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1、矩阵函数求导矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵函数矩阵， 简单地说就是多个一般函数的阵列， 包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()( )( )ijm nX txt =，所有分量函数( )ijxt 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 00( )( ) ,( )( ).ttijijttddX txtXdxddxdx=函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()( )( )( )( )dddX tY tX tY tdtdtdt+=
2、+； （2） ()( )( )( ) ( )( )( )ddX tdY tX t Y tY tX tdtdtdt=+； 特殊情形 （a） 若K是常数矩阵，则()( )( )ddKX tKX tdtdt=； （b） 若( )X t是方阵，则2( )( )( )( )( )ddX tdX tX tX tX tdtdtdt=+； （3） ()111( )( )( )( )ddX tXtXtXtdtdt=； （4） 对任意的方阵A和时变量t，恒有AtAtAtdeAee Adt=； （5） 若ABBA=，则A BBAA Be ee ee+=。如果,A B可交换，则许多三角不等式可以推广到矩阵上。如sin
3、(),sin(2 )AbA+等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。 （2） 矩阵函数矩阵函数， 就是自变量为矩阵的函数映射； 根据函数的自变量和因变量的 形式可分为多种。 矩阵函数的导数矩阵函数的导数 定义 （向量导数） ：定义 （向量导数） ： 映射:nmf?，()()12( ), ( ),( )( ) ,1.Tmiff xf xfxf xim=?，定义映射的导数为一个mn的偏导数矩阵 ( ),1. ,1.iij jdf xDfim jndx=. 例如 dAxAdx=， ( )( )( )( ),Df xg xDf xDg x+=+? ()()( )( )( )D f g xfg
4、xg x=( ) ( )( ) ( )( ) ( ), ,TTTnmD fx g xgx f xfx g xf g=+? ()()T TTTTdx Axx AAxxAAdx=+=+ 定义（矩阵导数） ：定义（矩阵导数） ： ()vec()() vec()dA XdA X dXdX? 有 符号说明符号说明 d/dx (y) 是一个向量，其第 (i) 个元素是 dy(i)/dx d/dx (y) 是一个向量，其第 (i) 个元素是 dy/dx(i) d/dx (yT) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是 dy(j)/dx(i) d/dx (Y) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是 dy(i
5、,j)/dx d/dX (y) 是一个矩阵，其第 (i,j) 个元素是 dy/dx(i,j) 注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,yx,y 是向量，X，Y，X，Y 是矩 阵，x,y 是标量。 在下面的表达中 A A, B B, C C 是不依赖于 X X 的矩阵，a,ba,b 是不依赖于 x x 的向量， 线性积线性积 d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B o d/dx (Ay) =A * d/dx (y) d/dx (xTA) =A o d/dx (xT) =I o d/dx (xTa) = d/dx (aTx) = a d/dX (aTXb)
6、 = abT o d/dX (aTXa) = d/dX (aTXTa) = aaT d/dX (aTXTb) = baT d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z 二次积二次积 d/dx (Ax+b)TC(Dx+e) = ATC(Dx+e) + DTCT(Ax+b) o d/dx (xTCx) = (C+CT)x ? C: symmetric: d/dx (xTCx) = 2Cx ? d/dx (xTx) = 2x o d/dx (Ax+b)T (Dx+e) = AT (Dx+e) + DT (Ax+b) ? d/dx (Ax+b)T (Ax+b) = 2A
7、T (Ax+b) o C: symmetric: d/dx (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATC(Ax+b) d/dX (aTXTXb) = X(abT + baT) o d/dX (aTXTXa) = 2XaaT d/dX (aTXTCXb) = CTXabT + CXbaT o d/dX (aTXTCXa) = (C + CT)XaaT o C:Symmetric d/dX (aTXTCXa) = 2CXaaT d/dX (Xa+b)TC(Xa+b) = (C+CT)(Xa+b)aT 三次积三次积 d/dx (xTAxxT) = (A+AT)xxT+xTAxI 逆逆 d/dx (Y-
8、1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1 迹迹 Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr(). d/dX (tr(X) = I d/dX (tr(Xk) =k(Xk-1)T d/dX (tr(AXk) = SUMr=0:k-1(XrAXk-r-1)T d/dX (tr(AX-1B) = -(X-1BAX-1)T o d/dX (tr(AX-1) =d/dX (tr(X-1A) = -X-TATX-T d/dX (tr(ATXBT) = d/dX (tr(BXTA) = AB o d/dX (tr(XAT) = d
9、/dX (tr(ATX) =d/dX (tr(XTA) = d/dX (tr(AXT) = A d/dX (tr(AXBXT) = ATXBT + AXB o d/dX (tr(XAXT) = X(A+AT) o d/dX (tr(XTAX) = XT(A+AT) o d/dX (tr(AXTX) = (A+AT)X d/dX (tr(AXBX) = ATXTBT + BTXTAT C:symmetric d/dX (tr(XTCX)-1A) = d/dX (tr(A (XTCX)-1) = -(CX(XTCX)-1)(A+AT)(XTCX)-1 B,C:symmetric d/dX (tr(
10、XTCX)-1(XTBX) = d/dX (tr( (XTBX)(XTCX)-1) = -2(CX(XTCX)-1)XTBX(XTCX)-1 + 2BX(XTCX)-1 行列式行列式 d/dX (det(X) = d/dX (det(XT) = det(X)*X-T o d/dX (det(AXB) = det(AXB)*X-T o d/dX (ln(det(AXB) = X-T d/dX (det(Xk) = k*det(Xk)*X-T o d/dX (ln(det(Xk) = kX-T Real d/dX (det(XTCX) = det(XTCX)*(C+CT)X(XTCX)-1 o C
11、: Real,Symmetric d/dX (det(XTCX) = 2det(XTCX)* CX(XTCX)-1 C: Real,Symmetricc d/dX (ln(det(XTCX) = 2CX(XTCX)-1 Jacobian 如果 y y 是 x x 的函数， 则dy yT/dx x 是 y y 关于 x x 的 Jacobian 矩阵。 其行列式|dy yT/dx x|是表示了dy y 和dx x 的超体积比值. Jacobian 行列式出现在变元积分中: Integral(f(y y)dy y)=Integral(f(y y(x x) |dy yT/dx x| dx x). H
12、essian 矩阵矩阵 如果 f 是 x x 的函数，则对称矩阵 d2f/dx x2 = d d/dx xT(df/dx x)就是 f(x x)的Hessian 矩 阵。 满足 df/dx x = 0 0 的 x x 的值，当 Hessian 是正定、负定、不定时，就是相应 的最小值、最大值、或者是鞍点。 d2/dx2 (aTx) = 0 d2/dx2 (Ax+b)TC(Dx+e) = ATCD + DTCTA o d2/dx2 (xTCx) = C+CT ? d2/dx2 (xTx) = 2I o d2/dx2 (Ax+b)T (Dx+e) = ATD + DTA ? d2/dx2 (Ax+b)T (Ax+b) = 2ATA o C: symmetric: d2/dx2 (Ax+b)TC(Ax+b) = 2ATCA
