通过模型学解题中学物理专辑——磁场中的电流问题

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1、 献给读者通过模型学解题（物理）丛书是围绕高中物理教材，结合中学教 学实际编写的学生课外读物。本丛书突破按知识体系谋篇布局的常规，力 图引导学生换一种新的角度去窥视中学物理图景，领悟分析和解决物理问 题的思路。 什么叫物理模型？物理模型就是抽象化了的物理研究对象、条件或过 程。物理模型可划分为实体模型与过程模型两大类。 实体模型是研究对象或条件的抽象。质点、点电荷、点光源、光滑轨 道、单摆、理想气体、匀强电场、匀强磁场、核式结构的原子等，都属于 实体模型。 过程模型是对物理过程的抽象。直线运动、圆周运动、带电粒子在电 场与磁场中的运动、导体在磁场中的运动等等，都是过程模型。 物理模型，按其性质

2、特征、规模大小及相互联系，可以划分为不同的 层次。本丛书以过程模型为结构框架，各分册有体现第一层次模型的书名 和体现第二、三层次模型的筒明目录。所谓“通过模型学解题”，就是根 据物理的基本性质和特征，条分缕析，剖切成各个层次的过程模型，并抓 住同一模型中各类问题的共同特性，例举有代表性的实体模型，综合运用 各种物理知识，各种定理、定律，运用不同的观点、方法，归纳出解决问 题的一般途径和方法技巧。 本丛书在研究具体问题时，以文字演算为主，避免繁琐的数值计算， 从而使解决问题的方法更具广泛性，更显得逻辑严密。 按物理模型构建丛书框架，在不同层次的模型上展示物理图景，是一 种新的编写体裁，新的尝试，

3、前无经验，谬误和不妥之处难免，敬请读者 批评指正。 王 兴 桃 1 9 9 4 年 2 月磁场中的电流问题，是研究磁场对磁场中的通电导体的作用问题。 就通电导体而言，我们研究通电导线、通电的流体以及通电的线圈这 三个主要的模型；致于电流，主要研究固定的电源在导体中形成的电流， 也研究导体在磁场中运动或变化的磁场在闭合的回路中由于电磁感应现象 而产生的感应电流。 就磁场而言，我们研究永久磁体的磁场与电流产生的磁场这样两个模 型。磁场对通电导体的作用，通电导体之间的相互作用，都是通过磁场而 发生的。研究磁场中的电流问题，应牢牢掌握电与磁密切联系的观点。 电流是电荷定向运动形成的，揭示磁场对通电导体

4、作用的微观本质， 能使我们深入理解电流在磁场中产生的霍耳效应，解释电磁泵与磁阀的作 用原理，并计算磁场对通电流体产生的压强，以及磁场对导电流体速度的 控制，从而加深电、磁紧密联系的认识。 磁场力的问题，不仅仅是力的大小的计算问题，更重要往往也是比较 困难的，是力的方向的确定。与磁场力有关的方向问题，已不是一条直线 或一个平面上的问题，而是三维空间中三个有关方向间的关系问题。培养、 训练空间想象能力，用文字或图示准确地表达三维空间里几个方向间的关 系，对初学物理的人来讲，无疑是十分重要的，特别是图示表达，它与文 字表达和数学式表达相比，有直观形象、简洁明确的优点，应引起充分的 重视。一、磁场对通

5、电导线的作用一小段通电直导线在磁场中所受的磁场力，跟导线与磁场方向的夹角 有关。 通电直导线与磁场方向平行时，所受磁场力最小，为零；当通电导线 与磁场方向垂直时，所受磁场力最大，为 B i l ；如果磁场方向与电流方向 的夹角为（图 1 1 ），则作用力为： F = B i l s i n 式中 l 为磁场中通电直导线的长度。 对公式 F = B i l s i n ，我们可以用两个模型来理解。 1 . 将磁感应强度矢量 B ，沿平行于电流方向与垂直于电流方向进行正 交分解，平行分量为 B1B c o s ，垂直分量为 B2B s i n （图 1 2 ），B1 与电流方向平行，对电流没有作用

6、力，电流只受垂直分量 B2作用，作用力 F B2i l B i l s i n 。2 . 直导线在垂直于磁感应强度 B的方向上的投影长度为 l = l s i n ， l 叫磁场中通电直导线的“有效长度”（图 1 3 ）。表明磁场中与磁场 方向夹角为，长度为 l 的通电直导线所受的磁场力，与长度为 l l s i n ，而与磁场方向垂直的通直导线所受磁场力大小相同。 根据上述两个模型理解安培公式（F = B i l s i n ）有非常重要的实用价 值。下面先阐述有效长度模型（概念）的应用。 若通电的折导线 a b c （图 1 4 ），两段直导线的长度分别为 a b = l1、 b c =

7、l1，通过的电流为 i ，磁场的磁感应强度为 B 。a b段与 b c段跟磁场方 向的夹角分别为 a与，它们所受的磁场力分别为 F1= B i l1s i n a与 F2= B i l2s i n ，F1与 F2互相平行，分别与 a b 、b c 垂直，合力为： F = F1F2= B i （l1s i n a + l2s i n ） 显然，（l1s i n a + l2s i n ）就是折线 a b c 在垂直于磁场方向上的投影长度，即 a b c 的有效长度。 如果通电导线是曲线 a b （图 1 5 ），则可以把该曲线看作是若干段折 线组成的，这些折线均由平行于磁场方向和垂直于磁场方向的

8、两小段直线 构成；这样，通电曲线（a b ）所受的磁场力与垂直于磁场方向、长度为 ababab的直导线所受的磁场力大小相等，为。是通电曲线的有效长度。F = Bi= Bill =通电直导线所受磁场力的方向，即安培力的方向，总是垂直于磁力线 和通电直导线所在的平面，即安培力的方向既与磁力线垂直，又与通电直 导线垂直，三者之间的关系服从左手定则。通电导线与磁场方向垂直时， 三者彼此垂直正交；通电导线与磁场方向不垂直时，磁感应强度矢量在导 线垂直方向的分量、导线、安培力三者互相垂直。 根据上述基本知识，可以分析解决一系列具体的实际问题。通电导线在磁场中的平衡问题通电导线在磁场中的平衡问题要注意两个方

9、面：一是判断通电导线所 受磁场力的方向，计算磁场力的大小；二是要分析通电导线在磁场中的受 力情况，研究通电导线在磁场中平衡时所受各外力之间的关系。 如果通电导线在磁场中受共点力作用而平衡，则共点力的合力一定为 零；如通电导线有固定转动轴，则它在磁场中所受外力对固定转动轴的力 矩代数和为零；一般情况则是磁场中的通电导线没有固定转动轴，它所受 的外力又不是共点力，这时需要用一般平衡条件。 下面通过具体的例题，分析几种受力情况下的平衡条件。 例题 1 在竖直向下、磁感应强度为 B的匀强磁场中，两根平行的金 属导轨与水平方向夹角为（图 1 6 ），有电池、滑线电阻、安培表和两 根导轨串联，当质量为 m

10、 的直导线 a b 横跨于两根导轨之上，这时电路便接 通，电流由 a 向 b 通过直导线，a b 在水平方向上静止在倾斜的轨导上。调 节可变电阻，使通过 a b 的电流在一定范围内发生变化，a b 仍能保持静止。 经仔细观测发现：当安培表的读数渐渐增大到 i1时，直导线开始上滑；当 安培表的读数慢慢减小到 i2时，直导线开始下滑。试分析，i1、i2与哪些 因素有关？关系是什么？（通过分析研究，推导出 i1、i2的表达式来。） 分析与解 取导线的剖面图，分析导线的受力情况。当安培表读数为 i1时，直导线有向上运动趋势，两根导轨对它的摩擦作用沿导轨斜向下， 可以认为直导线在共点力作用下而平衡，其受

11、力情况如图 1 7 所示。其中 支持力 N 、摩擦力 f 是两根导轨对直导线的共同作用。这时平衡方程为： N - mgcos - Bi lsin = 0Bi lcos - mgsin - f = 01111 其中 f1= N1= （m g c o s + B i1l s i n ），代入上式，经化简后可得：img Bl1=+ sincos cossin 当安培表读数为 i2时，直导线有下滑的趋势，其受力情况如图 1 8 所示，平衡方程为： N - mgcos - Bi lsin = 0Bi lcos - mgsin +f = 02222 其中 f2= N2= （m g c o s + B i2

12、l s i n ），代入上式，经化简后得：代入上式，经化简后得： 可见 i1、i2与导线的重量 m g 、导轨的倾角、两根导轨间的距离 l 、 导轨与导线之间的摩擦系数、磁场的磁感应强度 B 有关。不难看出，只 要通过导线的电流（i ）在 i1与 i2之间，即 sincos cossinsincos cossin + + mg Blmg Bl i导线就能静止在倾斜导轨上不动。当时，导线与导轨之间没有i =mg Bltg摩擦作用。例题 1 的解题方法和结论，与斜面上的物体在水平力 F 作用下的平衡 问题是相同的。 倾角为的斜面上，质量为 m 的物体，在水平力 F 作用下处于静止状 态（图 1 9

13、 ），若物体与斜面之间的摩擦系数为，则水平力 F 必须满足 的条件是： sincos cossinsincos cossin. + + mgmg F在例题 1 中，磁场对通电直导线的安培力（F = B i l ）与水平力的作用相 当。可见，这两个形式上完全不同的问题，确具有相同的力学模型。 例题 2 “电流天平”是根据通电导体在磁场中受磁场力作用原理制 成的一种灵敏的测量仪器。它可以测出通电导体在匀强磁场中所受磁场力 的大小，进一步还可求得匀强磁场的磁感应强度。 “电流天平”的原理图如图 1 1 0所示。它的平衡臂能绕水平轴 o o 自由转动。平衡臂的右侧，沿边缘为形的导线 o a b o ，

14、它们处在通电的 直长螺线管中，当螺线管中有电流 I 通过时，就有沿螺线管轴线方向水平 向左的匀强磁场 B 。把平衡臂调成水平状态，如这时有电流 i通过形导 线，它的与螺线管轴线平行的两条边由于与磁场平行而不受磁场力作用， 只有短边 a b受竖直向下的磁场力作用；如 a b边长为 l ，其所受磁场力的 大小为 F = B i l ，则平衡臂将失去平衡。用砝码调节使平衡臂恢复平衡状态， 平衡臂的左右两臂长度相等，则 a b边所受的磁场力与平衡砝码的重量相 等，即 a b边所受的磁场力大小为 F = m g ，m是平衡砝码的质量。又 F = B i l ， 电流 i 与长度 a b 以及砝码的质量均

15、是可以测量的， 这样就可以求得螺线管 中沿轴线方向磁场的磁感应强度：Bmg iab= 例题 3 如图 1 1 1 所示，粗细均匀的直导线 a b 两端悬挂在两根相同 的弹簧下边，a b 恰好处在水平位置。a b 的质量为 m = 1 0 克，a b 的长度 l = 6 0 厘米。水平方向与 a b 垂直的磁场的磁感应强度 B = 0 . 4 特斯拉。（1 ）要使 两根弹簧都处于自然状态（即不被拉长，也不被压缩），a b 中应沿什么方 向，通过的电流强度应多大？（2 ）如导线中由 a 到 b 方向通过 0 . 2 安培的 电流时，两根弹簧被拉长x 1 毫米；当沿由 b 到 a 的方向通过 0 .

16、 2 安培 的电流时，两根弹簧被拉长多少？（取 g = 9 . 6 米/ 秒2） 分析与解 （1 ）弹簧处于自然状态，则通电直导线 a b 应受向上的磁 场力作用，且磁场力与导线 a b 的重力相等，即 B i l = m g 。 根 据 左 手 定 则 ， 电 流 应 由 a 向b， 电 流 强 度 的 大 小 为img Bl= =00196 040604. .i（安培）。（2 ）由 a向 b通过 0 . 2安培的电流时，a b受竖直向下的重力（m g ） 和向上的磁场力，两根被拉伸的弹簧对 a b的拉力也是竖直向上的，这时 a b 的平衡方程为： m g = B i l + 2 k x 由此式可得弹簧的倔强系数