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1、14.6 函数的定义与性质n函数的定义函数定义从A到B的函数函数的像n函数的性质函数的单射、满射、双射性构造双射函数n应用实例：问题描述2函数定义定义 设 F 为二元关系, 若 xdomF 都存在 唯一的yranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对 于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值. 例1 F1=, F2=, F1是函数, F2不是函数 3函数相等定义 设F, G为函数, 则 F = G FGGF 如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件：(1) domF = domG (2) xdomF = domG 都有 F(x)
2、 = G(x) 实例 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1 不相等, 因为 domFdomG. 4从 A 到 B 的函数定义 设A, B为集合, 如果f 为函数 domf = Aranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：AB. 实例 f：NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数 5B上A定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA, 读作“B上A”，符号化表示为 BA = f | f：AB 计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm.A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 B
3、A=A= .6实例例2 设 A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA. 解 BA = f0, f1, , f7, 其中 f0=, f1=, f2=,，f3=, f4=,，f5=, f6=, f7=, 7函数的像定义 设函数 f：AB, A1A.A1 在 f 下的像： f(A1) = f(x) | xA1 函数的像 f(A) 注意：函数值 f(x)B, 而像 f(A1)B. 例3 设 f：NN, 且令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 28函数的性质定义 设 f：AB, （1）若ranf = B, 则称 f：AB是满射的.
4、（2）若 yranf 都存在唯一的 xA使得 f(x)=y, 则称 f：AB是单射的. （3）若 f：AB既是满射又是单射的, 则称 f： AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1) = f(x2) x1= x2 9实例例4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?(1) f：RR, f(x) = x2+2x1(2) f：Z+R, f(x) = lnx, Z+为正整数集(3) f：RZ, f(x) = x(4) f：RR, f(x) = 2x+1(5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.1
5、0解 (1) f：RR, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.(2) f：Z+R, f(x)=lnx单调上升, 是单射. 但不满射, ranf=ln1, ln2, .(3) f：RZ, f(x)= x满射, 但不单射, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.(4) f：RR, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=R.(5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射. 实例（续）11构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2
6、,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,.令 f：AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f712实数区间之间构造双射构造方法：直线方程 例6 A=0,1 B=1/4,1/2构造双射 f :AB构造从A到B的双射函数（续）解 令 f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4 13构造从A到B的双射函数（续）A 与自然数集合之间构造双射方法：将A中
7、元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应例7 A=Z, B=N，构造双射 f：AB 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： 14常函数、恒等函数、单调函数1. 设f：AB, 若存在 cB 使得 xA 都有 f(x)=c, 则称 f：AB是常函数.2. 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x.3. 设 f：RR，如果对任意的 x1, x2R，x1, , ， a,b = , , (2) 给定集合 A， A 上不同的等价关系确定不同 的自然
8、映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双 射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如A=1, 2, 3, R=,IAg(1) = g(2) = 1,2, g(3) = 3184.7 函数的复合与反函数n函数的复合函数复合的定理函数复合的性质n反函数反函数存在的条件反函数的性质19函数复合的定理定理 设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足(1) dom(FG)= x | xdomF F(x)domG(2) xdom(FG) 有 FG(x) = G(F(x)推论1 设F, G, H为函数, 则 (FG)H 和 F(GH) 都是函数, 且 (FG)H = F(GH) 推论2 设 f：AB, g：
9、BC, 则 fg：AC, 且xA 都有 fg(x) = g(f(x).20函数复合运算的性质定理 设 f：AB, g：BC. (1) 如果 f：AB, g：BC 都是满射的, 则 fg：AC也是满射的. (2) 如果 f：AB, g：BC 都是单射的, 则fg：AC也是单射的. (3) 如果 f：AB, g：BC 都是双射的, 则fg：AC也是双射的. 证 (1) cC, 由 g：BC 的满射性, bB 使得 g(b)=c. 对这个b, 由 f：AB 的满射性，aA使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a)=g(f(a)=g(b)=c从而证明了 fg：AC是满射的. 21函数复合运算的性质
10、(2) 假设存在 x1, x2A使得 fg(x1) = fg(x2)由合成定理有 g(f(x1)=g(f(x2). 因为 g：BC是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由 于 f：AB也是单射的, 所以 x1=x2. 从而证 明 fg：AC是单射的.(3) 由 (1) 和 (2) 得证.定理 设 f: AB，则f = fIB = IAf 22反函数存在的条件任给函数 F, 它的逆F 1不一定是函数, 是二元关系 . 实例：F=,， F 1=, 任给单射函数 f：AB, 则 f 1是函数, 且是从 ranf 到 A的双射函数, 但不一定是从 B 到 A 的双射函 数. 实例：f : N N
11、, f(x) = 2x, f 1 : ranf N, f 1 (x) = x/2 23反函数定理 设 f：AB是双射的, 则f 1：BA也是双射的. 证 因为 f 是函数, 所以 f 1 是关系, 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 yB = dom f 1, 假设有x1, x2A使得 f 1f 1 成立, 则由逆的定义有 ff 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了f 1是函数，且是 满射的. 下面证明 f 1 的单射性. 若存在 y1, y2B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 f 1
12、f 1 ff y1 = y2 24反函数的定义及性质对于双射函数f：AB, 称 f 1：BA是它的反 函数. 反函数的性质 定理 设 f：AB是双射的, 则 f 1f = IB, ff 1 = IA对于双射函数 f：AA, 有 f 1f = ff 1 = IA 25函数复合与反函数的计算例 设 f：RR, g：RR 求 f g, g f. 如果 f 和 g 存在反函数, 求出它们的反函数. 解 f：RR不是双射的, 不存在反函数. g：RR是双射的, 它 的反函数是 g1：RR, g1(x) = x2 26问题： 有2台机器c1, c2； 6项任务t1, t2, , t6. 每项任务的加工时间
13、分别为：l(t1)=l(t3)=l(t5)=l(t6)=1, l(t2)=l(t4)=2任务之间的顺序约束是：任务t3只有在t6和t5完成之后才能开始加工；任务t2只有在t6, t5和t4都完成后才能开始加工；任务t1只有在t3和t2完成之后才能开始加工. 调度：任务安排在机器上加工的方案 截止时间：开始时刻0，最后停止加工机器的停机时刻问题描述多机调度27两个调度方案D=6t1t2t3t4t5t6D=5t1t3t5t2t6t4t5 t6 t4t3 t2 t128n集合 任务集 T=t1, t2, . , tn, nZ+ 机器集 M=c1, c2, . , cm，mZ+ 时间集 Nn函数和关系 加工时间函数 l:TZ+. 顺序约束 R T上的偏序关系，定义为R=| ti, tjT, i=j 或 ti完成后tj 才可以开始加工 问题描述29问题描述（续）n 可行调度 分配到机器： T 的 划分 =T1, T2, . , Tm，划分块Tj 是T 的非空子集， 由安排在机器cj上加工的所有任
