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1、 1单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为.如果对于定义域内某个区间D上的 ，当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数任意两个自变量的值x1，x2f(x1)f(x2)如果对于定义域内某个区间D上的 ，当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数如果函数yf(x)在区间D上是 ，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做f(x)的单调区间任意两个自变量的值x1，x2 f(x1)f(x2)增函数或减函数单调性2函数单调性的应用(1)比较大小； (2)求函数的值域或最值；(3)解、证不等式； (4)作函数的图象3证明函数单调性的方法(1)定
2、义法(基本方法)：其一般步骤是：取值：设x1、x2为所给区间内D的任意两个值，且x1x2；作差(正值可作商)：f(x1)f(x2)；变形；定号；结论(2)导数法：求导f(x)；判断f(x)在区间上的符号；结论：f(x)0f(x)在上为 ，f(x)0f(x)在上为 增函数减函数4判断函数单调性的方法(1)定义法；(2)求导法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用图象5复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为
3、；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为 简称为：同增异减增函数减函数科目一考试网 http:/ 科目一模拟考试2016科目四考试网 http:/ 科目四模拟考试驾校一点通365网 http:/ 驾校一点通2016科目一 科目四驾驶员理论考试网 http:/ 2016科目一考试 科目四考试6函数的最大(小)值(1)定义：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M(f(x)M)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(最小值)(2)求法：配方法；判别式法；不等式法；换元法；数形结合；单调性法(3)求最值时注意的问题
4、求函数最值的方法，实质与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异无论何种方法求最值，都要考虑“”能否成立7函数的值域(1)函数的值域的概念在函数yf(x)中，与自变量x的值对应 的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(2)确定函数值域的原则当函数yf(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合当函数yf(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定当函数由实际问题给 出时，函数的值域还应考虑问题的实际意义1如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取
5、值范围是( )A3，) B(，3C(，5 D3，)解析 f(x) x2 2(a 1)x 2的对称轴为x 1 a，f(x)在 ( ， 1 a上是减函数，要使f(x)在区间( ， 4上是减函数，则只需1 a4，即a 3.答案 B答案 C3(2010山东文数)函数f(x)log2(3x1)的值域为( )A(0，) B0，)C(1，) D1，)答案 A点评与警示 用定义证明函数的单调性就是在定义域内取任意两数x1，x2(x10.这通常需要将f(x1)f(x2)分解成几个可判断符号的式子的乘积已知函数f(x)x3ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递 增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f
6、(x)在(1,1)上单调递 减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解 (1)解法一：(定义法)设x10，即a0，所以只需a0.即 a0时，函数f(x)在 R上单调递增解法二： (导数法)，因为f(x) 3x2 a，若f(x)在 R上递增，则由f(x)0，得3x2a0，即a3x2.而 x( 1,1)时，03x20，则f(x)递增；若f(x)0.则f(x)递减已知函数f(x)x33ax.(1)若f(x)在实数集R上单调递 增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递 减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解 定义法(导数法)(1)a0(2)a
7、1时分析 (1)的求解可用赋值法；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑将所给不等式化为fg(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性脱去符号“f”求解点评与警示 本题中的函数是抽象形式的函数，涉及了函数在某点处的值，函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技能是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑4函数的最值求法(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法(2)函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断其增减性是求最值和值域的前提，当然，函数图象是函数单调性的最直观体现(3)基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(4)导数法：当函数结构形式较复杂(如指数、对数函数与多项式等的组合式)时，一般采用此法(5)数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围
