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1、第三节 n阶方阵的行列式1、定义：设 A = ( aij )nn 为 n阶方阵 . 由A 中所有的元素按它们在 A 中的排列位置构成的n阶行列式称为方阵A 的行列式, 记作 det A, 即1方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2 个数按一定方式排成的n 阶方阵是所确定的一个数要清楚两者的含义数表. 而 n 阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.22、性质（1）设 A ，B 均为n 阶方阵（2）（3）推广：为同 阶方阵,则(4)3例1 设解 求4注：例2 设 其中 是数,求 及解 一般地 53、退化矩阵：设 A 为n 阶方阵, 若则称 A是非若则称 A是退化如： A是非退化矩
2、阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。6第四节 可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质7概念的引入：单位阵 具有与数1在数的乘法中类似的性质 .在矩阵乘法中， 对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数 ，若,则存在 使得8对于n 阶方阵A，如果存在n阶方阵B， 使得成立，则矩阵A称为可逆矩阵， B 称为A 的定义：逆矩阵或逆阵。说明： (1)不是任意方阵都是可逆的。如零矩阵不 是可逆矩阵。(2)若方阵A是方阵B的逆阵，则B也是A的 逆阵。即A和B互为逆矩阵。一、逆矩阵的定义9这是因为:(3)如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯 一的.所以A的逆矩阵是
3、唯一的 .将A的逆矩阵记作 .若B、C 都是 A 的逆矩阵,则有则若A 可逆,就有 注并不是A的-1次方，不能写成 的形式。10当 都不为零时,有单位阵：特殊矩阵的逆阵:对角阵：11从而一般地,若 都不为零,则有0 00012例 是否可逆？问题: （1）如何判别一个方阵是否可逆？（2）若A为可逆矩阵，如何求13二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆, 则它有逆矩阵使得从而若A可逆, 则证：所以14伴随矩阵:称为矩阵A 的伴随 矩阵.设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是问题： 上述必要条件是不是充分的？即若, A一定可逆吗
4、？ 若A可逆,如何求A-1？15例1. 设求A 的伴随矩阵.解:1617例2:设A 为n阶方阵, 是A 的伴随矩阵,计算18所以同理故有当时，我们有从而A可逆, 且19这样我们得到下述定理：说明：定理: n阶方阵A是可逆的充分必要条件是 即A是非退化的, 而且该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法 。20例3：设判断A是否可逆？若可逆，求出解： 因为所以A可逆，且21因为所以22下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：命题： 设A、 B为n阶方阵，若 则A、B 都可逆，且因为所以因此有故A、 B 都可逆,则有证：23说明： 该命题给出了判断一
5、个方阵是否可 逆的一种方法，同时又可以立即写 出可逆矩阵的逆矩阵例4:设方阵A、B 满足A-E 可逆，并求其逆。试证解： 24例5:设方阵A 满足A 和 A +2E 都可逆，并求它们的逆矩阵。试证解：25若A可逆，则也可逆，且性质1： 性质2： 若A可逆，则也可逆，且因为所以证：三. 性质26若A可逆，数 则kA可逆, 且若A、 B 都可逆，则AB 也可逆，且因为所以证：性质3： 性质4： 27若n阶方阵可逆，则若A可逆，则因为A可逆，所以推广：证：性质5： 28例6： 设A为n阶方阵，且求解：29解例7 设三阶矩阵A、 B 满足关系3031设线性方程组为若系数矩阵A 可逆，求例8解： 线性方程组的矩阵形式为因为A可逆，所以存在且有32作 业 P82 24，27注：28题之前的习题都可以做！33
