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1、 - 1 - 2001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析理工数学二试题详解及评析 一、填空题一、填空题 （1）2131lim2xxx xx+=+. 【答】 2 6 【详解】 2131lim2xxx xx+=+() ()()12 11lim1231xx xxxx+111lim222 6xx= +=(2)设函数( )yf x=由方程()2cos1x yexye+=所确定,则曲线( )yf x=在点()0,1处的法线方程为 . 【答】 220.xy+= 【详解】在等式()2cos1x yexye+=两边对x求导,得 ()()()22sin0,x ye
2、yxyyxy+= 将0,1xy=代入上式,得( )02.y= 故所求法线方程为 11,2yx = 即 220.xy+= (3)()32222sincosxxxdx+=. 【答】 8【详解】 在区间,2 2 上,32cosxx是奇函数,22sincosxx是偶函数, - 2 - 故 ()32222sincosxxxdx+=()3222222221cossincossin 24xxxx dxxdx+=()2211 cos48.8x dx=(4)过点1,02且满足关系式2arcsin1 1yyx x+= 的曲线方程为 . 【答】 1arcsin.2yxx= 【详解】 方法一: 原方程2arcsin1
3、 1yyx x+= 可改写为 ()arcsin1,yx= 两边直接积分,得 arcsin.yxxc=+ 又由10,2y=解得1.2c = 故所求曲线方程为： 1arcsin.2yxx= 方法二: 将原方程写成一阶线性方程的标准形式 211.arcsin1arcsinyyxxx+= 解得ye=()1 21arcsin 211 arcsin1arcsin1,arcsindx xxdx cedxxxxecxx + =+ 110.22yc= - 3 - 故曲线方程为： 1arcsin.2yxx= (5)设方程123111111112axaxax = 有无穷多个解,则a= . 【答】 -2 【详解】 方
4、法一: 利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有 2111112111011311201112aaAaaaaaaa = +MMMMMM() ()()()112 0113,001222a aaaaa +M MM可见,只有当2a= 时才有秩( )( )23,r Ar A=则( )fff x等于 (A)0. (B)1. - 4 - (C)1,1,1.0,xx (D)1,0,1.1,xx 【 】 【答】 应选(B). 【详解】 因为( )1,f x 于是 ( )1,ff x=从而 ( )1.ffx=故正确选项为(B). (2)设当0x 时,()()21 cosln 1xx+是比sinnxx高阶的无穷小,s
5、innxx是比()21xe高阶的无穷小,则正整数n等于 (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 【 】 【答】 应选(B). 【详解 由题设,知 ()()222 3 300001 1 cosln 11112limlimlimlim0.sin22n nnnxxxxxxxxxxxx xx +=n应满足2;n 又由21 1 2000sinlimlimlim0,1nn nxxxxxxxxxe+ =知2.n 故2.n = 因此正确选项为(B). (3)曲线() ()2213yxx=的拐点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 【 】 【答】 应选(C). 【详解】 因为 - 5
6、- ()()()4123yxxx= ()24 31211 ,yxx=+ ()242 .yx= 令y0,=即2312110,xx+=因为2124 3 11120, = =所以0ny =有两个根,且不为2,因在此两点处,三阶导数y0,因此曲线有两个拐点. 故正确选项为(C). (4) 已 知 函 数( )f x在 区 间()1,1+内 具 有 二 阶 导 数 ,( )fx严 格 单 调 减 少 , 且( )( )111,ff=则 (A)在()1,1和()1,1+内均有( ).f xx (C)在()1,1内, ( ),f xx (D)在()1,1内,( ),f xx在()1,1+内, ( ).f x
7、x= 在()1,1+内，( )1fx即 ( )( )( )( )11,11.ff xx ff xx = 对应( )yfx=图形必在x轴的上方，由此可排除（A） ， （C） ； 又( )yf x=的图形在y轴右侧有三个零点， 因此由罗尔中值定理知， 其导函数( )yfx=图形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）. 三、三、求()22. 211dxxx+【详解】设tan ,xt=则2sec.dxt= 原式()22222seccossin 2sincos1 sinsec2tan1tdttdtdt ttttt=+()2arctan sinarctan. 1tCxC x=+=+
8、四、四、求极限sinsinsinlim,sinx txtxt x记此极限为( ),f x求函数( )f x的间断点并指出其类型. 【详解】方法一： 原式sin sinsinsinsinsinsinlim 1,sinxxxtxxxtxtxex=+=即 ( )sin,x xf xe= 显然( )f x的间断点为： ()0,1, 2,xxkk= L 由于( )sin00limlim,x xxxf xee = 所以0x =是函数( )f x的第一类（或可去）间断点； 而 ()( ) ()sinlimlimx xxkxkf xe =与 ()( ) ()sinlimlimx xxkxkf xe +=均不存
9、在， 故()1, 2,xkk= L是函数( )f x的第二类（或无穷）间断点. - 8 - 方法二： 原式sinlnsinsinsinsinlnlimsinsinsinlim,sinxt txxtxxt txxtxxeex= 故( )sinx xf xe= 求间断点并指出其类型同方法一. 五、五、设( )x=是抛物线yx=上任一点()(),1M x yx处的曲率半径，( )ss x=是该抛物线上介于点()1,1A与M之间的弧长， 计算2223dd dsds的值. （在直角坐标系下曲率公式为 ()3 221yK y= +） 【详解】311,24yyxx= 抛物线在点()(),1M x yx处三维
10、曲率半径 ( )()()3 223 2 11141.2yxxKy+=+ 抛物线上?AM的弧长 ( )211111,4xxss xy dxdxx=+=+故 ()1 21 34142 26114dxddx dsds dxx + = +221616 214114ddd dsdsdxdsxx dxx=+因此 ()223 22163341369241ddxxdsdsx= +=+- 9 - 六、六、设函数( )f x在)0,+上可导，( )00,f=且其反函数为( ),g x若( )( )20,f xxg t dtx e=求( )f x. 【详解】 等式两边对x求导得 ( )( )22xxgf xfxxe
11、x e=+而 ( ),gf xx=故 ( )22xxxfxxex e=+. 当0x 时，有 ( )2xxfxexe=+ 积分得 ( )()1xf xxeC=+ 由于( )f x在0x =处连续，故有 ( )( )() 000limlim10,xxxff xxeC +=+=得 1C = 因此 ( )()11.xf xxe=+ 七、七、 设函数( )( ),f xg x满足( )( )( )( ),2,xfxg xgxef x=且( )( )00,02,fg=求( )( ) ()20.11g xf xdxxx +【详解】 方法一： 由 ( )( )( )2,xfxgxef x= 于是有 ( )(
12、) ( ) ( )2, 00,02,xfxf xe ff+= = =解得 ( )sincos.xf xxxe=+ - 10 - 从而有 ( )( ) ()( )()( ) ()( )()( ) ()( )( )( )( )220020001 111111011|g xf xg xxf xdxdxxxxfxxf xf xdxdxxf xffx+=+ +=+=+11e +=+方法二： 如方法一先求出( )f x的表达式，再用分部积分法求定积分： ( )( ) ()( )( )( )( )( )( )( )( )( )2000000001 1111111=0111|g xf xg xdxdxf x
13、dxxxxg xf xfxdxdxxxx fg xg xfdxdxxx=+=+11e +=+八、八、设L是一条平面曲线，其上任意一点()(),0P x yx 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点1,02. （1） 试求曲线L的方程； （2） 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小. 【详解】 （1） 设曲线L上过点(),P x y的切线方程为(),YyyXx=令0,X =则得该切线在y轴上的截距为,yxy 由题设知22,xyyxy+= 此为一阶齐次微分方程，令,yux=将此方程化为 - 11 - 2, 1dudx xu= +解得 22,yxyC+= 由L经过点1,02知 1,2C = 于是L的方程为： 221,2yxy+= 即 21.4yx= （2）设第一象限内曲线21.4yx=在点(),P x y处的切线方程为 ()212,4Yxx Xx= 即
