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1、高中数学解题研究第 1 页 共 53 页高中数学常用四种数学解题思路研究分析1、数形结合将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可 以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意 三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的 条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系， 由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助 于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角
2、坐标系或单位圆来定义的。、再现性题组：、再现性题组：1.设命题甲：0b1 D. ba13.如果|x|,那么函数 f(x)cos xsinx 的最小值是_。 (89 年全国文) 42A. B. C. 1 D. 21 221 212 24.如果奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数且最小值是 5，那么 f(x)的-7,-3上是 _。(91 年全国)A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5 高中数学解题研究第 2 页 共 53 页5.设全集 I(x,y)|x,yR，集合 M(x,y)| 1，N(x,y)|yx1，y x 3 2那么等于_。 (90
3、年全国)MNA. B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|yx1 6.如果 是第二象限的角，且满足 cossin,那么是 2 21sin 2_。A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D. 第二象限角7.已知集合 E|cos0),椭圆中心 D(2,0)，焦点在 x 轴上，长p 2p 2 半轴为 2，短半轴为 1，它的左顶点为 A。问 p 在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点， 它们中每一个点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p 为何值时，以 A 为焦点、L 为准线的抛 物线与椭圆有四个交点，再联立方
4、程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。 一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别高中数学解题研究第 6 页 共 53 页要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等 知识都在本题进行了综合运用。例 4. 设 a、b 是两个实数，A(x,y)|xn，ynab （nZ），B(x,y)|xm，y3m 15 (mZ)，C(x,y)|x y 144，讨论是否，使得 AB 与222(a,b)C 同时成立。(85 年高考)【分析】集合 A、B 都是不连续的点
5、集，“存在 a、b，使得 AB”的含意就是“存在 a、b 使得 nab3n 15(nZ)有解（AB 时 xnm）。再抓住主参数 a、b，2则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线 L：nxy3n 15 上，且直线与圆2x y 144 有公共点，但原点到直线 L 的距离12。22【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用 数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理 方法。本题直接运用代数方法进行解答的思路是：、巩固性题组：、巩固性题组：1. 已知 5x12y60，则的最小值是_。xy22高中数学解题研究第 7 页 共 53
6、页A. B. C. D. 160 1313 513 122. 已知集合 P(x,y)|y、Q(x,y)|yxb，若 PQ，则 b 的取92 x 值范围是_。A. |b|x1|x1|的解集是非空数集，那么实数 m 的取值范围是 _。6. 设 zcos且|z|1,那么 argz 的取值范围是_。1 27. 若方程 x 3ax2a 0 的一个根小于 1，而另一根大于 1，则实数 a 的取值范围22是_。8. sin 20cos 80sin20cos80_。223高中数学解题研究第 8 页 共 53 页9. 解不等式： bxxx2210.设 Ax|0、a0、a2 时分 a0、a0 和 a0 且 a1，
7、plog (a a1)，qlog (a a1)，则 p、q 的大小关系是a3 a2_。A. pq B. pq D.当 a1 时，pq；当 00 且 a1，比较|log (1x)|与|log (1x)|的大小。aa【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数 a 有关，所以对底 数 a 分两类情况进行讨论。高中数学解题研究第 13 页 共 53 页【注】本题要求对对数函数 ylog x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当 a1 时其a是增函数，当 00，使得lglgSSnn2 2n1lg（Sc）成立？并证明结论。(95 年全国理)lg()lg()ScScnn2 2n1高中数学解题研
8、究第 14 页 共 53 页【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中 在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q1 和 q1 两种情况。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明logS ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是 0.5 时，loglog.0 50 52 2SSnn 0 5 .n1对数函数为单调递减。例 1、例 2、例 3 属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的 问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例 4. 设函数 f(x)ax 2x2，对于
9、满足 10，求实数 a2的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其 抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后 综合得解。1 4 x1 4 x高中数学解题研究第 15 页 共 53 页【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭 区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看 成是“数形结合法”的运用。例 5. 解不等式0 (a 为常数，a)()()xa xa a 46 211 2【分析】 含参数的不等式，参数 a 决定
10、了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、log (x a) (a0 且 a1)a2a211.设首项为 1，公比为 q (q0)的等比数列的前 n 项和为 S ，又设 T ，求nnS Snn1T 。lim nn12. 若复数 z、z 、z 在复平面上所对应三点 A、B、C 组成直角三角形，且|z|2，23求 z 。高中数学解题研究第 20 页 共 53 页13. 有卡片 9 张，将 0、1、2、8 这 9 个数字分别写在每张卡片上。现从中任取 3 张排成三位数，若 6 可以当作 9 用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数 f(x)(|m|1)x 2
11、(m1)x1 的图像与 x 轴只有一个公共点，求参数 m2的值及交点坐标。三、函数与方程的思想方法三、函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想， 是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、 或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时， 还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥 着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程； 求值问题是通过解方程来实现的等等；
12、不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函 数和多元方程没有什么本质的区别，如函数 yf(x)，就可以看作关于 x、y 的二元方程 f(x)y0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是 应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的1高中数学解题研究第 21 页 共 53 页单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次
13、函 数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖 掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对 所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造 出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数 问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以 是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解 题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多 个变量
14、的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻 译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、 等比数列中，通项公式、前 n 项和的公式，都可以看成 n 的函数，数列问题也可以用函数 方法解决。、再现性题组：、再现性题组：1.方程 lgxx3 的解所在的区间为_。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2.如果函数 f(x)x bxc 对于任意实数 t，都有 f(2t)f(2t)，那么_。2A. f(2)0，a1，试求方程 log (xak)log(x a )有实数解的 k 的范围。aa222(89 年全国
15、高考)【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分 析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解。【注】 求参数的范围，分离参数后变成函 数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变 量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角 换元时，要注意新的变量的范围。一般地，此 种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和 最小值、参数范围之类的问题。本题还用到了 分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数 学思想方法。另一种解题思路是采取“数形结合法”： 例 2. 设不等式 2x1m(x 1)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取2值范围。【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，
