代数推理问题的思维方略

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1、2 0 1 5年 第 1期 中学 数学 月 刊 4 9 编者按 ： 为了更有效灵活地运用数学思想方法解决问题， 从本期开始， 我们约请江苏省部分特级教 师针对数学解题 中的热点问题( 代数推理 问题 、 开放探 究问题 、 应 用问题 、 新型题) 和重要数 学思想方法 ( 分类讨论 、 数形结合 、 转化与化 归、 函数与方程) 撰写 系列文章， 以飨读者 代数 摊 理 题 的 粤谁 方略 吴 宝莹 ( 江苏省锡 山高级 中学 2 1 4 1 7 4 ) 代 数推 理 问题是 以代 数 知识 为 背 景 ， 通过 适 当问题载体 ， 以演绎的方式， 经过逻辑推理获解的 数学问题 它要求较高的

2、抽象思维能力和数学形 式化的推理论证能力， 具有较高的思维严谨性 代数推理一般很难借助于直观图形 ， 比几何 论证更抽象 ， 思维能力 、 逻辑论证要求更高， 更能 检测 出学 生抽 象思 维 能 力 的层 次 ， 对 学 生 的 综合 能力提出了较高的要求 代数推理 问题在 中学数 学 问题 中 占有 重要 位置 ， 是 高考 的热点 题 型 ， 而 且 在高考中一般处于靠后 的位置 ， 属 于把关性质的 试题 1 代数推 理 问题的思维过程 代数推理 问题大多 以函数 、 方程、 不等式 、 数 列 、 数论 等知 识 的交汇 综合 部分 为背景 ， 考 查思 想 方法 的结合点 ， 要求

3、较高的抽象逻辑思维能力 ， 但 是解答代数推理题也有一定的规律可循求解代 数 推 理 问 题 的 一 般 思 维 过 程 是 ： ( 1 )领 会 题 意 就是弄清题 目的条件 与结论 中的文字及符 号表述 ， 并进行观察、 比较、 分析 、 综合、 抽象与概 括 ， 领悟其数学实质 ， 为制订解题方略作准备 ； ( 2 ) 明确方 向 在审题的基础上 ， 运用代数推理问 题常用 的思想方法 ， 对题设信息进行提取、 转化、 加工和传输 ， 从而明确解题的 目标与方向； ( 3 )分 析求解 采用适当的步骤 ， 合乎逻辑地进行推 理和运算 ， 实现解题 目标 ， 并加 以正确表述 2 代数推理

4、 问题 的解题 思想方法 代数推理问题的解题思想方法主要有分类讨 论 、 等 价转 化 、 从 特殊 到 一般 、 归 纳 与演绎 、 函数 与 方程、 分析与综合、 正难则反、 探索与推理等 抓住 所研究 问题 的条件 与结 论的本质特 征和 内在联 系， 综合利用这些方略方法， 代数推理问题一般还 是可 以解决 的 2 1 各个 击破 分类讨 论 例 1 设 4 ， 口 l ， n 2 ， ， a 是 开 区 间 ( 0 ， 2 n )内互 不 相 同的整数 ， 证 明 ： 存 在 n ， a ： ， ， n ) 的一个子集 ， 它 的所有元素之和被 2 整除 解析 可 以对 是 否属 于

5、 n ， 。 ， ， a ) 进 行分 类 ( 1 ) 若 硭 n 1 ， n 2 ， ， 口 ， 贝 0 2 个数 n 1 ， n 2 ， ， a ， 2 n 一日 l ， 2 n n 2 ， ， 2 一n 均 只能取 1 ， 2 ， ，2 n 一 1 这 2 一 1 个值 ， 由抽屉 原理 知必有 两个 数相等 ， 但 a l ， 口 2 ， ， n 互不相等， 2 n n 1 ， 2 n 日 2 ， ， 2 n a 也互 不相 等 ， 故 只可能 =2 n 一口 ， ， 又 因为 口 ” ， 口 ， ， 所 以 i J且 口 +n ， 一2 n ， 结论 成 立 ( 2 ) 若 n 1

6、， n 2 ， ， n ， 不妨设 口 一 ， 考 虑 n一 1 个 数 n ， n ”， n ， 在 其 中任 取 3个 数 n O )不被 整 除 考 虑 下列 个 数 ： a l ， n 2 ， n 1 +n 2 ， 口 1 +n 2 +n 3 ， ， a 1+ n 2+ + n 1 若这 个数关于模 的余数两两不 同， 则 其 中必有一个被 整除 令此数 为 ( 是为正整 数) 若 k为偶数 ， 则结论成立 若 k为奇数 ， 则将 此 数加 上 a 一 ， 知结 论也成 立 若这 个数中有两个关于模 n同余 ， 则它 们之差能被 整除， 但 n n 不被 整除， 这个差 必是 a ，

7、n z ， ， n ，卜 中若 干个 数 ( 至 少 一个 数 )之 和 ， 于是 同 可证 结论也 成 立 2 2 化生 疏为 熟悉 等价 转化 等价转化是 问题解决 的主要手段 ， 问题的解 决过 程实 际上 就是 一步 步 的等 价转 化用 于 表述 代数推理问题的符号语言较为抽象 ， 要经过一番 推敲 ， 揣摩 其言 下之 意 ， 化 生疏 为熟 悉 实施等 价转 化代数推理一般很难借助于直观 图形 ， 但并不 是一定不能以形助数， 有时也可以借助图形 ， 化抽 象为直观 ， 提醒我们思维的严谨性 例 2( 2 0 1 4年 苏锡 常 镇 四 市 高三教 学 情 况 调 查 第 2 0

8、题 改编 )已知 函数 f ( x) 一iX一 2 1 n X 一 ， g ( x ) 一三 睾， 其中i为实数 若 V 。 ( 0 ， e ， 5 0 中学数学月刊 2 0 1 5年第 1期 t ， t 2 ( O ， e ( 其中t t ) ， 使得 f ( t ) =厂 ( 2 ) 一g ( x 。 )成立 ， 求 的取值 范 围 分析 “ 若 V 。 ( 0 ， e ， t ， t ( 0 ， e ( f t 。 ) ， 使 得 _厂 ( t ) 一-厂 ( t ) 一g ( 。 ) 成 立” 是较 为抽 象的代数符号语言 ， 要进行“ 数”与“ 形”的转化， 必需 反复 多次转 化

9、这里 可 以搭 建思 维 的脚手 架 首 先 ， “ 若 V z 。 ( O ， e ， 了t ( 0 ， e ， 使得 ( f ) 一 g ( x 。 ) ”其言 下之 意就是 “ g ( ) 的值域 是 f ( x)的 值域的子集” ； 其次， “ t ， t ( 0 ， e ( 其 中 t t ) ， 使得 f ( t ) 一f ( t z ) 一g ( x 。 ) 成立” ， 可以转化 为“ g ( x )的值 域 是 f ( x) 的值域 的子 集而且 f ( i) 在 ( 0 ， e 上 先增 后减 或先 减 后 增” ( 如 图 1 所 示 ) ， 这样 “ 数 ”的问题转 化

10、为“ 形 ”的问题 ， 然后 再转 化 为“ 数”的问题 ： 研究函数 f ( x ) ， g ( x )的值域 ， 而 f ) 且满 足 函数 f( x )单调 性 的转 折 点 ( 0 ， e ) m 解 g 1 ( -z ) ： _型 ， 令 g ( z ) 一0 ， 得 一 1 当 z ( O ， 1 时 ， g ( ) 0 ， g ( x) 单调递增 ， z 1 ， e 时 ， g ( ) 专 此时厂 ( ) 在( o ， 兰m ) 上递减 ， 在 ( 2 ， e ) 上 递 增 ， 所 以 厂 ( e ) 1 ， 即 ( e ) 一 e 一 2 一 1 ， 解得 由 得 pl DI

11、 因 为1 ( o ， e ， 所 以 _厂 ( ) 厂 ( 1 ) 一 0 成 立 下 证 ： 存 在 ( o ， 2 ， 使 得 厂 ( ) 1 取 t e， 先 证 e 一 0 n 设 ( z) =2 e 一z， 则 ( z) =2 e 一 1 0 在 ， + 。 。 ) 上 时 恒 成 立 故砌 ( ) 在 - ， + 。 。 ) 上 时 为 增 函 数 ， 从 而锄 ( z ) ( ) o ， 故 成 立 再 证 ， ( e 一 ) 1 因为 f ( e 一 ) 一 e 一 十m 1 ， 所以 时， 命题成立 综 上 所 述 ， 的 取 值 范 围 为 l ， + ) 评 注 解决

12、本题 的关 键 是 g ( x )的值 域 ( O ， 1 是 f ( x) 的值域的子集 显 然 厂 ( ) 厂 一 0 再 ) 考查 区间 ( 0 ， e 的右端 点 _厂 ( e )= = = me 一2一m 1， 解 得 后 ， 要考查区 间( O ， e 的左端点， 当z Y= ) ? f _ “ 图 2 f 0 ， l 时， 必须存在 z， 使得 f ( t ) ：= ： g ( x 。 ) ( 如图 、 l 2 ) 这里 图象 就很 直观地 提 醒我们 思维 要严 谨 ， 需 ， ) 1 要 证 明 “ 当 ( o ， 三m l 时， 必 须 存 在 ， 使 得厂 ( z ) 1

13、 ” ， 但 此 时可 能又会 有这 样一 种做法 ： 当 z一 0 时 ， f ( x) 一 一 2 1 n z m一+。 。 ， 所 以 g ( x) 的 值域( O ， 1 是 ， ( z)的值域的子集 这样用极 限的 思 想说 明 当 无 限小 时 ， 一 定有 f( x ) 1 ， 只 是 定性的， 不严谨 ， 而解答 中严 格证明了存 在 z一 0 e-m ， ( o ， l ， 使 得厂 ( z ) 1 这 里 很 好 地 培 养 了学 生严谨 的理性精 神 和科学 态度 1 2 3 投 石 问路 从 特殊 到一 般 例 3 已知若干个正整数之和为 2 0 1 3 ， 求其 积

14、的最 大值 解析 本题 初看 觉得 条件 太少 ， 解题 路径 很 难 寻找 ， 但结 合 已有知 识慢 慢尝试 ， 可 以得 到一 些 有用信息 比如 2 0 1 3拆成两数之和 ： 2 0 1 1 24 时， z 不是最大， 因为 2 0 1 5年第 1 期 中学数 学月 刊 5 1 1 - I 一 。 2 7 0 ) ， 设 厂 ( ) 为 f ( ) 的导数 ， ( z )+ z + ) 一 cos( z + ) ( z + ) = s in ， 所以 ( 愚 + 1 ) ( ) + 厂 ( ) 一 s in z + ， 所 以 当 一 是 + 1 时 ， 等 式 也 成 立 综 合 (i ) ( ) 可 知 ， 等 式n f ( )+ x f ( ) 一 s in ( + ) 对 所 有 的 E N 都 成 立 令z 一 詈 ， 可 得 一 ( 号 ) + 厂 ( 手 ) 一 s in ( - + 警1 ( E N ) ， 所 以 1 f (手 ) + 手 厂 ( ) I一 c E N 评 注 数学 归 纳 法 是证 明与 正 整 数有 关 的 无 穷 问题 的常用 方法 ， 这 种 方 法 以有 限为 基 础 探 证无穷 ， 是科学严谨合乎逻辑的 本题主要考查探 究 能力 及运 用数 学归 纳法 的推