fzezez （3）33111/21(1)(1/2)(1)(1)24ZZPZFFee=/23/23111 442ee=+ 8
