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1、 1 20102010 级微积分级微积分 A A第一学期期末试题第一学期期末试题 参考答案及评分标准（参考答案及评分标准（A A 卷）卷） 20112011 年年 1 1 月月 2020 日日 一、一、 填空（每小题填空（每小题 2 2 分，共分，共 1010 分）分） 1. ;32. ;)()(2)()(22yf xxyfyfxfyx dxdy += 3. ;)(2Cexfx+= 4. ;1cos xxy+= 5. .31 二、(9 分)瑕点为：1=x .1.1 分分 令令tdtdxtxtx2,1,12= .3.3 分分 =+100101)2(lim1)2(xxdx xxdx.5.5 分分
2、+=+12012limtdt.7.7 分分 10arctanlim+=t 2= .9.9 分分 三 、（三 、（9 9 分）分） （1 1） 定义域定义域1:xD .1.1 分分 （2 2） ,) 1(2)3(32=xxxy .2.2 分分 4) 1(3 = xxy .3.3 分分 （3 3）. 3, 0, 021=xxy得驻点：令 2 . 0, 0= xy得可能拐点横坐标：令 （4 4）列表如下：）列表如下： x )0 ,( 0 ) 1 , 0( 1 )3 , 1 ( 3 ), 3( + )(xf + 0 + 不不 - - 0 + )(xf - - 0 + 存存 + + )(xf 拐点拐点
3、在在 极小值极小值 ), 3() 1 ,)(+的单增区间：（xf ),31)(，的单减区间：（xf ), 1 () 1, 0)(+的凹区间：（xf ，的凸区间：（)0 ,)(xf 极小值：极小值：,827)3(=f 拐点：拐点：)0 , 0( .7.7 分分 （5 5）渐近线：）渐近线：为其垂直渐近线，1,)(lim 1=+= xxf x 1)21)(lim,21)(lim= xxfbxxfk xx所以有斜渐近线：所以有斜渐近线：. 121+=xy .9.9 分分 四 、（9 分） 证明：xdxduux2,2=做定积分换元，令 =20023)(2)(aaduufudxxfx =20)(21ad
4、xxxf .4.4 分分 3 =2 02 023sin21)sin(xdxxdxxx .6.6 分分 +=2 020cos|cos21xdxxx .21= .9.9 分分 五、(9 分) 特征方程：0322= rr 特征根：3, 121=rr .2.2 分分 对应齐次方程通解为：xxeCeCxY3 21)(+=.3.3 分分 设非齐次方程) 1 (32xeyyy= 的特解为：xAxey=* 1代入方程(1)，得,41=A xxey=41* 1.5.5 分分 设非齐次方程)2(32xyyy= 的特解为：baxy+=* 2代入方程(2)，得92,31=ba 92 31* 2+=xy .7.7 分分
5、 由解的叠加原理知原非齐次方程的通解为： .92 31 41)(3 21+=xxeeCeCxyxxx.9.9 分分 六、(9 分) 原式= 20102 )2sin1 ( limxdttxtx.2.2 分分 xxxxx2)2sin1 (2lim21 20= .4.4 分分 2222sin 2sin1 20)2sin1 (limxx x xx= .6.6 分分 exxx2202sinlim =.2= e .9.9 分分 4 七、(9 分)（1）dxxS=1024 tdtdxtxcos,sin=令 dtt =6 02cos4 .2.2 分分 23 3)2cos1 (26 0+=+= dtt .3.3
6、 分分 （2）=102)4(dxxVx .5.5 分分 .311= .6.6 分分 =10242dxxxVy .8.8 分分 .3)338(2)4(321023 2=x .9.9 分分 八、(9 分).)84(,42 22 2ttetdxydetdxdy= .5.5 分分 8, 0022 =dxyd dxdyt时。有当 曲率半径曲率半径.81 |)1 (23 2 = +=yyR .9.9 分分 九 、（九 、（9 9 分 ）（分 ）（1 1）连续性）连续性 ,21cos1lim)0(,21)0(20=+=+xxff x,21 ) 1(1lim)111(lim)0( 00=xxxxxexxe e
7、xf )0()0()0(fff=+，所以，所以处连续；在0)(=xxf.3.3 分分 （2 2） 可导性可导性 5 02cos22lim21cos1lim)0(32020=+xxx xxxf xx,121 ) 1(222lim21)111( lim)0(200= =+xxxxxxexxexe xexf )0()0( +ff，所以，所以.0)(处不可导在 =xxf .7.7 分分 +=+=0cos22sin00) 1(1)(322xxxxxxxee x xfxx不存在 .9.9 分分 十 、（十 、（9 9 分）证明：记运动员开伞时刻为分）证明：记运动员开伞时刻为., 00vt为且记此刻运动员的
8、速度= 由牛顿第二定律知，运动员的速度满足下列微分方程初值问题：由牛顿第二定律知，运动员的速度满足下列微分方程初值问题： =02)0(vvkvmgdtdvm.4.4 分分 分离变量，得微分方程的解为：分离变量，得微分方程的解为： etkmg mkkmgvkmgvkmgvkmgv200+ = +.7.7 分分 在上式中令在上式中令.,结论得证得kmgvt+ .9.9 分分 十一、(9 分) 构造辅助函数：)()(1xfxexFx=， .2.2 分分 又因为dxxfxefx=2101)(2) 1 (，由积分中值定理知，存在)21, 0(，使得 )() 1 (1=fef，即)() 1 (= FF .4.4 分分 6 ),1 ()() 1 ,( 1 ,)(FFxF=内可导，且上连续，在在 由罗尔定理，有) 1 , 0(1 ），（至少存在一点，使得 . 0)(=F .6.6 分分 又)()()()(1xxfxf xxfexFx+=即 0)()()()(1=+=fffeF，又01e 所以 0)()()(=+fff 即 ).()1 ()(1=ff .9.9 分分
