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1、高等数学基础班何先枝第 1 页考研数学真题大解析（数学一至三）考研数学真题大解析（数学一至三）考研数学真题大解析（数学一至三）考研数学真题大解析（数学一至三） 本书特色及销售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点： 本书最大亮点在于独创方法的使用独创方法的使用独创方法的使用独创方法的使用及大量图形的配备大量图形的配备大量图形的配备大量图形的配备， 既帮助 考生扩散思 维，又助于考生通俗理解基本原理。 1.1.1.1.体例新颖体例新颖体例新颖体例新颖 分类纵览分类纵览分类纵览分类纵览 对14年试题所涵盖的考点与题型进行归类。 历年试题历年试题历年试题历年
2、试题 对全国硕士研究生入学统一考试试题成套呈现。 试题解析试题解析试题解析试题解析 对每一套试题集中进行解析。 答案答案答案答案 客观题先给出最终结果，以便考生在自测之后对照。 考点指南考点指南考点指南考点指南 指出题目所考查的知识点，命题的目的等。 思路分析思路分析思路分析思路分析 分析从何处入手解答题目。 解答过程解答过程解答过程解答过程 对题目进行具体解答。编者尽量给出多种方法解答 同一题目，其中既 包含常用方法、 经典方法， 也包含一些原创的但行之有效的快 捷方法。 综合点评综合点评综合点评综合点评 对解题方法进行归纳，对基本结论进行总结，对涉 及的定理、性质、 公式进行整理， 指出解
3、题中应注意的问题，对在解答过程中未 详细展示的步骤给予说 明与解释。 2.2.2.2.独创快捷方法的开发独创快捷方法的开发独创快捷方法的开发独创快捷方法的开发 大多数数学题目都有多种方法可灵活解答， 特别是硕士研究生 入学考试题目。本 书编者在试题研究上花费巨大心血， 在书中展示了研究生考试 真题的巧妙之处及精巧 的解答方法。例如对不等式用拆分法进行快速证明等。 3.3.3.3.原创大量图形的设计原创大量图形的设计原创大量图形的设计原创大量图形的设计 图形有助于数学题目的理解， 合适的图形能帮助考生理清题目 条件之间的关系， 拨开云雾干扰，看到原理、性质的本质。本书配备诸多“进程 图”（即根据
4、参数的变 化给出不同区间上的图形） 帮考生动态了解定理与方法的内在 联系。例如根据分布密 度求分布函数时， 若分布密度是分段函数，则对分布函数需进 行自变量取值讨论，编 者对此问题给出了多个图形， 考生可以清楚地看到自变量的变 化引起的积分区间的不 同，从而全面地求出分布函数。 4.4.4.4.分册装订，便于携带使用分册装订，便于携带使用分册装订，便于携带使用分册装订，便于携带使用 每个卷种中的 14 套真题分别分册装订，方便考生使用，减轻 考生携带负担。高等数学基础班何先枝第 2 页考研数学强化必做考研数学强化必做考研数学强化必做考研数学强化必做660660660660题题题题 本书特色及销
5、售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点：本书特色及销售推荐卖点： 本书的核心优势在于专攻专攻专攻专攻“大题大题大题大题”的解题思路的解题思路的解题思路的解题思路、技巧技巧技巧技巧，是一本 战胜“大 题”的绝密宝典。 1.1.1.1.独家解题绝招大揭秘独家解题绝招大揭秘独家解题绝招大揭秘独家解题绝招大揭秘 集中汇总、详解 “大题”解题思路、技巧，帮助读者从更高 的层面知道有哪些答 题的高招，哪些巧妙的技巧，考场作答又快又准确。 2.2.2.2.题目精选重视规律题目精选重视规律题目精选重视规律题目精选重视规律 660道题目道道精选，具有高度代表性；题解准确规范，全面 盘点方法技
6、巧和规 律结论，攻克一道题等于攻克一类题！ 3.3.3.3.重效率不重题量重效率不重题量重效率不重题量重效率不重题量 不搞题海战术，最大限度提高考生求解“大题”的综合能力。 书中的每一道题都 具有高含金量，做每一道都有超值收获！以上图书均可在万学海文全国各教学点、 各网上书店和各地新华书店优惠价格购买。第一章 函数、极限与连续 四、典型例题 题型 1 函数及其性质【例 1.1】设函数 =, 1|, 0, 1|, 1)(xxxf则_)(=xff。解分段函数的复合。 法（由内到外）1|)(|xf（Rx） ，)1)(Rxxff= （。法（由外到内）11|)(|, 0, 1|)(|, 1)(= =xf
7、xfxff（Rx） 。评注 复合要点：依据内层函数的值域在外层函数定义域的位置来选择相应的函数式。 方法：由内到外，或由外到内，根据具体情况选择最简方法。 函数的抽象性（符号运算， “套公式” ） 。 必要时，画出内层函数的图像，再在纵轴方向依外层函数定义域分割成多个带形区域， 有 助于转化自变量的范围与确定对应函数式。高等数学基础班何先枝第 3 页扩展与演变：_)(=xfff，_)(10=dxxff，间断函数的复合可能连续的反例，等等。【例 1.2】已知,1)(,sin)(2xxfxxf=则_)(=x，其定义域为。解反解复合函数中间变量。21)(sin)(xxxf=，)1arcsin()(2
8、xx=（22x） 。评注定义域由1112x可得为202x，即22x。【例 1.3】函数xexxxf2sintanln)(=是（） 。（A）偶函数 （B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数 答案 （B）解函数的定义域是20k+），（, 2 , 1 , 0=k） 。法 1（排除法）显然，函数定义域是)212,212(),2, 0(+kk（, 2 , 1=k） ，不是关于0=x对称的数集，因此，无奇偶性可言，排除（A） 。tan00tan=，)()0(ff=，从而，)(xf不单调，排除（D） 。xln是非周期函数，)(xf不是周期函数，排除（C） 。法 2（直接法）)(xf是无界函数。10sin2
9、=eex，且当ex时，1lnx，当ex时，|tan|)(|xxf。对任意大的0M，存在)2,(arctan0kkMx+=，使得Mxf)(，)(xf在其定义域内是无界函数。评注xxeexxxex xxxxxxtanlnlimlimtanlnlimtanlnlim 00sin00sin022+=0lim11lim)(1lnlimlnlimtanlnlim 02000tan0= = +xxxxxxxxx xxLxxxxx，0=x是右侧的可去间断点。高等数学基础班何先枝第 4 页如何说明不是周期函数？反证法：假设)(xf是周期函数，且其周期是0T，则)2()1 () 1 (TfTff+=+=（因为01
10、ln =） ，即)2(sin)1 (sin22)2tan()2ln()1tan()1ln(0TTeTTeTT+=+=，注意到0, 0, 0)2ln(, 0)1ln()2(sin)1(sin22+TTeeTT，故只有)2tan(0)1tan(TT+=+，即kT=+1，nT=+2，两式相减可得)(1kn=，这里nk,均为正整数，矛盾。【例 1.4】设函数)(xf满足)() 1(xfxf=+（+，使得在),(1+aa内1|)(|Mxf；存在02，使得在),(1bb内2|)(|Mxf。),()(baCxf，,)(21+baCxf，从而，)(xf在,21+ba上3|)(|Mxf。于是，存在,max321
11、MMMM=，使得对任意的),(bax均有Mxf|)(|。初等函数在其定义区间内连续。 题型 2 极限的求法【例 1.6】设数列nx与ny满足0lim= nnnyx，则下列叙述中正确的是（） 。（A）若nx发散，则ny必发散（B）若nx无界，则ny必有界（C）若nx有界，则ny必为无穷小（D）若nx1为无穷小，则ny必为无穷小答案 （D） 解法 1（反例法）取0=nnyx，排除（A） ；取nnynxnn1sin1,2=，排除（B） ；取nyxnn= , 0，排除（C） 。法 2（直接法）0lim= nnnyx，01lim= nnx，由极限四则运算法则可得：01limlim)1(limlim= n
12、nnnnnnnnnnxyxxyxy。评注 重视反例法用于排除某些选项的能力的培养与训练，善于从简单函数（数列）中寻找合适 的反例。此处举反例一定要满足总条件0lim= nnnyx，否侧排除某些选项的理由就不充分了。高等数学基础班何先枝第 6 页有限个无穷小的积是无穷小。 【例 1.7】下列极限正确的是（） 。（A）1sinlim= xxx（B）11sinlim= xx x（C）11sin1lim= xxx（D）1sinlim= xxx答案 （B）解111sin lim1sinlim= xx xx xx。评注识别重要极限，等价变形重要极限。*【例 1.8】设nnyax，且0)(lim= nnnx
13、y，a为常数，则数列nx和ny（） 。（A）都收敛于a（B）都收敛，但不一定收敛于a （C）可能收敛，也可能发散（D）都发散 答案 （A）解nnyax，且0)(lim= nnnxy，)(00nxyxannn，由夹挤准则可得：0)(lim= nnxa。由极限的四则运算法则可得：axaaxnnnn= )(limlim，axxyynnnnnn=+= )(limlim。*【例 1.9】设nnnyax，且0)(lim= nnnxy，nx,ny,na均为数列，则nna lim（） 。 （A）存在且等于 0（B）存在但不一定等于 0 （C）一定不存在（D）不一定存在 答案 （D）解nnnyax，且0)(li
14、m= nnnxy，)(00nxyxannnn，由夹挤准则可得：0)(lim= nnnxa。)(00nxyaynnnn，由夹挤准则可得：0)(lim= nnnay。由此可得，nx,na可能同时收敛，也可能同时发散。评注0)(lim= nnnxy表明nx与ny无限接近，但与是否无限接近于某个常数是两码事。因此，介于两者之间的动点na也随之飘忽不定。反例：?高等数学基础班何先枝第 7 页例 1.8 与例 1.9 相比，可知例 1.8 中a是常数（重要的条件） ，而例 1.9 中的na是数列（变量） 。【例 1.10】_)22 11(lim222=+nnnn nnnnn.解观察： n项和数列极限。 不
15、能直接应用极限四则运算法则的加法法则，因为这里实际上是无穷多项（项数随着n的 变化而变化） 。换个思路：观察各项可知分母最大的是nnn+2，最小的是12+nn，nnnn nnnnnnnn nnnnn +=+2222222 1121 )(2) 1(1212+nnn ) 1(2) 1(2+=nnnn,（各项分子不变，把分母放大或缩小）21 )(2) 1(lim) 1(2) 1(lim22=+=+nnnnn nnnnnn,由夹挤准则可得：原式21=。评注2) 1(1+= =nnknk,6) 12)(1(12+= =nnnknk.【例 1.11】_sinarctanlim30=xxxx。解00型未定式。由洛必达法则可得
