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1、第四讲第四讲 数形结合思想数形结合思想所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转 化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也即将抽象思维与形化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也即将抽象思维与形 象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法数形结合思想象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法数形结合思想 通过通过“以形助数，以数解形以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于 把握数学问题的本质它是数学的规律性与灵
2、活性的有机结合把握数学问题的本质它是数学的规律性与灵活性的有机结合 1运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应其带来的负面效应 (2)双方性原则既要进行几何直观分
3、析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进 行几何分析容易出错行几何分析容易出错 (3)简单性原则不要为了简单性原则不要为了“数形结合数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否 有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件， 准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择
4、动直线与定二次曲线 2数形结合思想解决的问题常有以下几种：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、
5、截距、距离等模型研究最值问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等研究图形的形状、位置关系、性质等 3数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：意以下几点：(1)准确画出函数
6、图象，注意函数的定义域；准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程用图象法讨论方程(特别是含参数的方程特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数，然后作出两个函数的图象，由图求解的图象，由图求解 4在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算
7、的几何意义以及曲线的代数特征；要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想精心联想“数数”与与“形形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解题代数化，以便于问题求解很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果能收到事半功倍的效果题题型
8、型一一 函函数数与与不不等等式式问问题题中中的的数数形形结结合合 【例例 1】 (1)已已知知：函函数数 f(x)满满足足下下面面关关系系 f(x1)f(x1)； 当当 x1,1时时，f(x)x2. 则则方方程程 f(x)lg x 解解的的个个数数是是 ( ) A5 B7 C9 D10 (2)设设有有函函数数 f(x)a x24x和和 g(x)43x1，已已知知 x4,0 时时恒恒有有 f(x)g(x)，则则实实数数 a 的的取取值值范范围围是是_ 解解析析：(1) f(x) 2 0,1 f(x) lg x x (0,10 9 (2)f(x)g(x) a x2 4x43x 1 x2 4x43x
9、 1 a y x2 4x y 4 3x 1 a (x 2)2 y2 4(y0) ( 2,0) 2 4 3 1 a |4 2 30 3 3a| 521 a0 a 5. 答答案案：(1)C (2)a5 拓展提升拓展提升开阔思路开阔思路 提炼方法提炼方法(1)用函数的图象讨论方程用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等特别是含参数的指数、对数、根式、三角等 复杂方程复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边 的代数式看作是两个熟悉函数的表达式的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形
10、转化为不熟悉时，需要作适当变形转化为 两熟悉的函数两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个 数即为方程解的个数数即为方程解的个数(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择 适当的两个适当的两个(或多个或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量 关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解 答答(3)
11、函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图 象的对称性；最值象的对称性；最值(值域值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标1已已知知f(x)是是定定义义在在(3,3)上上的的奇奇函函数数，当当00 cos x0. f(x) ( 3,3) cosx “ ” x “ ” 2 1 (0,1) 2 3 . 答答案案：B 题题型型二二 求求参参数数、代代数数式式的的取取值值范范围围、最最值值问问题题中中的的数数形形结结合合 【例例2】 实实系系数数一一元元二二次次方方程程x2ax2b0有有
12、两两个个根根，一一个个根根在在区区间间 (0,1)内内，另另一一个个根根在在区区间间(1,2)内内，求求： (1)点点(a，b)对对应应的的区区域域的的面面积积； (2)b2 a1的的取取值值范范围围； (3)(a1)2(b2)2的的值值域域 解解：方方程程x2ax2b0的的两两根根在在区区间间(0,1)和和(1,2)上上的的几几何何意意义义分分别别是是： 函函数数yf(x)x2ax2b与与x轴轴的的两两个个交交点点的的横横坐坐标标分分别别在在区区间间(0,1)和和(1,2)内内， 由由此此可可得得不不等等式式组组 f 0 0，f 1 0. b0，a2b10.由由 a2b10，ab20.解解得得A(3,1) 由由 ab20，b0.解解得得B(2,0)， 由由 a2b10，b0.解解得得C(1,0) 在在如如图图所所示示的的aOb坐坐标标平平面面内内，满满足足约约 束束条条件件的的点点(a，b)对对应应的的平平面面区区域域为为 ABC(不不包包括括边边界界) (1)ABC的的面面积积为为SABC12|BC|h12(h为为A到到Oa轴轴的的距距
