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1、http:/ 1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ） A1 B2 C3 D1 或 3 分析：分析：本题显然是要应用推论 2 判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同 位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：答案：D 说明：说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯典型例题二典型例题二例例 2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面 分析：分析：先将已知和求证改写成符号语言证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内也可先由其中两条确定一个平面，另两条确定平面，再证平面，重
2、合已知：已知：cba/，Aal，Bbl，Ccl求证：求证：直线a，b，c，l共面 证明证明： ba/， a，b确定一个平面 Aal，Bbl， A，B，故l又 ca/， a，c确定一个平面同理可证l a，且l 过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故与重合即直线a，b，c，l共面 说明：说明：本例是新教材第 9 页第 9 题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形本例证明既采用了 归一法，同时又采用了同一法这两种方法是证明线共面问题的常用方法在证明c时，也可以用http:/ 盾故c典型例题三典型例题三例例 3 已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R三点，证明P，Q，R三点在同
3、一条直线上分析：分析：如图所示，欲证P，Q，R三点共线，只须证P，Q，R在平面和平面ABC的交线上，由P，Q，R都是两平面的公共点而得 证证明：证明： PAB，QBC， PQ是平面与平面ABC的交线又 RAC， R且R平面ABC， PQR， P，Q，R三点共线说明：说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理 2，这些点都在这两平面 的交线上典型例题四典型例题四例例 4 如图所示，ABC与111CBA不在同一个平面内，如果三直线1AA、1BB、1CC两两相交，证明：三直线1AA、1BB、1CC交于一点分析：分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点， 再证明该
4、点在第三条直线上即可证明：证明：由推论 2，可设1BB与1CC，1CC与1AA，1AA与1BB分别确定平面，取PBBAA11，则1AAP，1BBP又因1CC，则1CCP（公理 2） ，http:/ （1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个 平面的交线，由公理 2，该点在它们的交线上，从而得三线共点 （2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两 点重合从而得三线共点 典型例题五典型例题五（1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确
5、定几个平面？ 分析：（1）可利用公里 3 判定。 （2）可利用公里 3 的推论 3 判定。 （3）需进行分类讨论判定。 解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。 （2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定 3 个平面。 （3）共点的三条直线可以确定 1 个或 3 个平面。 说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。 平面的确定问题 主要是根据已知条件和公里 3 及其 3 个推论来判定平面的个数。典型例题六典型例题六例例 6 A、B、C为空间三点，经过这三点： A能确定一个平面 B能确定无数个平面 C能确定一个或无数个平面 D能确定一个平面或不能确定平面 分析：分析：
6、本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理 3 及三个推论解：解：由于题设中所给的三点A、B、C并没有指明这三点之间的位置关系， 所以在应用公理 3 时要注意条件“不共线的三点” 当A、B、C三点共线时，经过这三点就不能确定平面， 当A、B、C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选 D 说明：说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间 两相交直线或两平行直线来确定一个平面典型例题七典型例题七例例 7 判断题（答案正确的在括号内打“”号，不正确的在括号内打“”号） (1)两条直线确定一个平面；（ ） (2)经过一点的三条直线可以确定一个
7、平面；（ ） (3)两两相交的三条直线不共面；（ ） (4)不共面的四点中，任何三点不共线 （ ）http:/ 才可得出结论两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直 线不能确定平面； (2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一定能确定平面； (3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面； (4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面 解：解：(1) (2) (3) (4) 说明：说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面那么对于空间四条直线 何时共面何时不共面呢？典型例题八典型例题八例例
8、 8 如图，在正方体1111DCBAABCD中，点E、F分别是棱1AA、1CC的中点，试画出过点1D、E、F三点的截面分析：分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理 1 和公理 2 欲画出所要求的截面与正方体各 个侧面的交线解：解：连FD1并延长FD1与DC的延长线交于点H，连结ED1与DA的延长线交于点G，连结GH与AB、BC两条棱交于点B，连结BE、BF，则FBED1就是过点1D、E、F三点的截面说明：说明：本题亦可以证明点B、E、1D、F四点共面若E、F不是棱AA1与CC1的中点，则作图过程中GH不一定过点B，所画的截面多边形可能是五边形典型例题九典型例题九例例 9 判断下列说法
9、是否正确？并说明理由 (1)平行四边形是一个平面 (2)任何一个平面图形都是一个平面 (3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线 解：解：(1)不正确平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的 说明：说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面(2)不正确平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的 说明：说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念http:/ 虚线（无论是题中原有的，还是后引的辅助线） 说明：说明：在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线；在立体几何中却不然有的同学在学习立体 几何时，
10、对此点没有认识，必将影响空间立体感的形成，削弱或阻断空间想象能力的培养典型例题十典型例题十例例 10 按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如下图的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的 线段AB，分别是两个平面的交线解：解：由两个相交平面的画法：本题只须过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段，即可得到 相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的 字母即可如下图所示说明：说明：(1)画好两个相交平面的图形，是画好一切立体图形的基础 (2)画空间图形的过程，是培养我们空间想象能力的过程，一定要认真对待，决不可以掉以轻心典型例题
11、十一典型例题十一例例 11 (1)一个平面将空间分成几部分？ (2)两个平面将空间分成几部分？ (3)三个平面将空间分成几部分？画出图形， （要求：至少有两种情况有画法过程） 解：解：(1)一个平面将空间分成两部分http:/ (3)本小题情况比较复杂，须分类予以处理情况 1：当平面、平面、平面互相平行（即/） ，将空间分成四个部分，其图形如右图情况 2：当平面与平面平行，平面与它们相交（即/，与其相交） ，将空间分成六部分，其图形如下图 画法是：情况 3：当平面、平面、平面都相交，且三条交线重合（即l且l）将空间分成六部分，其图形如下图说明：说明：本种情况给出两种图形，一种是将交线画成水平状
12、态，一种是将交线画成竖直状态情况 4：平面、平面、平面都相交且三条交线共点，但互不重合 （即l，且与、都相交，三条交线共点） 将空间分成八部分，其图形如下图画法是：情况 5：平面、平面、平面两两相交且三条交线平行（即l，与、都相交且三条交线平行） 将空间分成七部分，其图形如下图http:/ 位置分类讨论，再让第三个平面以不同情况介入，然后分类解决 2通过此题的解答，要学会处理问题的思维方法，注意逻辑思维能力的培养与提高 3本题是一个基础性很强的问题，无论是对立体图形的画法以及空间想象能力的形成都大有裨益典型例题十二典型例题十二例例 12 下图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ） 解：解：
13、对于 A，图中没有画出平面与平面的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，因此 A 的画法不正确 同样的道理，也可知 B、C 图形的画法不正确 D 的图形画法正确 应选 D 说明：说明：对空间图形的准确辨识，是培养空间想象能力的重要组成部分，一定要注意这方面能力的锻 炼典型例题十三典型例题十三例例 13 观察下图，说明图形中的不同之处解：解：上面的图形都是由九条线段构成的图形、外形似乎相似 仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体 A 图是一个簸箕形图形；B 图是体，是三棱柱；C 图也是体，也是三棱柱 B 图如果看作是从三棱柱的正面观察，C 图则可看作是从三棱柱的后面观察 说明：说明：在立体几何中，一定要明确画图过程中哪条线画实线，哪条线画虚线要记住：能够看得到 的线一定画成实线，被挡住的看不到的线画成虚线 下面再给出两组图形如下图所示，请同学们予以辨识，指出它们有什么不同http:/ 14 若点Q在直线b上，b在平面内，则Q、b、之间的关系可记作（ ） AbQ BbQ C bQ D bQ解法解法 1：（直接法）点Q在直线b上，bQ，直线b在平面内，b，bQ应选 B 解法解法 2：（排除法）：（排除法）点Q与直线b之间的关系是元素与集合之间的关系，只能用符号“”或“”表示，C、D 应予排除直线b与平面之间是集合与集合之间的关系，只能用符号“”或
