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1、微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 21 3.2 曲面上曲线的曲率曲面上曲线的曲率 上面介绍了曲面的第二基本形式， 它是曲面到其切平面有向距离的 2 倍，它刻画了曲面的弯曲性。曲面在一点沿不同方向弯曲程度不同，或说曲面离开切平面的速度不同。这个弯曲性可由曲面在一点沿这个方向的一种曲率（即法曲率）来刻画。为介绍法曲率，我们先看曲面上的曲线在一点的曲率。 一一 曲面上任一曲线的曲率曲面上任一曲线的曲率 设2C类曲面 S：( , )rr u v，P(u,v)为其上一点，S 上过 P 点的一曲线（C）方程为 u=u(s),v=v(s) ，或( ) ( ), ( )rr sr u s
2、 v s，S 为曲线(C)的自然参数， (C)在 P 点的曲率为 k，则有cos，其中为曲线(C)在 P 点的主法向量与曲面在 P 点的单位法向量n的夹角。 证 设, 为曲面上曲线 (C) ：( )rr s在P点 的 单 位 切 向 量 与 主 法 向 量 ， 则,cosrrr nn 。 另一方面22r ndsr nds ， 所以 cos= 22222 2LduMdudvNdv EduFdudvGdv 。 说明：对于曲面上已给定点和曲面曲线在该点的切方向，上式右端都有确定的值。 因此若在曲面上一个给定点给出相切的两条曲面曲线，且它们有相同的主法向量，则它们的主法向量与曲面在这点的法向量所成的角
3、度也相同，所以据上式，它们的曲率 k 也相同。特别nP微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 22 的， 曲线(C)在 P 点的密切平面与曲面的交线就与(C)在 P 点有相同的切线和主法线,所以曲率相同。因此对于曲面曲线曲率的研究可以转化为这曲面上一条平面截线的曲率的讨论。 所以这一小结讨论的是曲面在一点沿一方向的不同曲线， 曲面离开切平面的速度。 二二 曲面上法截线的曲率曲面上法截线的曲率 给出曲面S上一点P和P点处的一个方向(d)=du:dv,设n为曲面在P 点的单位法向量，则由 P 和(d)、n确定的平面称为曲面在 P 点的沿方向(d)的法截面法截面 ， 这法截面与曲面的
4、交线称为曲面在 P 点沿方向(d)的法截线法截线。 设曲面在 P 点由方向(d)所确定的法截线为0()C，0()C在 P 点的曲率为0，由于0()C的主法向量0,0n 或，所以0（0）为 0= 。 当n与0同向，即法截线向n的正向弯曲时，取“+”， n与0反向，即法截线向n的反向弯曲时，取“”。 nn00du:dvdu:dv0(C )0(C )微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 23 可见，曲面上 一点在一方向上的弯曲性仅由0（0）还不能完全确定，还要考虑曲面的弯曲方向，因此再引入法曲率的概念。 三三 法曲率法曲率 定义定义 曲面在给定点沿一方向 du:dv 的法曲率记为n
5、，定义为 注：1. 由定义及0 ，得n； 2. n的绝对值是法截线的曲率0。n不仅刻画了曲面在 P 点沿方向 du:dv 的弯曲程度，还说明了弯曲的方向：曲面向正侧弯曲时n0；曲面向负侧弯曲时n0 . 3. 由前面例题知，半径为 R 的球面上任一点处沿任意方向的法曲率1nR或1nR ； 平面上每一点处沿任意方向的法曲率为n0； 4. 设曲面上过曲面上一点 P 的一曲线( )C和过 P 与( )C相切的法截线为0()C，( )C与0()C相切的方向是 du:dv，( )C在 P 点的曲率为 k,曲面在 P 点沿方向 du:dv 的法曲率为n，则由cos和n可得cosn。 由此可知， 曲面曲线的曲
6、率都可以转化为法曲率来讨论。 5. 设法截线在 P 点向n的正向弯曲,则0n ,这时0n。则法截线0()C的曲率半径01nR。在 P 点曲线( )C的曲率半径1R。则由cosn知cosnRR。 cosnRR的几何意义可以由梅尼埃定理表述。 00n 当 法 截 线 向 n的 正 侧 弯 曲当 法 截 线 向 n的 反 侧 弯 曲微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 24 ( )C0()C 0CC四四 梅尼埃定理梅尼埃定理 定理定理 曲面曲线( )C在给定点 P 的曲率中心就是在 P 点与曲线 ( )C具有共同切线的法截线0()C的曲率中心0C在曲线( )C的密切平面上的投影。
7、例如 若给出的曲面是球面， 球面的切平面垂直于过切点的半径，这个半径就是球面的法线。所以球面的所有法线过它的球心。因此在球面的每一点处所取的法截面必过球心。由此推出所有法截线是大圆，且任意法截线0()C的曲率中心0C就是这个球面的中心.另一方面,若取球面的任意平面截线为( )C,则所得到的( )C是圆,因此( )C的曲率中心是这个圆的圆心（如图）. 现在从0()C的曲率中心0C(也 即球心)作圆( )C所在平面的垂 线,则垂足是圆( )C的圆心,也就 是曲线( )C的曲率中心 C 。 习题：P114 4, 5 思考：6 微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 25 P urNv
8、r1n3.3 杜邦（杜邦（Dupin）指标线）指标线 一一 杜邦（杜邦（Dupin）指标线定义）指标线定义 定义定义 设曲面 S；( , )rr u v，P 为 S 上一点。对 S 在 P 的一个切方向( )d=du:dv ,设n为对应方向（d）的法曲率。在 P 点的切平面上沿方向（d）画一线段 PN,使其长度等于1n，则对于切平面上所有的方向，N 点的轨迹称为曲面在 P 点的杜邦指标线。 二二 杜邦杜邦(Dupin)指标线方程指标线方程 取 P 点为坐标原点，在 P 点的切向量ur和vr为基向量，则它们构成 S 在 P 点的切平面上的一个坐标系。切方向(d) = du:dv 即uvdrr d
9、ur dv 。在 此 坐 标 系 下 ， N 点 的 坐 标 为 （ x,y ） , 则1uv uv nnuvr dur dvdrPNxryrdrr dur dv ， 两边平方， 并注意n得：22 22 22222EduFdudvGdvExFxyGyLduMdudvNdv，由于 x:y=du:dv,带入上式得杜邦指标线方程：2221LxMxyNy ，其中 L,M,N 与曲面微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 26 的方向 du:dv 无关，对曲面上的已知点为常数 由于曲面的杜邦指标线方程不含一次项， 所以它是以 P 为中心的有心二次曲线。 例 马鞍面22 , ,ru v u
10、v在原点处的 L=2, M=0, N=2, 故在原点的杜邦指标线方程为222()1xy 。 三三 曲面上的点按杜邦指标线的分类曲面上的点按杜邦指标线的分类 设 P 点的杜邦指标线是2221LxMxyNy 1 如果20LNM，则点 P 称为曲面的椭圆点。这时杜邦指标线是一椭圆。 注：按二次曲线的不变量判 断 ， 曲 线 为 椭 圆21 30,0 。当20LNM时，L 与 N 同号（否则20 ） 。若 L+N= 10 ,则方程右边取 1，这时30 ，所以1 30 ； 若 L+N=10 ，则方程右边取1，这时31 30,0 。 计算可知，椭圆抛物面上的点都是椭圆点。 2 如果20LNM，则点 P 称
11、为曲面的双曲点。这时杜邦指标线是一对共轭双曲线。 注：按二次曲线的不变量判断，曲线为双曲线230,0 。 计算可知，双曲抛物面上的点都是双曲点 。 Pn微分几何教案（十四） 曲面的第二基本形式：3.23.3 27 3 如果20LNM,则点 P 称为曲面的抛物点。 这时杜邦指标线是一对平行直线。 注：按二次曲线的不变量判断，因为这时230,0 ，故为直线而非抛物线。 因为这时二次曲线的半不变量10K， 所以它是一对平行直线。如，柱面上的点是抛物点。 4 如果 L=M=N=0，则 P 点称为曲面的平点。这时杜邦指标线 不存在。例如,平面上的点都是平点。 例如若曲面是 yoz 平面上的曲线( )zy 绕 y 轴旋转而成， 则在曲 线 的上凹点1P是 曲 面上 的 双曲点，凸点2P是椭圆点，拐点0P处是抛物点。 nP P nx y z 0P2P1PO
