《2007年数学高考四川(理)第22(ⅲ)题别解的纠正》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2007年数学高考四川(理)第22(ⅲ)题别解的纠正（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12007 年数学高考四川卷年数学高考四川卷(理理)第第 22()题别解的纠正题别解的纠正文1给出了 2007 年高考四川卷（理）第 22 题的别解如下：题目：设函数，1( )(1) (,1,xf xnNnxRn且）（）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；6x 1(1)xn（）对任意的实数，证明；x(2 )(2)( )( )( )2fxffx fxf x(是的导函数)（）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你aN11(1)(1)n kkanank的结论并求出的值；若不存在，请说是理由.a 解：（） （）略 关于第（）小题的别解：先证：，12(1)3n n设，则。1(1)nnan1 11(1)
2、1n nan 展开式的通项1(1)nn111(1)(1) !r rn rnrrrAn nnrTCnr nrn L1121(1)(1)(1)!r rnnnL展开式的通项，11(1)1n n1 111 (1)!(1)r rn rnrrATCnr n 1121(1)(1)(1)!111r rnnnL由展开式的通项可以求出，。 11rrTT所以，所以，111(1)(1)1nn nn1nnaa即是一个递增数列，由于，所以，na1lim,2nnae a 23nae因此存在，使不等式。2a 11(1)(1)n kkanank上述解法表面上看比标准答案来得简捷、明了，推证过程也似乎合情合理，但却是错 误解法，
3、为什么呢？问题出在哪里呢？ 我们先回顾一下高等数学中的两个常用的知识点：1、极限存在定理：若单调增加且有上界（即且存在实数使得一na12aaLM切） ，则必收敛.naMna22、证明存在可分两步说明数列单调递增说明数列1lim(1)n nn1(1) n n有界.1(1) n n是因为先有数列的有界即，才使得它成立.1lim(1)n nen1(1) n n1(1)3n nan而上述解法却把结论拿来当已知条件用，把已知条件当成结论，犯了循环论证的错误！ 通过对上述错误解法的认识后，可以发现本题的第（）小题若要运用不同的方法求解，只能来源于对的不同证法，下面给出两种简便解法：23na法一：运用均值不
4、等式证明（其中为正数，等号成立当且仅当12 12nnnxxxx xxnLQL12,nx xxL） ，12nxxxL，11(1) 1121(1)11111nnnnn nnnn ，从而数列单调递增。111(1)(1)1nn nn1(1) n n又因为当时有，6n ，65156( )(5) 156( )1611nnnn nn ，615( )()61nn n所以，16116(1)(1)( )35nn nn所以。23na因为，所以，,1nNn且23na因此存在，使不等式。2a 11(1)(1)n kkanank法二：运用伯努利不等式证明（其中，且为不小于 2 的自然数）(1)1nxnx Q1,0xx n
5、(1)L L令代入（1）式中，则有，21xn ，211111(1)1(1) (1)(1)nnn nnnnn 所以，当时，。1n 111111(1)(1)()(1)11nnnnn nnnn3所以，数列单调递增，1(1) n n令代入（1）式中，则有，1 61xn ，151(1)1616161nnn nnn ，61616()6515nnn nn由于数列单调递增。1(1) n n所以，66611616(1)(1)()( )3665nnnn nnn所以。23na因为，所以。,1nNn且23na因此存在，使不等式。2a 11(1)(1)n kkanank参考文献 1. 2007 年高考题（省市卷）：别解与感悟（续）.本刊试题研究组.中学数学教学参考. 2007.11
