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1、第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 1 / 6 第十第十二二届届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 八八年级年级决赛决赛答案答案 一、填空题一、填空题 1. 答案：503 2013解答：容易知道1 111 11 2242kSk kkk，所以 1352011 111 111 111111434 354 574 2011201311142013 503 2013SSSS2. 答案：20009 解答：设200020012000,2001ab,则一方面 2000200120012001101020010ababAabab. 另一方面10(2001)
2、102001020010 120009aaAabab 3. 答案：1: 3 解答：由题意得BFBF，90B FC，即BB F是等腰直角三角形。所以BOF和B OF都是等腰直角三角形，45OBF，因为75ABC，所以30EBO，在Rt BOE中:1: 3EO BO ，所以:1: 3EO FO 4. 答案：3 解答：考虑到最不利情况，如果乙写出了12，那么甲最少要有一个数比12小且和12互质；考察11 13 172431，那么只要甲写出11,13,17这三个数，一定能保证有一个数满足比乙写的小而且和乙互质。 5. 答案：2 3 解答： 第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 2
3、/ 6 3233 33333333333 3333333331323232964 92 643292 649646y 令776622m ，则 277776626622225722 12m 所以772 322yy 6. 答案：6 解答：因为122902303030aaa,所以1229,303030aaa等于0或1。由题设知，其中有18个式子等于1。因此有11120,13030aa,即有11121901,1218301961010630303aaaaa 7. 答案：15 8解答：如图 1，11 22ABCDBADCASSSDE ABDF AC由角平分线性质我们知道DEDF，所以142ABCSDEA
4、BACDE而 322133323346ABCABCDEADDESSAD，所以接下来我们只要求出ABCS问题就搞定了。如图2，容易知道第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 3 / 6 331533322222ABCCEACSAB CE，所以 335315366228ABCADS FEDCBAEDCBA图 1 图 2 8. 答案：36 解答：通过奇偶性分析，易知2y ，此时2120x xz，即221201012xxzzxx， z为质数， 101x,此时11,23xz 9. 答案：当0b 时，没有交点，所以不构成三角形；当0b 时，面积为2b 解答：此题去绝对值非常麻烦，我们可以
5、考虑通过函数平移的知识来解决。 函数yxab的图像可以通过函数yx的图像平移得到； yx向左（0a ）或者向右（0a ）平移a个单位，可以得到yxa；再将yxa的图像向上（0b ）或者向下（0b ）平移b个单位，然后将所得图像x轴下方的部分翻转到x轴上方，即可得到函数yxab的图像。 显然当0b 时，图像与x轴不可能有交点； 当0b 时，令0xab得到12,xab xab，()2ABababb；C点坐标为, a b，2122ABCSb bb 第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 4 / 6 CDBAxyO10. 答案：10000 解答：设k是1100中任意一个数，如果100
6、ka 且100kb ，那么在第一组中不大于100的数至少有12,ka aa这k个数，在第二组中不大于100的数至少有1100,kkb bb这(101)k个数，则不大于100的数至少有101101kk个，这不可能。因此ka与kb这两个数当中较大的一个一定大于100，所以代数式1122100100ababab (101 102200)(12100)(101 1)(1022)(200 100)100 10010000二、动手动脑题二、动手动脑题 1. 证明：构造函数 111111f xxyyzzxyzxyzyz ，故 01110fyzyzyz ， 10fyz 。由于一次函数 f x的图像为一条直线，
7、所以当01x时，恒有 0f x 成立，故原不等式成立 2. 答案: (1)(1,1)(2,1)(4,1)(3,1)(3,2)(3,4)(3,8)(3,5) (4)(1,1)(1,2)(1,4)(1,3)(2,3)(4,3)(8,3)(5,3)(10,3)(20,3) (40,3)(37,3)(37,6)(31,6)(25,6)(50,6)(100,6)(200,6) (2)(3)不可能. 解答: a和b的公共奇约数等于a和2b的公共奇约数等于2a和b的公共奇约数， 由规则知,跳跃不改变前后两数的公共奇约数. 如果,ab a和b的最大公约数等于()ab和b的最大公约数, 如果,ab a和b的最大
8、公约数等于()ba和a的最大公约数, 由规则知,跳跃不改变前后两数的最大公约数. 从而按规则和规则跳跃,均不改变坐标前后两数的公共奇约数. 1和1的公共奇约数为1,而12和60的公共奇约数为3,及200和5的公共奇约数 为5. 第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 5 / 6 从(1,1)出发不可能到达给定点(12,60)和(200,5). 3. 证明：假设这 5 条线段为0abcde。接下来准备用反证法。 假如所有的三角形都不是锐角三角形，那么我们有222222222abcbdecde ，所以222222222abcdededede，从而推出ade，也就是说, ,a d
9、e无法构成三角形，矛盾。问题得证 4. 答案：101022 101022, 223 103 10 221010xxxxyyyy ，一共四组解 解答： 224444224322344322344442222221152321522321546404641622202220xyxyxyxyxyxyxxyyxx yx yxyyxx yx yxyyxxyxxyxxyxxyxxyxxyx 所以2xyxyx或23xyxyx 或22200xyxxy。 当yx时，代入2222 221, 22 22xx xyyy 当3yx 时，代入221010 10101, 3 103 10 1010xx xyyy 当0xy时，显然不是原方程组的根，所以舍弃） 第十二届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 6 / 6 5. 答案：有很多剪法。下面举出两种方法： 连接 AB、AC 两边上的中点 D 与 E，作ADE 的高 AF，把ABC 分成、， 然后按下图拼接。 取 AB 的中点 D，AC 的中点 E，分别作垂线 DF，EG 将ABC 分成、，然 后按下图拼接。 证明略 F B C A D E G F B C A D E
