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1、線性代數的基本定理林琦焜前言:最近在AmericanMathematicalMonthly 閱讀到 Gilbert Strang 探討線性代數之文章, 讀後收穫良多, 尤其幾個圖形實在有教學上之價值。 在感動之餘想想何不動手, 以 Gilbert Strang 之文章為藍本, 同時把自己讀書與教學之心得將之整理後, 以與中文之讀者一起分享。此文主要探討的是 Fredholm Altena-tive 定理, 要提醒的是雖然我們僅在有限的空間上討論, 但實際上都可推廣至無限維空間, 而這就是泛函分析 (functional analy-sis) 所研究的主題之一。矩陣的本質:要瞭解線性代數, 最直
2、接且最有動機莫若於從求聯立方程組的解開始。A x = bA : Rn Rm(1)其中 x =(x1,x2xn)T Rn b =(b1,b2bm)T Rm在此向量都是以行向量來表示。 其中 A 是一個 m n 矩陣A=a11.a1na21.a2nam1.amnaij R, 1 i m, 1 j n (2)首先我們將矩陣 A 視為向量。(實際上矩陣是向量的推廣)A=A1,.,An(3)Aj=a1ja2j .amj1 j n(4)有了上述之結果, 我們可將 (1) 式的左邊表為向量的線性組合:A x=a11.a1na21.a2n .am1.amnx1 . .xn12數學傳播十九卷二期民84年6月=A
3、1,.,Anx1 .xn=x1A1+ + xnAn= b(5)註 (A): 如果我們將向量x1 .xn視為矩陣的話, 則 (5) 式同時也告訴我們, 矩陣乘在右手邊其運算為行運算。 (同理乘在左手邊則為列運算。) 而其法則為x1 (第一行) + x2 (第二行) + +xn (第 n 行)(6)註 (B): 由 (5) 式我們也可略窺 “行空間” (column space) 的雛形, 由此角度而言, 求 A x = b 的解, 相當於求所有A1An的線性組合正好等於 b , 即求(x1 xn) Rn使得x1A1+ + xnAn= b註 (C): (5) 式可幫助我們明白矩陣的結合律, 一般在
4、線性代數的課本是將矩陣視為線性變換 (linear transformation), 因此矩陣的結合律可視為是函數之合成的結合律,但這種作法, 對學生而言, 幫助並不大。 在這裡我們希望藉由 (5) 及一些簡單的基本運算來証明矩陣的結合律A(BC) = (AB)C。由(5) 式知向量 A x 為矩陣 A 之行向量的線性組合, 利用這個概念, 我們可以對矩陣的乘法有另一個角度的體會, 給定任一矩陣B = B1,B2,BkBi為矩陣 B 之第 i 行向量, 因此矩陣 A 與矩陣 B 之相乘可表為AB=AB1,B2,Bk=AB1,AB2,ABk即矩陣 AB 的第 i 行向量 (AB)i為矩陣 A乘矩
5、陣 B 的第 i 行向量 ABi。 由 (5) 式知ABi要有意義其先決條件為 Bi為一 n 維行向量, 即矩陣 B 為一 n k 矩陣B=B1,B2,Bk=b11.b1k .bn1.bnk同理, 矩陣 BC 要有意義為 C 為一 kl 矩陣。C = C1,Cl =c11.b1l .ck1.ckl我們現在考慮矩陣之結合律, 由 (5) 式知A(BCi)=A(c1iB1+ + ckiBk)=c1iAB1+ + ckiABk=AB1,ABkc1i .cki=AB1,ABkCi再次利用 (5) 式可得矩陣之結合律A(BC)=A(BC1,Cl)線性代數的基本定理3=ABC1,BCl=A(BC1),A(
6、BCl)=(AB)C1,(AB)Cl=(AB)C1,Cl=(AB)C註 (D): (5) 式告訴我們的還不僅如此。在中學階段就熟知 Cramer 公式, 亦可由此式再加點行列式的性質而得, 當然還是從解聯立方程組開始A x = b此時 A 為一 nn 矩陣向量, x , b 則視為n1 矩陣, 為著簡便用符號 Ai b 表示一 n n 矩陣, 其中矩陣 A = A1An之第 i 行向量為向量 b 所取代, 即Ai b = A1Ai1, b ,Ai+1,An但由 (5) 式並利用行運算基本上是矩陣乘在右手邊之原則得A1Ai1,A x ,Ai+1,An=A1,Ai1,x1A1+ + xnAn,Ai
7、+1,An=A1,Ai1,Ai,Ai+1An10x10001x200 .00xn01=AIi x 因此聯立方程 A x = b 可改寫為AIi x = Ai b 兩邊同時取行列式得(detA)(detIi x ) = detAi b 由 Laplace 展開式或行列式的性質知detIi x = xi,故xi=detAi b detA 這就是 Cramer 公式。基本定理:習慣上, 我們將行空間 (column space)記為 R(A), 明顯地 R(A) Rm。 談了行向量, 行空間自然要提它的孿生兄弟列向量 (row vecter), 列空間 (row space), 記為 R(AT) ,
8、 另要提的子空間如下N(A) x Rn|A x = 0 Rn(7)N(AT) y Rn|AT y = 0 Rm(8)底下我們將注意力都集中在這四個子空間, 當然讀者可能會問為何要探討這些子空間, 實際上所有線性代數上的運算與應用皆可經由子空間的瞭解而來, 例如在中學階段所學利用加減消去法, 代入消去法來求聯立方程組的解, 就是無形中已使用到子空間的某些特性, 其中最重要的一個就是維數 (di-mension) 的不變性。 維數在線性代數中扮演著極重要的角色。定理1: (i) dimR(A) = dimR(AT)(ii) dimR(A) + dimN(A) = n4數學傳播十九卷二期民84年6月
9、(i) 式告訴我們行空間 (colum space)與列空間 (row space) 的維數是一樣的, 如此的描敘還是抽象了一些, 最好的方式還是以例子來明瞭定理的意義。 其實學數學最好的方法即是從“例子”著手。例1:A =0000000200010110434045經過化簡得A 04300002001100000000 3|z 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12、 . . . . . . . .因此dimR(A) = dimR(AT) = 3dimN(A) = 5 3 = 2dimN(AT) = 4 3 = 1對於一般 mn 矩陣, 經過行運算 (或列運算) 後可容易判別上述的關係式例2:A=A1AnB1Br,00,B1Br是線性獨立, 因此 dimR(A) = r, 由定理1知dimN(A) = n r 。線性代數另一個基本定理如下定理2: N(A)R(AT)。這定理告訴我們子空間的正交性 (or-thogonality), 其意義與證明也可從聯立方程組的解來視出端倪。A x= B1 . Bm x= B1 x . Bm x=0 .0取各分量得 B1
13、x = = Bn x = 0 x 與所有列向量 Bi, (1 i m) 垂直 x Bi(1 i m)因此 x Pn i=1bi Bi即 x R(AT), x N(A)所以 N(A)R(AT)同理, 取轉置 (transpose) 矩陣我們有定理 2: N(AT)R(A)。茲以一個圖形來說明上面二個定理線性代數的基本定理5dim R(AT)=rR(AT) xrRnO x = xr+ xn xn N(A)dim N(A)=nrA xr= bA x = 0A xn= 0dim R(A) = rR(A) bRmN(AT)dim N(AT) = m r列空間行空間. . . . . . . . . .
14、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .這 圖 形 說 明 了 幾 件 事 實:(a) Rn上 的 向 量 x 可 分 解 為 兩個 互 相 垂 直 的 向 量。 x = xr+ xn, xr R(AT), xnN(A)(9)或Rn= R(AT) N(A)實 際 上 此 分 解
