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1、缈.召导.02驴。g导。g驴。g公。啥 驴。日 驴啥驴。日导。呀 卿。召卿只驴。盆公。以驴。g驴。日 导。日 卿日g驴啥 驴啥驴.2 即呀随机振动信号功率谱密度的分析肠记备滔 而肖 夙遗 伪沼肠滔肠泥 氛沼 而心 吞心 吞尤 羲心 备裕乡心吞泥 肠范肠泥 吞心 备崛吞沼吞泥 肠舀施能求一、引言随着科学技术的发展,随机信号的处理方法和专用仪器越来越多。由于分析精度和分辨率不同,采用不同的方法和仪器处理同一个随机信号,其功率谱密度值可相差几十倍甚至几百倍,这本来是很 自然的现象,但由于对随机信号性质了解不够,使用者往往感到迷惑和怀疑,甚至不敢采用新方法和新仪器。因此,首先应对随机信号有个正确的认识
2、。随机振动信号虽然不能用确定的时间函数来描述,但它存在着统计规律性,其均值、均方值、相关函数及功率谱密度等都有规律可循,其中功率谱密度是人们最感兴趣也是最有用的。本文将从功率谱密度的定义 出发,讨论功率谱密度分析中的误差及可信度,此外还叙述了度量方法、标准及B刀分析带宽,I 于:;(二)相关法具有正态分布的随机信号的相 关函数R(T)经傅里叶变换规定为功率谱密度:1rT五L下少=:批下于rl劣tt) 丫(不+丫)召t叹 4)G(,卜4J:R(,。 S2二, d5,在实际测量 中,测量时间T和滞后时间下都是有限值,同样也只能得到测量近似值:吴(T)=一弄fT:(,)x(,+二)、:(6)云(,卜
3、4J:霓,。 S2, (三)F F T法随机信号经傅里 叶变换,值定义为功率谱密度:(7 )斑峪=E 们及们,期望的期望等于期望本身,EEa=Ea。所以_L式的中间项为零,这样:其平方和平均X(,)=了 织l)X(,一:一“。(,卜手:x(,川:(8)(9)式中E统计平均。在实际测量中同样只能得到近似值:。“r.m.。= =E(G(f)一EG(f)忍+(EG(f)一G(f)恶】第一项是估值与估值的均值之方差,仑是统计误差项,又称为随机误差,用。“,表示:。“,=GZ(f)/B T(13)第二项为估计均值与真值的方差,是偏度误差 项,又称系统误差,用“。表示:产入rT Xf=J。x()己一“”
4、岔(1。)=聂(。(,)“ (14)会,、2,户,念,、,行甘)=一全-乙L!人盯川一(11)从上面的讨论中看到,虽然相 关 法 与FF T法表现的形式不同,但都是原始 定 义的变形,它们是等价 的,用其中任何一种方法处理的结果,从统计意义上讲都是一样的。式中Gl ,(f)一G(f)的二阶导数,V“/Hz“。为把误差与测量的功率谱量纲一致化,用标准化误差来表示:德滓二丫奋火黑籍巧么三、误差由于在实际测量中得到的是功率谱密度的近似值,它与真值存在着差别,因此应正确评价估值的好坏。(一)单值估计法评价估值的好坏通常用均方误差来 表示:。名r.二.。=E(G(f)一G(f)“(12)上式平方之前先减
5、去一个EG (f)再 加 上它得:八八。2,.口.:=E(G(f)一EG (f)+EG(f)一G(f)名=刀(a(f)一丑宕(f),+2(a(r)一刀a(f)(万a(f)(15)当T为定值时,偏度误差随分析带宽的减小而迅速减小,只要有足够高的分辨率,。可略去不计;当B为定值时,随机误差随着平均时间的增大而减小。标准化随机误差为:。r=一4迎(J刀)斌BT16)它与随机信号的特征无关,统属统计误差。偏度误差 虽然可按式(14 )计算,但较复杂,要求先求出相关函数再求功率谱的二 阶导数:G“,=8二:丁。:名R(:)一”rd丁一G(f) )+(EG(f)名(f)一从数理统计知道,对于若干个独立随机
6、变量,其和的期望等于期望之和,Ea+那二E司十E甲,积的期望等于期望之积,(飞7)它不能用一般的仪器来直接测量,要在计算机上专门编制程序,但在一般情况下可不必计算,而用随机信号的物理特征和分析带宽来估值,见图1。随机信号响应峰的半功率带宽Br可通过几次反复测量来估计。(二)区间估计与可信度在单值估计中,给出了估值召(尹)及 误. 叫尸目.户.,.盆”. . . 叫 . 困.叫.口,. 翻0.20.4口.弓Q.名1.01.21.4忍里户. = .气匆,.弓夕.nXJ图1.与B/ Br的关系差。这里说的误差与一般的误差概念不 同.它与可信度紧密有关,如G(尹) 土的可信度为68.3%,G(厂)士2
7、的可信度为9 5.5%;G(厂)土36的可信度为9 9.7%等。l,统计模型假定x (l )是一组统计 独立、标准正态 分布的随机信号,其均值为“O”,均方值为卜刀x三二0均值为。”Ex苦二1均方值为“1”( l幼x、二,二:o统计独立令、X差二 xr一卜x二+x孟一一十x灵二刃x矛它是平方的总和,是非负函数,现来求其均值与方差。X是的均值为:了 EX是=刃 Ex言二K、 (1 9)式中. 入-,一统计 自由度,其位为独众观察伯的个数。X是的方差证明较复杂,这里只写出其结果:a“二二arX异二石(X劲“一(EX是)“二2兀(20)正态分布的平方定义为卡方分布,所以功率谱密度是按卡方规律分布的,
8、这样就可刊用现成的卡方表对分析的谱作数理统计推断。2.卡万 分布离散性、可信度 与自 由 度笠岌的方差之平方根为实际离差,它随目由度K值的增大而增大(口二了牙r),而平均值EX是3随 自由度K线性地增加,其相对离差。/EX妇随自由度的增加而减小。图1是可信度为8 0 % 和9 0% 时的相对离散图。图2则示出了当K二5 0时,X是/K的8 0 %落在0 .7 5与1.2 6 之间;K=2时,则在0.1与2.3之河。可见当K很小时,其散布是很严 重 的,所以作功率谱密度测量时,一定要作平均来减小相对散布。自由度K与分析带宽B和平均时间T的关 系已由S。H.克兰德尔 证明:K=2B T(2 1)作
9、谱密度 分析时只给 出 估值G(厂)是不够的,因为估值等于真值的概率为零,所以应给出估值、误差及可信度或估值区间与一可 信度(表1)。”二月J,碑,.一尸,侧必狱,.2认4T二一下言一曰件犷一下厂一勺 万一节厂不舒图2一绮 方分布的相对散布与自由度由表1可知,当可信度P二9 5 %时,若统计自由度K=5 0,得区间0.691.5 2:P0.69G(f)(G(f)(1.5 2G(f),95%即随机区间0.6 9G(f)1.5 2值G(厂)的可信度为 9 5%。从表中看到,要随机区间小而可信度高就必须使统计自由度增大,当分辨率一定时就要求分析时间增加。(f)包含真谱,即在某几个具体频率上具有非常大
10、的能量,在其他频率上能量为零。这类信号用谱密度来描述是不恰当的,要用幅频特性来表征,最好用标准信号源的方波、三角波等来表1卡方分布的误差、可信度、估值区间与K的关系四、标尺与度量4 03 1一9 01 1一了月马工t了n J01.二01一任 河物理量的测量都要求有一个标准量来与之比较,这个标准量就是标尺。在频率分析中对不同特征的振动信号要用不 同标尺来度量。(一)确定性信号具有一定周期变化的信号,从频域来看它是 离散勺二下洽石三绮丽一 益一、 深一牙一,湍5。黔。黯,象瓢蹂压哥可二-一万一耳镶畏释骥爆摧一 性一 一三- 娜川有0.6721_6200.9 0 1.143 5283 02 300.
11、80 01.28 00.851 1.1 922 1 08 801410.9 21.0 901。.。 .11任I VUU 创卜01.。!。:。丹j二VJV。场J U1与之比较,即对方波进行处理,看结果是否与其描述的数学模型一致来说明处理方案的合理性。图3方波的数学模型为:(,卜半(S(2,)一合S。奋Sn, 。二,)一令Sn(1 4,卜(6军ft)+把三次不同的方波经20 10仪器组合分析所得的结果与理论值比较,见表2。从表2中看到,测量值与理论值非常接近,故该仪器组合的测量方案是可信的。应该指出,在测量中,每次都测到数学模型不存在的偶次谐波,其值约为基波 的3%左右。(二)随机振动信号虽然它不
12、能用数学模型来描述,但其功率从统计意义上讲是一定值。从频域看其谱是连续的,在某个具体频率上能量为零,八 表2方波信号测盆值X( f)和理论值X(f )火分、巡数;2:侧太实测值X(f)1实初1 1值X(f、!宋柳1信】X(f、 自波义夕f(Hz)义(f)(dB、!(d B)r(Hz)交(f、 (dB、(dB)!f(Hz)交(f、 (d B 、(aB)。1“1117o 70“ 4, 41921199】“ 9 0248“65“!,” ,3, 5。:“,“。 。 1,。21 8。 ”25_芝 严“ 而在一个窄的频带内具有一定的能量,且能量随带宽的增加而增加,所以要用功率谱密度来度量。某方案处理这类信
13、号是否可信,最好用它来分析一下标准随机信号源产生的窄带随机信号及宽带随机信号,看分析结果是否与信号源给出的频率、频带及谱密度值相符。表3第一次测量信号基频90 1H2,峰一峰值IV,第二次测量信号基频lo45Hz,峰一峰值1.4V,第三次测量信号基频”H:,峰一峰值3Y。窄带随机信号测量值G(f)与理论值G(f) 陪厚!有效G(f)3.16 。1: 。 。不不:测量谱值 G(f)1.0400.08 7现把功率 谱仪DPG一1分析1027信号源产生的窄带随机信号结果列于表3。用2010仪器组合及CF一92 0分析由CF一9 20产生的宽带随机信号的结果列于表4。附(,卜丁X(盆)一按功率谱密度的
14、方法进行处理,乘上截断的时间长度即可:d,“(2 2)然后把其值平(f)二TG(f) (2 3)表礴宽带随机信号测 量值G( f)与理论值G(f )信 号与cF一2 0 信号源: 。1 0分析 c F一9 2。分析二平畏哥哥恶霖阁恶平干二 万恶稠哥受班罗要盔巨表4中给出的理论值是按下式计算的:G (f)*1019(V于/B)二1019(V,一。/6)2/B测量结果还要用假设检验的方法来检验。表3在中心频率为4 00Hz时的测量值与理论值比在2 0Hz时相差较大,故只要检验40 0Hz时的测量即可。在P二9 0 %、K二6 4时查表1得区 l e d0.77一1.37:P0.067V“/Hz镇G
15、(f)成0.1 2 0V“/Hz二90%真值G(厂)二O.IV“/Hz,经一次检验在9 0%可信度下测量的估值区间包含真值。20 10仪器组合分析的宽带随机信号,虽然其值与理论值相差很小,但还是必须用数理统计 的方法给予回答,经检验符合规律。.(三)冲击信号这种信号在一个很短的时间内能量非常大,其时域分布又是不均匀的,但总能量是一定的。从频域看它 同样是一种连续谱,所以要用能量谱密度来度量。数学表达式为;五、20 10仪器组合的应用(一)方法简介首先把要分析的随机信 号送 入WM一8 40波形存贮器,把时基压缩到1/M后循环重现送至20 10分析仪,2 0 10分析仪 由23 07电平记 录仪同步驱动,把分析结果送入2307记录或送到D SS一6521记忆示波器贮存显示,且用X一Y记录仪把结果记录下来。其测量框图见图4。用此组合仪器分析,可使模拟仪器的分析速度大大加快,其加快速率可达几千倍。波存器的使用导致采用引起的频率混淆和截断引起的纹波效应。频平混淆可在采样前先把信号通过低通滤波器来解决;减小纹波则往往用平滑窗口函数。另外也可用下述方法估计其影响。(二)截断的影响把随机信号x (t )截断相当于在时域上乘上一个矩形函数h(t):r1 h(t)二谧 仁0一T/2
