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1、第六章 频率特性分析法版本2.0 2011年6月主编修改版制作:罗家祥 审校:胥布工深圳大学 机电与控制工程学院制作-罗家祥 审校-胥布工第六章 频率特性分析n6.1 引言n6.2 频率特性的基本概念n6.3 频率特性图示法n6.4 系统的开环频率特性n6.5 奈奎斯特稳定判据n6.6 稳定裕度n6.7 基于开环对数频率特性的系统性能分析n6.8 闭环频率特性与系统性能指标n6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析n6.10 小结制作-罗家祥 审校-胥布工6.1 引言本章知识体系基于开环对数频率 特性的性能分析 闭环频率特性 与系统性能指标系统开环频率特性 奈奎斯特稳定判据 稳定裕度
2、法频率特性概念 闭环系统的典型 频率特性 频率特性图示法MATLAB应用制作-罗家祥 审校-胥布工6.1 引言n引入频率法的原因：对于某些高阶系统，由于可能 包含数十个以上的储能元件，难于建模和求解。频 率法将系统看作是具有信号处理能力的黑箱，以正 弦波为基本激励信号建立系统的输入输出特性。n频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入 ，通过研究系统的频率响应特性来分析系统性能， 称为频率特性分析法。n优点：图形方式进行系统分析与设计，简单、直观 。将乘法计算转化为简单的加法计算，在频率域中 通过频率指标直接分析系统的性能。不需要求解时 域响应，也不需按照系统工作原理进行微分方程的 建模。制
3、作-罗家祥 审校-胥布工6.2 频率特性的基本概念6.2.1 频率响应与频率特性的定义线性定常系统的频率响应：在零初始条件下，系统对正 弦输入信号的稳态响应。线性定常系统的频率特性：输入：正弦信号；输出：正弦信号，频率不变 ，幅值和相位发生变化。若采用极坐标将系统的正弦输入信号和正弦输出响应表示为 复数，则系统的频率特性定义为： 系统的输出与输入之复数比。制作-罗家祥 审校-胥布工6.2 频率特性的基本概念考虑系统传递函数的一般形式对于稳定的系统 ，pl0和K10/T时，()-90或90 。l1/(10T)1时，奈奎斯特曲线逆时针（与最小相位传递函数情况不 同）包围点(1, j0)一圈，由于P
4、=1，Z=N+P= 1+1=0，闭环系 统稳定；当K0)型系统: 0-和0+ ，G(j)均趋于无限远处, 2) 当=0-0+时，角从90经 0逆时针变化到+90 ，在 GH(s)平面上的映射曲线将沿 着半径为无穷大的圆弧按顺时 针方向转过v180。构成封闭 曲线。广义奈奎 斯特路径I型系统=0-0+ 的映射曲线制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据系统奈奎斯特曲线的正、负频率部分正是通过（6-32） 所述无穷大圆弧彼此衔接形成封闭的曲线.v=1v=2v=3制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据因奈奎斯特曲线的正、负频率部分关于实轴互为镜像，故常只 需正频率部分（: 0+
5、奈奎斯特曲线由0+奈奎斯特曲 线和 0 0+顺时针绕v90的辅助线构成）来判断系统稳定性 。记正频率部分包围 (1, j0)点的权属为N，而F(s)在右半s平 面的零点个数 (T(s)在右半平面的极点个数)Z：Z= N+P =2N+P (6-33)3. 仅从正频率部分判断闭环系统稳定性例6-8 设单位反馈系 统开环传递函数为 v=2，起点：其奈奎斯特曲线起始点+180 (=0+), 终点：0180 ，当=0时， 先增后 减。 0+奈奎斯特曲线和 0 0+顺时针 v90的辅助线构成如图6-48所示。 Z=2N +P=0，闭环系统稳定。制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据4、从正负穿
6、越判断闭环系统稳定性n正穿越：随,频率特性曲线自上而下 穿过负实轴 (-1)区段一次，伴随 相角增加,故称为正穿越；n负穿越：随,频率特性曲线自下而 上穿过负实轴(-1)区段一次，伴随 相角减少，故称为负穿越。半次正、负穿越: 正频率部分奈奎斯特曲线及 对应辅助线起始于(1, j0)点左侧负实轴的算半 次正穿越，反之，终止于(1, j0)点左侧的负实 轴的算半次负穿越。如图6-50。制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据例6-9 已知单位反馈系统的开环幅相频率特性如图6-49所 示，其中，P=0，v=1，试判断系统的稳定性。解：先补充完整负频率部分曲线，用 半径为无穷大的右半圆将,
7、 =0 和 =0+ 处的特性曲线连接起来，如图 6-51所示。 可见：P3负穿越一次，P2正穿越一次。故N- =1，N+=1，即N=-2(N-N+)=0 Z=N+P=0 闭环系统稳定。当K发生变化时，P1，P2，P3位置发生变化， 若 (1, j0)位于点P1和原点之间，或者 在P2与P3之间，系统不稳定。这种参数 无论增大还是减小都可能不稳定的系统称为条件稳定系统。 制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据6.5.4 基于对数频率特性的奈奎斯特稳定判据 正频率部分奈奎斯特曲线与其伯德曲线之间具有以下对应关系： （1）奈奎斯特图的单位圆对应伯德图上的0分贝线；在GH平面上单 位圆内、
8、外区域分别对应0分贝线以下和以上的区域，即L()0的部分。 （2）GH平面上的负实轴对应于伯德图上的180线。 制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯特稳定判据在L()0的区间内，()曲线 自下而上通过180线为正穿 越，而()曲线自上而下通过 180线为负穿越。 当开环传递函数的型别v2 时，相频特性曲线在=0+ 附近小于180，此时可在 对数相频特性曲线=0+附 近自上而下补画一条辅助 线，使该辅助线通过的相 角为v90，如图6-53所示。 计算正、负穿越次数时， 应将补上的辅助线看成对 数相频特性曲线的一部分 。相角增加：正穿越 相角较少：负穿越制作-罗家祥 审校-胥布工6.5 奈奎斯
9、特稳定判据基于伯德图的奈奎斯特稳定判据可表述为： 设开环传递函数GL(s)在右半s平面的极点数为P，且在开环 对数幅频特性L()0的所有频率范围内，对数相频特性曲线及 对应辅助线对180线的负穿越为N ，正穿越为N+，当2(N+ N)=P时，闭环系统稳定；否则，有 Z=2N+P个特征根在右 半s平面，闭环系统不稳定。例6-10 已知一单位负反馈系 统的开环传递函数在右半s平 面的无极点，其开环对数频率 特性曲线如图6-53所示，其中 ，v=2，试判断其稳定性。 Z=2(NN+)+P=2(10)+0=2, 闭环系统不稳定。右半s平面 有2个极点。制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度6.6.
10、1 幅稳定裕度和相稳定裕度稳定裕度是一种基于开环系统频率特性的频域指标，包括幅 稳定裕度和相稳定裕度，它们既可以在奈奎斯特图中表示， 也可以在伯德图中表示，两者存在对应关系。大小对稳定性有重要意义制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度1. 幅值裕度KGM：与负实轴相交时开环 幅相频率特性幅值的倒数。制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度2. 相角裕度：当幅值|GH(j)|=1时开 环幅相频率特性向量与负实轴的夾角 。制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度n对于最小相位系统，欲使系统稳定需保证1或KGM1 .n为保证在许多不确定因素作用下系统仍能保持稳定，应使幅值裕度和相位裕度都足够
11、大。但是， 稳定裕度过大往往会影响系统的其它性能，例如 系统响应的快速性。 n工程上一般选择, =3060, LGM =620dB制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度例6-11 某反馈系统开环传递函数为制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度 开环增益增大了10倍系统稳定裕度依然满足工程上对相位裕度的一般要 求，这在很大程度上得益于零点s+2抵消了其临近极点s+1滞后相位对系 统稳定性的影响，使得相位在相当宽的频段内下降都很平缓。 令GH(j)的虚部为0，求出穿越频率g，计算幅值裕度的精确值。因为截 止频率c的精确值计算复杂,往往需要通过试探法求取。实际应用更多利 用仿真软件直接调用命
12、令计算。制作-罗家祥 审校-胥布工6.6 稳定裕度例6-12 某反馈系统开环传递函数为利用MATLAB得到的伯德图，计 算其幅值裕度和相位裕度分别为 两个闭环系统均稳定，但前者的幅值裕度和相位裕度远大于后者。 忽略开环小惯性环节即便不一定导致系统稳定性的误判，也容易得到错误 的相对稳定性分析结果。 若添加延迟环节，则其所引入的相位滞后随频率增大而增大，也将削 弱闭环系统的相对稳定性，甚至使相位裕度为负值( ex6_16（回车） 运行结果见图6-73、6-74。制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析6.9.2 分析控制系统的性能 1单回路系统 例6-17 小
13、功率角度随动系统（1）忽略传感器与滤波电路 惯性，即T1=0。设K=10，试 判断系统是否稳定。解：开环传递函数为奈奎斯特曲线如图6-73 ，不 包含(1, j0)点，系统稳定。制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析（2）令T1=0，试判断是否可通过调整K值，使系统相位 裕度30。解: 绘制伯德曲线需要给定K。由于K 的取值不会影响相频特性，因此可先 令K=10。伯德图如图6-74所示，相位 裕度约为18，不满足要求。减小K可以使对数幅频特性下降，截 止频率c左移，从而增大相位裕度。 利用伯德图，找到相位为150的点， 其对应频率约为1.7rad/s。该频
14、率下幅 值约为9.4dB，故应将20lgK减小9.4dB ，此时K3.3，则截止频率落于1.7rad/s 左方，相位裕度大于30。制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析（3）若滤波电路惯性、电机电磁惯性和功率放大器惯性的总 效应不能忽略，可将其影响等效为一个一阶惯性环节1/(0.2s+1) ，此时开环传递函数为K/s(s+1)(0.2s+1)。试判断是否可通过 K值，使系统相位裕度30。 解: 编写ex6_17_3.m文件，求出新 的开环传函的伯德图，见图6-76。其 相位裕度约为13.3，不满足要求。在相频特性曲线找到相位为150 的点，对应频率约为1.
15、08rad/s。对数 幅频特性需要下降约6dB才能使截止 频率落于1.08rad/s左方，即需将K减 小至小于1.65。将K改为1.65，重新 执行ex6_17_3.m文件，可得此时相 位裕度约为30.2，满足要求。制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析两者的幅频特性在低频段几乎 没有差别，只是后者的相频特性 在中频段开始明显滞后于前者， 因而相位裕度较小。实际系统的闭合回路中一般都 存在很多小惯性环节，即使每一 个对系统的影响都很小，但是其 总体效将可能显著降低系统的稳 定裕度，因而不能轻易忽略。若 小惯性环节具有高频谐振特性， 则对系统的稳定裕度影响更
16、大。本例中（2）与（3）之间只相差了小惯性环节1/(0.2s+1)，为比较 该差别对系统特性的影响，可编写218页M文件ex6_17_23.m 并执行，结果如图6-77所示 。制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析2双回路系统设某双回路系统的结构如图6-78所示，且K1，K20。 （1）试计算K2=1.3时局部反馈回路的稳定裕度。 （2）试计算K2=1.3时，K1的稳定域。解：分步求解如下： （1）当K2=1.3时，局部反馈回 路的开环频率特性为编写M文件ex6_18.m见219页，画出 伯德图（图6-79）。输出稳定裕度 Lg_L =Inf制作-罗家祥 审校-胥布工6.9 利用MATLAB进行控制系统的频
